本文代码的实现严重依赖前面的一篇文章： [小波变换Mallat算法的C++实现](http://blog.csdn.net/ebowtang/article/details/40433861) # 基本理论 小波阈值收缩法是Donoho和Johnstone提出的,其主要理论依据是,小波变换具有很强的去数据相关性,它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却分布于整个小波域内.因此,经小波分解后,信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值.可以认为,幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声.于是,采用阈值的办法可以把信号系数保留,而使大部分噪声系数减小至零.小波阈值收缩法去噪的具体处理过程为:将含噪信号在各尺度上进行小波分解,设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0,高于该阈值的小波系数或者完全保留,或者做相应的“收缩(shrinkage)”处理.最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构,得到去噪后的信号. ### 1，阈值函数的选取   阈值去噪中,阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中关键的一步。设w表示小波系数,T为给定阈值,sign(*)为符号函数,常见的阈值函数有： 硬阈值函数：     （小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的保留不变）       软阈值函数：           值得注意的是： 1) 硬阈值函数在阈值点是不连续的，在下图中已经用黑线标出。不连续会带来振铃，伪吉布斯效应等。 2) 软阈值函数，原系数和分解得到的小波系数总存在着恒定的偏差,这将影响重构的精度使得重构图像的边缘模糊等现象. 同时这两种函数不能表达出分解后系数的能量分布。见下图：                                                                                 图1 于是不少文章出现了折衷方案，一种新的阈值函数（非本文重点）：  阈值线参考代码： ~~~ %Generate signal and set threshold.    y = linspace(-1,1,100);    subplot(311);   plot(y);title('原始线');   thr = 0.5;   % Perform hard thresholding.    ythard = wthresh(y,'h',thr);   subplot(312);   plot(ythard);title('硬阈值线');   % Perform soft thresholding.    ytsoft = wthresh(y,'s',thr);   subplot(313);   plot(ytsoft);title('软阈值线');   ~~~ ###2，阈值的确定 选取的阈值最好刚好大于噪声的最大水平，可以证明的是噪声的最大限度以非常高的概率低于 （此阈值是Donoho提出的），其中根号右边的这个参数（叫做sigma）就是估计出来的噪声标准偏差（根据第一级分解出的小波细节系数，即整个det1绝对值系数中间位置的值），本文将用此阈值去处理各尺度上的细节系数，注意所谓全局阈值就是近似系数不做任何阈值处理外，其他均阈值处理。 最后吐槽一下这个“绝对值系数中间位置的值” 1）如果det1的长度为偶数那么，这个“中值”便是中间位置的两个数之和的平均值，比如【2,2,3,5】，中值即是2.5而不是3 2）如果det1的长度为奇数那么，这个中值就是中间位置的那个数，比如【2,3,5】，中值即3 ###3，阈值策略 以前写的ppt挪用过来：  ### 4，一维信号的分解与重构 以下算法如果用简单的文字描述，可是：先将信号对称拓延（matlab的默认方式），然后再分别与低通分解滤波器和高通分解滤波器卷积，最后下采样，最后可以看出最终卷积采样的长度为floor(n-1)/2+n,如果想继续分解下去则继续对低频系数CA采取同样的方式进行分解。  # 一，matlab库函数实现 ### 1，核心库函数说明 1）wnoisest函数 作用：估计一维小波高频系数中的噪声偏差 这个估计值使用的是绝对值中间位置的值（估计的噪声偏差值）除以0.6745（Median Absolute Deviation / 0.6745），适合0均值的高斯白噪声 2）wavedec函数 一维信号的多尺度分解，将返回诸多细节系数和每个系数的长度，在matlab中键入“doc wavedec”具体功能一目了然 3）waverec函数 一维信号小波分解系数的重构，将返回重构后的信号在matlab中键入“doc waverec”具体功能一目了然，也可以键入“open waverec”查看matlab具体是怎么做的。 4）wdencmp函数 这个函数用于对一维或二维信号的压缩或者去噪，使用方法： 1 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP) 2 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH) 3 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH) wname是所用的小波函数， gbl(global的缩写)表示每层都采用同一个阈值进行处理， lvd表示每层用不同的阈值进行处理， N表示小波分解的层数， THR为阈值向量， 对于格式(2)(3)每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N， SORH表示选择软阈值还是硬阈值(分别取为’s’和’h’)， 参数KEEPAPP取值为1时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。 XC是消噪或压缩后的信号，[CXC，LXC]是XC的小波分解结构， PERF0和PERFL2是恢复和压缩L^2的范数百分比, 是用百分制表明降噪或压缩所保留的能量成分。 ###2，阈值去噪效果 从图中可以查出，除燥效果还是比较理想的，对于噪声比较重的地方软阈值去噪能力更加明显（因为没有无噪的信号参考，这并不能代表他比硬阈值更优秀）。  放大其中的细节部分，便于查看细节  ### 3，完整的matlab代码 ~~~ clc; clear; % 获取噪声信号 load leleccum; indx = 1:3450; noisez = leleccum(indx); %信号的分解 wname = 'db3'; lev = 3; [c,l] = wavedec(noisez,lev,wname); %求取阈值 sigma = wnoisest(c,l,1);%使用库函数wnoisest提取第一层的细节系数来估算噪声的标准偏差 N = numel(noisez);%整个信号的长度 thr = sigma*sqrt(2*log(N));%最终阈值 %全局阈值处理 keepapp = 1;%近似系数不作处理 denoisexs = wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'s',keepapp); denoisexh = wdencmp('gbl',c,l,wname,lev,thr,'h',keepapp); % 作图 subplot(311), plot(noisez), title('原始噪声信号'); subplot(312), plot(denoisexs), title('matlab软阈值去噪信号') ; subplot(313), plot(denoisexh), title('matlab硬阈值去噪信号') ; ~~~ # 二，C加加实现 说明，一维信号的单尺度分解在前一篇文章中已经提及，这里不再累述，这里主要再次基础上的多尺度分解与重构 并且在执行自己编写的wavedec函数时必须先初始化，初始化的目的是为了获取信号的长度，选择的是什么小波，以及分解的等级等信息，然后计算出未来的各种信息，比如每个等级的系数的size，为了进行一维小波分解的初始化函数如下： ~~~ bool CWavelet::InitDecInfo( const int signalLen,//源信号长度 const int decScale,//分解尺度 const int decdbn//db滤波器的编号 ) { if (decdbn != 3) SetFilter(decdbn); if (signalLen < m_dbFilter.filterLen - 1) { cerr << "错误信息：滤波器长度大于信号!" << endl; return false; } int srcLen = signalLen; m_msgCL1D.dbn = decdbn; m_msgCL1D.Scale = decScale; m_msgCL1D.msgLen.resize(decScale + 2); m_msgCL1D.msgLen[0] = srcLen; for (int i = 1; i <= decScale; i++) { int exLen = (srcLen + m_dbFilter.filterLen - 1) / 2;//对称拓延后系数的长度 srcLen = exLen; m_msgCL1D.msgLen[i] = srcLen; } m_msgCL1D.msgLen[decScale + 1] = srcLen; for (int i = 1; i < decScale + 2; i++) m_msgCL1D.allSize += m_msgCL1D.msgLen[i]; m_bInitFlag1D = true;//设置为已经初始化 return true; } ~~~ ### 1，核心函数的实现 ### 1），信号的多级分解 注：本函数实现了对信号的任意级数分解，分解的全部系数与matlab的结果完全一致 ~~~ // 一维多尺度小波分解,必须先初始化 //分解的尺度等信息已经在初始化函数获取 bool CWavelet::WaveDec( double *pSrcData,//要分解的信号 double *pDstCeof//分解出来的系数 ) { if (pSrcData == NULL || pDstCeof == NULL) return false; if (!m_bInitFlag1D) { cerr << "错误信息：未初始化，无法对信号进行分解!" << endl; return false; } int signalLen = m_msgCL1D.msgLen[0]; int decLevel = m_msgCL1D.Scale; double *pTmpSrc = new double[signalLen]; double *pTmpDst = new double[m_msgCL1D.msgLen[1] * 2]; for (int i = 0; i < signalLen; i++) pTmpSrc[i] = pSrcData[i]; int gap = m_msgCL1D.msgLen[1] * 2; for (int i = 1; i <= decLevel; i++) { int curSignalLen = m_msgCL1D.msgLen[i - 1]; DWT(pTmpSrc, curSignalLen, pTmpDst); for (int j = 0; j < m_msgCL1D.msgLen[i] * 2; j++) pDstCeof[m_msgCL1D.allSize - gap + j] = pTmpDst[j]; for (int k = 0; k < m_msgCL1D.msgLen[i]; k++) pTmpSrc[k] = pTmpDst[k]; gap -= m_msgCL1D.msgLen[i]; gap += m_msgCL1D.msgLen[i + 1] * 2; } delete[] pTmpDst; pTmpDst = NULL; delete[] pTmpSrc; pTmpSrc = NULL; return true; } ~~~ ### 2），多级分解系数的重构 注：本函数只能还原成原始信号，不能还原到分解级数的中间某个位置 ~~~ // 重构出源信号 bool CWavelet::WaveRec( double *pSrcCoef,//源被分解系数 double *pDstData//重构出来的信号，两者的长度是一样的 ) { if (pSrcCoef == NULL || pDstData == NULL)//错误：无内存 return false; //从m_msgCL1D中获取分解信息 int signalLen = m_msgCL1D.msgLen[0];//信号长度 int decLevel = m_msgCL1D.Scale;//分解级数 int det1Len = m_msgCL1D.msgLen[1]; double *pTmpSrcCoef = new double[det1Len * 2]; for (int i = 0; i < m_msgCL1D.msgLen[decLevel] * 2; i++) pTmpSrcCoef[i] = pSrcCoef[i]; int gap = m_msgCL1D.msgLen[decLevel] * 2; for (int i = decLevel; i >= 1; i--) { int curDstLen = m_msgCL1D.msgLen[i - 1]; IDWT(pTmpSrcCoef, curDstLen, pDstData); if (i != 1) { for (int j = 0; j < curDstLen; j++) pTmpSrcCoef[j] = pDstData[j]; for (int k = 0; k < curDstLen; k++) pTmpSrcCoef[k + curDstLen] = pSrcCoef[k + gap]; gap += m_msgCL1D.msgLen[i - 1]; } } delete[] pTmpSrcCoef; pTmpSrcCoef = NULL; return true; } ~~~ ###3），阈值的获取 注：严格依照Donoho的阈值写的代码 ~~~ // 根据细节系数，以及信号长度计算阈值 double CWavelet::getThr( double *pDetCoef,//细节系数（应该是第一级的细节系数） int detLen,//此段细节系数的长度 bool is2D//当前细节系数是否来自是二维图像信号的 ) { double thr = 0.0; double sigma = 0.0; for (int i = 0; i < detLen; i++) pDetCoef[i] = abs(pDetCoef[i]); std::sort(pDetCoef, pDetCoef + detLen); if (detLen % 2 == 0 && detLen >= 2) sigma = (pDetCoef[detLen / 2-1] + pDetCoef[detLen / 2]) / 2 / 0.6745; else sigma = pDetCoef[detLen / 2] / 0.6745; if (!is2D)//一维信号 { double N = m_msgCL1D.msgLen[0]; thr = sigma *sqrt(2.0*log(N)); } else{//二维信号 double size = m_msgCL2D.msgHeight[0]*m_msgCL2D.msgWidth[0]; thr = sigma *sqrt(2.0*log(size)); } return thr; } ~~~ ### 4），高频系数阈值处理 注：本函数只对高频系数做处理，不对近似系数处理 ~~~ // 将系数阈值处理，一维二维均适用 void CWavelet::Wthresh( double *pDstCoef,//细节系数（应该是除近似系数外的所有的细节系数） double thr,//阈值 const int allsize,//分解出来的系数的总长度（非） const int gap,//跳过最后一层的近似系数 SORH ish//阈值函数的选取 ) { // if (ish)//硬阈值 { for (int i = gap; i < allsize; i++) { if (abs(pDstCoef[i]) < thr)//小于阈值的置零，大于的不变 pDstCoef[i] = 0.0; } } else//软阈值 { for (int i = gap; i < allsize; i++) { if (abs(pDstCoef[i]) < thr)//小于阈值的置零，大于的收缩 { pDstCoef[i] = 0.0; } else { if (pDstCoef[i] < 0.0) pDstCoef[i] = thr - abs(pDstCoef[i]); else pDstCoef[i] = abs(pDstCoef[i]) - thr; } } } } ~~~ ### 5），阈值去噪函数 注：本函数涉及到上面提及的多个函数，此函数是核心的对外接口 ~~~ bool CWavelet::thrDenoise( double *pSrcNoise,//源一维噪声信号 double *pDstData,//去噪后的信号 bool isHard//阈值函数的选取，有默认值 ) { if (pSrcNoise == NULL || pDstData == NULL) exit(1); if (!m_bInitFlag1D)//错误：未初始化 return false; double *pDstCoef = new double[m_msgCL1D.allSize]; WaveDec(pSrcNoise, pDstCoef);//分解出系数 int Det1Len = m_msgCL1D.msgLen[1]; int gapDet = m_msgCL1D.allSize - Det1Len; double *pDet1 = new double[Det1Len]; for (int i = gapDet, j = 0; i < m_msgCL1D.allSize; i++, j++) pDet1[j] = pDstCoef[i]; int gapApp = m_msgCL1D.msgLen[m_msgCL1D.Scale];//跳过最后一层的近似系数 double thr = getThr(pDet1, Det1Len);//获取阈值 Wthresh(pDstCoef, thr, m_msgCL1D.allSize, gapApp, isHard);//将细节系数阈值 WaveRec(pDstCoef, pDstData);//重构信号 delete[] pDstCoef; pDstCoef = NULL; delete[] pDet1; pDet1 = NULL; return true; } ~~~ ### 2，函数正确性验证 注：本次测试实现了10级分解，并与matlab进行了对比，结果完全一致（对比未完全展示）  以下数据就是上述中的第二行  附函数测试主函数： ~~~ //测试一维数据的任意级数的分解与还原（重构，只能重构为源信号） int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { system("color 0A"); double signal[23] = { 420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79, 428.92, 420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79, 428.92, 420.2, 423.53, 423.52, 423.35, 424.52, 428, 430.79 }; int signalLen = sizeof(signal) / sizeof(double); cout << "原始信号：" << endl; for (int i = 0; i < signalLen; i++) cout << signal[i] << " "; CWavelet cw; int decdbn = 3; int declevel = 10; if (!cw.InitDecInfo(signalLen, declevel, decdbn)) { Sleep(5000); exit(1); } cout<<endl<<endl << "您的当前分解等级为" << declevel << "级" << endl; int coefLen = cw.m_msgCL1D.allSize; double *pDst = new double[coefLen]; cw.WaveDec(signal, pDst); cout <<endl<< "分解信号中的各级小波系数：" << endl; int i = cw.m_msgCL1D.msgLen.size()-1; int count = cw.m_msgCL1D.msgLen[i]; for (int j = 0; j < coefLen; j++) { cout << pDst[j] << " "; count--; if (count==0) { i--; count = cw.m_msgCL1D.msgLen[i]; cout << endl; } } cout << endl; double *srcdata = new double[signalLen]; cw.WaveRec(pDst, srcdata); cout << "重构信号：" << endl; for (int i = 0; i < signalLen; i++) cout << srcdata[i] << " " ; delete[] pDst; pDst = NULL; delete[] srcdata; srcdata = NULL; system("pause"); return 0; } ~~~ ### 3，对噪声信号阈值去噪 说明：C++处理的噪声信号数据先被保存为txt，其是由matlab加载导出的噪声信号，最后又将计算结果保存为txt，加载到matlab中显示。噪声去噪结果与matlab一致。  附阈值去噪主测试函数： ~~~ //一维阈值去噪 const int signal_size = 3450; int main() { system("color 0A"); ifstream waveIn("noiseSignal.txt"); ofstream waveOut("denoiseSignal.txt"); double *signal = new double[signal_size]; for (int i = 0; i < signal_size; i++) waveIn >> signal[i]; double *pDen = new double[signal_size]; CWavelet cw; int scale = 3; int dbn = 3; cw.InitDecInfo(signal_size,scale,dbn); cw.thrDenoise(signal, pDen, true); for (int i = 0; i < signal_size; i++) waveOut << pDen[i] << endl; delete[] pDen; pDen = NULL; delete[] signal; signal = NULL; system("pause"); return 0; } ~~~ 注：本博文为[EbowTang](http://my.csdn.net/EbowTang)原创，后续可能继续更新本文。本着共享、开源精神可以转载，但请务必复制本条信息！ 原文地址：http://blog.csdn.net/ebowtang/article/details/40481393 原作者博客：http://blog.csdn.net/ebowtang # 参考资源： 【1】网友，邹宇华，博客地址，http://blog.csdn.net/chenyusiyuan/article/details/2862768 【2】《维基百科----小波变换》 【3】乔世杰.小波图像编码中的对称边界延拓法[ J].中国图像图形学报,2000,5(2):725-729. 【4】MALLAT S.A theory formulti-resolution signal decompo-sition: the wavelet representation[ J]. IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1989, 11(4):674-693. 【5】《小波十讲》 【6】《小波与傅里叶分析基础》 【7】冈萨雷斯《数字图像处理》 【8】matlab小波算法说明文档 【9】阈值去噪鼻祖论文，Donoho, D.L. (1995), "De-noising by soft-thresholding," IEEE Trans. on Inf. Theory, 41, 3, pp. 613–627. **声明：** **本文部分文字学习并整理自网络，部分代码参考于网络资源.** **如果侵犯了您的版权，请联系本人tangyibiao520@163.com，本人将及时编辑掉！** [](http://info.flagcounter.com/4ycf)