### 前言 今天开始学习高数，马上就要年底了，半年时间就这么快过去了，感觉自己什么都没做一样，每天虽然很忙，但学到的东西真的很少，缺少了上半年时的专注，提升不是很大，明年来了就只剩三个月了，所以在今年仅剩的几个月多学一点吧！ <!--more--> ### 函数的两个决定性要素 **定义域与对应关系** #### 函数的定义域 1. 分式的分母不能为零 2. 负数不能开偶次方 3. 负数和零不能取对数 4. 反正弦，反余弦函数的自变量的绝对值不能大于1 5. 正切函数的自变量不能等于kpai+pai/2,余切函数的自变量不能等于kpai #### 函数的对应关系 设函数是一一对应, 即对每一x,按对应规律f有唯一的y与之对应,反之,每一y,也有唯一的x使得f(x)=y。 #### 判断两个函数是否相同 首先看定义域是否相同，然后判断对应关系，即在当前定义域下的值是否完全一致。 ### 函数的奇偶性 设`y=f(x)`定义域关于坐标原点对称，则： * 若`f(-x)=f(x)`,那么`f(x)`为偶函数 * 若`f(-x)=-f(x)`，那么`f(x)`为奇函数 * 否则，为非奇非偶函数 ### 函数的有界性 设`y=f(x)`**在区间`(a,b)`内有定义**，若**存在正数M**，使**任意**的：**x∈(a,b)**，总有：`|f(x)|<=M`,则称`y=f(x)在(a,b)内有界`. ### 无穷小的概念及其比较 如果`x->x0(或者x->∞)`时,**函数`f(x)`趋于0**，那么称`f(x)`是`x->x0(或x->∞)`时的无穷小。 设`a(x),b(x)`皆为`x->x0`时的无穷小,`(b(x)!=0)`【lim x->x0 a(x)=0 && lim x->x0 b(x)!=0】 则： 1. 若**【lim x->x0 a(x)/b(x) = 0】**,那么，当x->x0时，a(x)是b(x)的高阶无穷小，记作：**a(x)=O(b(x))** 如：【**lim x->x0 x^2/x <=> lim x->x0 x => 0**】 2. 若**【lim x->x0 a(x)/b(x) = c != 0】**,那么，当x->x0时，a(x)与b(x)是同阶无穷小，记作： **a(x)~b(x),(x->x0)** 如： 【**lim x->x0 3x/x <=> lim x->x0 => 3**】（同阶无穷小）,【**lim x->x0 x/x <=> lim x->xo => 1**】(等阶无穷小) 3. 若 【**lim x->x0 a(x)/b(x) = ∞**】,那么，当x->x0时，a(x)是b(x)的低阶无穷小。 ### 两个重要极限 * 【**lim x->0 sinx/x = 1**】,其模式：【**lim a(x)->0 sin(a(x))/a(x) = 1**】,【"a(x)"中的表达式需一致】 下题： 【**lim x->2 sin(x)/x**】的极限是？ 答案：sin(2)/2 (如果一个函数在趋于一点时是连续的，极限值就等于函数值) 错误：【lim (x-2)->0 sin(x-2)/x-2 = 1】 * 【**lim x->(1+1/x)^x = e**,或【**lim x->(1+x)^(1/x) = e**】,其模式：**(1+ "无穷小")^"无穷大" = e**