https://www.zhihu.com/question/26006703/answer/129209540 [TOC] 作者：jacky yang 链接：https://www.zhihu.com/question/26006703/answer/129209540 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 关于深度学习，网上的资料很多，不过貌似大部分都不太适合初学者。 这里有几个原因： 1.深度学习确实需要一定的数学基础。如果不用深入浅出地方法讲，有些读者就会有畏难的情绪，因而容易过早地放弃。 2.中国人或美国人写的书籍或文章，普遍比较难一些。我不太清楚为什么，不过确实是这样子的。 深度学习，确实需要一定的数学基础，但真的那么难么？这个，还真没有。不信？听我来给你侃侃。看完，你也会觉得没那么难了。 本文是针对初学者，高手可以无视，有不对的地方，还请多多批评指正。 这里，先推荐一篇非常不错的文章： 《1天搞懂深度学习》，300多页的ppt，台湾李宏毅教授写的，非常棒。 不夸张地说，是我看过最系统，也最通俗易懂的，关于深度学习的文章。 这是slideshare的链接： [http://www.slideshare.net/tw_dsconf/ss-62245351?qid=108adce3-2c3d-4758-a830-95d0a57e46bc&amp;v=&amp;b=&amp;from_search=3](https://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.slideshare.net/tw_dsconf/ss-62245351%3Fqid%3D108adce3-2c3d-4758-a830-95d0a57e46bc%26v%3D%26b%3D%26from_search%3D3) 没梯子的同学，可以从我的网盘下： 链接：[http://pan.baidu.com/s/1nv54p9R](https://link.zhihu.com/?target=http%3A//pan.baidu.com/s/1nv54p9R) 密码：3mty 要说先准备什么，私以为，其实只需要知道导数和相关的函数概念就可以了。高等数学也没学过？很好，我就是想让文科生也能看懂，您只需要学过初中数学就可以了。 其实不必有畏难的情绪，个人很推崇李书福的精神，在一次电视采访中，李书福说：谁说中国人不能造汽车？造汽车有啥难的，不就是四个轮子加两排沙发嘛。当然，他这个结论有失偏颇，不过精神可嘉。 导数是什么，无非就是变化率呗，王小二今年卖了100头猪，去年卖了90头，前年卖了80头。。。变化率或者增长率是什么？每年增长10头猪，多简单。这里需要注意有个时间变量---年。王小二卖猪的增长率是10头/年，也就是说，导数是10. 函数y=f(x)=10x+30，这里我们假设王小二第一年卖了30头，以后每年增长10头，x代表时间（年），y代表猪的头数。 当然，这是增长率固定的情形，现实生活中，很多时候，变化量也不是固定的，也就是说增长率也不是恒定的。比如，函数可能是这样: y=f(x)=5x²+30，这里x和y依然代表的是时间和头数，不过增长率变了，怎么算这个增长率，我们回头再讲。或者你干脆记住几个求导的公式也可以。 深度学习还有一个重要的数学概念：偏导数，偏导数的偏怎么理解？偏头疼的偏，还是我不让你导，你偏要导？都不是，我们还以王小二卖猪为例，刚才我们讲到，x变量是时间（年），可是卖出去的猪，不光跟时间有关啊，随着业务的增长，王小二不仅扩大了养猪场，还雇了很多员工一起养猪。所以方程式又变了：y=f(x)=5x₁²+8x₂ + 35x₃ +30 这里x₂代表面积，x₃代表员工数，当然x₁还是时间。 上面我们讲了，导数其实就是变化率，那么偏导数是什么？偏导数无非就是多个变量的时候，针对某个变量的变化率呗。在上面的公式里，如果针对x₃求偏导数，也就是说，员工对于猪的增长率贡献有多大，或者说，随着（每个）员工的增长，猪增加了多少，这里等于35---每增加一个员工，就多卖出去35头猪. 计算偏导数的时候，其他变量都可以看成常量，这点很重要，常量的变化率为0，所以导数为0，所以就剩对35x₃ 求导数，等于35\. 对于x₂求偏导，也是类似的。 求偏导我们用一个符号 表示：比如 y/ x₃ 就表示y对 x₃求偏导。 废话半天，这些跟深度学习到底有啥关系？有关系，我们知道，深度学习是采用神经网络，用于解决线性不可分的问题。关于这一点，我们回头再讨论，大家也可以网上搜一下相关的文章。我这里主要讲讲数学与深度学习的关系。先给大家看几张图： &lt;img src="https://pic3.zhimg.com/v2-91704850c698cbe0cdfd0af76d328ebe_b.png" data-rawwidth="631" data-rawheight="488" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="631" data-original="https://pic3.zhimg.com/v2-91704850c698cbe0cdfd0af76d328ebe_r.png"&gt;  图1\. 所谓深度学习，就是具有很多个隐层的神经网络。 &lt;img src="https://pic4.zhimg.com/v2-7875411304340d5accd6d800be9f933b_b.jpg" data-rawwidth="432" data-rawheight="576" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="432" data-original="https://pic4.zhimg.com/v2-7875411304340d5accd6d800be9f933b_r.jpg"&gt;  图2.单输出的时候，怎么求偏导数 &lt;img src="https://pic2.zhimg.com/v2-c52b1fcdd42c3ac413120b56e40a8619_b.jpg" data-rawwidth="432" data-rawheight="576" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="432" data-original="https://pic2.zhimg.com/v2-c52b1fcdd42c3ac413120b56e40a8619_r.jpg"&gt;  图3.多输出的时候，怎么求偏导数。后面两张图是日语的，这是日本人写的关于深度学习的书。感觉写的不错，把图盗来用一下。所谓入力层，出力层，中间层，分别对应于中文的：输入层，输出层，和隐层。 大家不要被这几张图吓着，其实很简单的。干脆再举一个例子，就以撩妹为例。男女恋爱我们大致可以分为三个阶段： 1.初恋期。相当于深度学习的输入层。别人吸引你，肯定是有很多因素，比如：身高，身材，脸蛋，学历，性格等等，这些都是输入层的参数，对每个人来说权重可能都不一样。 2.热恋期。我们就让它对应于隐层吧。这个期间，双方各种磨合，柴米油盐酱醋茶。 3.稳定期。对应于输出层，是否合适，就看磨合得咋样了。 大家都知道，磨合很重要，怎么磨合呢？就是不断学习训练和修正的过程嘛！比如女朋友喜欢草莓蛋糕，你买了蓝莓的，她的反馈是negative，你下次就别买了蓝莓，改草莓了。 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 看完这个，有些小伙可能要开始对自己女友调参了。有点不放心，所以补充一下。 撩妹和深度学习一样，既要防止欠拟合，也要防止过拟合。所谓欠拟合，对深度学习而言，就是训练得不够，数据不足，就好比，你撩妹经验不足，需要多学着点，送花当然是最基本的了，还需要提高其他方面，比如，提高自身说话的幽默感等，因为本文重点并不是撩妹，所以就不展开讲了。这里需要提一点，欠拟合固然不好，但过拟合就更不合适了。过拟合跟欠拟合相反，一方面，如果过拟合，她会觉得你有陈冠希老师的潜质，更重要的是，每个人情况不一样，就像深度学习一样，训练集效果很好，但测试集不行！就撩妹而言，她会觉得你受前任(训练集)影响很大，这是大忌！如果给她这个映象，你以后有的烦了，切记切记！ ------------------------------------------------------------------------------------------------ 深度学习也是一个不断磨合的过程，刚开始定义一个标准参数（这些是经验值。就好比情人节和生日必须送花一样），然后不断地修正，得出图1每个节点间的权重。为什么要这样磨合？试想一下，我们假设深度学习是一个小孩，我们怎么教他看图识字？肯定得先把图片给他看，并且告诉他正确的答案，需要很多图片，不断地教他，训练他，这个训练的过程，其实就类似于求解神经网络权重的过程。以后测试的时候，你只要给他图片，他就知道图里面有什么了。 所以训练集，其实就是给小孩看的，带有正确答案的图片，对于深度学习而言，训练集就是用来求解神经网络的权重的，最后形成模型；而测试集，就是用来验证模型的准确度的。 对于已经训练好的模型，如下图所示，权重（w1，w2...）都已知。 &lt;img src="https://pic1.zhimg.com/v2-8521e1fa289e08dbbab5aa63b6527bd4_b.png" data-rawwidth="940" data-rawheight="736" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="940" data-original="https://pic1.zhimg.com/v2-8521e1fa289e08dbbab5aa63b6527bd4_r.png"&gt;  图4 &lt;img src="https://pic4.zhimg.com/v2-ef5ad0d06a316f762f0625b2468e2f43_b.png" data-rawwidth="776" data-rawheight="174" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="776" data-original="https://pic4.zhimg.com/v2-ef5ad0d06a316f762f0625b2468e2f43_r.png"&gt;  图5 我们知道，像上面这样，从左至右容易算出来。但反过来呢，我们上面讲到，测试集有图片，也有预期的正确答案，要反过来求w1，w2......，怎么办？ 绕了半天，终于该求偏导出场了。目前的情况是： 1.我们假定一个神经网络已经定义好，比如有多少层，都什么类型，每层有多少个节点，激活函数（后面讲）用什么等。这个没办法，刚开始得有一个初始设置（大部分框架都需要define-and-run，也有部分是define-by-run）。你喜欢一个美女，她也不是刚从娘胎里出来的，也是带有各种默认设置的。至于怎么调教，那就得求偏导。 2.我们已知正确答案，比如图2和3里的r，训练的时候，是从左至右计算，得出的结果为y，r与y一般来说是不一样的。那么他们之间的差距，就是图2和3里的E。这个差距怎么算？当然，直接相减是一个办法，尤其是对于只有一个输出的情况，比如图2； 但很多时候，其实像图3里的那样，那么这个差距，一般可以这样算，当然，还可以有其他的评估办法，只是函数不同而已，作用是类似的： &lt;img src="https://pic4.zhimg.com/v2-e5ddd26d65aa04ed82f2a51fc8212427_b.png" data-rawwidth="484" data-rawheight="102" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="484" data-original="https://pic4.zhimg.com/v2-e5ddd26d65aa04ed82f2a51fc8212427_r.png"&gt;  不得不说，理想跟现实还是有差距的，我们当然是希望差距越小越好，怎么才能让差距越来越小呢？得调整参数呗，因为输入（图像）确定的情况下，只有调整参数才能改变输出的值。怎么调整，怎么磨合？刚才我们讲到，每个参数都有一个默认值，我们就对每个参数加上一定的数值∆，然后看看结果如何？如果参数调大，差距也变大，你懂的，那就得减小∆，因为我们的目标是要让差距变小；反之亦然。所以为了把参数调整到最佳，我们需要了解误差对每个参数的变化率，这不就是求误差对于该参数的偏导数嘛。 关键是怎么求偏导。图2和图3分别给了推导的方法，其实很简单，从右至左挨个求偏导就可以。相邻层的求偏导其实很简单，因为是线性的，所以偏导数其实就是参数本身嘛，就跟求解x₃的偏导类似。然后把各个偏导相乘就可以了。 这里有两个点： 这里有两个点：一个是激活函数，这主要是为了让整个网络具有非线性特征，因为我们前面也提到了，很多情况下，线性函数没办法对输入进行适当的分类（很多情况下识别主要是做分类），那么就要让网络学出来一个非线性函数，这里就需要激活函数，因为它本身就是非线性的，所以让整个网络也具有非线性特征。另外，激活函数也让每个节点的输出值在一个可控的范围内，这样计算也方便。 貌似这样解释还是很不通俗，其实还可以用撩妹来打比方；女生都不喜欢白开水一样的日子，因为这是线性的，生活中当然需要一些浪漫情怀了，这个激活函数嘛，我感觉类似于生活中的小浪漫，小惊喜，是不是？相处的每个阶段，需要时不时激活一下，制造点小浪漫，小惊喜，比如；一般女生见了可爱的小杯子，瓷器之类都迈不开步子，那就在她生日的时候送一个特别样式，要让她感动得想哭。前面讲到男人要幽默，这是为了让她笑；适当的时候还要让她激动得哭。一哭一笑，多整几个回合，她就离不开你了。因为你的非线性特征太强了。 当然，过犹不及，小惊喜也不是越多越好，但完全没有就成白开水了。就好比每个layer都可以加激活函数，当然，不见得每层都要加激活函数，但完全没有，那是不行的。 由于激活函数的存在，所以在求偏导的时候，也要把它算进去，激活函数，一般用sigmoid，也可以用Relu等。激活函数的求导其实也非常简单： &lt;img src="https://pic2.zhimg.com/v2-a9311523c35a3558844d1edc22cee9ed_b.jpg" data-rawwidth="257" data-rawheight="159" class="content_image" width="257"&gt;  求导： f'(x)=f(x)*[1-f(x)] 这个方面，有时间可以翻看一下高数，没时间，直接记住就行了。 至于Relu，那就更简单了，就是f(x) 当x<0的时候y等于0，其他时候，y等于x。 当然，你也可以定义你自己的Relu函数，比如x大于等于0的时候，y等于0.01x，也可以。 另一个是学习系数，为什么叫学习系数？刚才我们上面讲到∆增量，到底每次增加多少合适？是不是等同于偏导数（变化率）？经验告诉我们，需要乘以一个百分比，这个就是学习系数，而且，随着训练的深入，这个系数是可以变的。 当然，还有一些很重要的基本知识，比如SGD（随机梯度下降），mini batch 和 epoch（用于训练集的选择），限于篇幅，以后再侃吧。其实参考李宏毅的那篇文章就可以了。 这篇拙文，算是对我另一个回答的补充吧： [深度学习入门必看的书和论文？有哪些必备的技能需学习？ - jacky yang 的回答](https://www.zhihu.com/question/31785984/answer/129108774?from=profile_answer_card) 其实上面描述的，主要是关于怎么调整参数，属于初级阶段。上面其实也提到，在调参之前，都有默认的网络模型和参数，如何定义最初始的模型和参数？就需要进一步深入了解。 不过对于一般做工程而言，只需要在默认的网络上调参就可以了，相当于用算法； 对于学者和科学家而言，他们会发明算法，难度还是不小的。向他们致敬！ 写得很辛苦，觉得好就给我点个赞吧:） ------------------------------------------------------------------------------------------------ 关于求偏导的推导过程，我尽快抽时间，把数学公式用通俗易懂的语言详细描述一下，前一段时间比较忙，抱歉:)