# 第 2 章 数学基础
## 标量、向量、矩阵和张量
(1) 标量（Scalar）：标量其实就是一个独立存在的数，比如在线性代数中一个实数 5 就可以被看作一个标量，所以标量的运算相对简单，与我们平常做的数学算术运算类似。
(2) 向量（Vector）：向量指一列按顺序排列的元素，我们通常习惯用括号将这一列元素括起来，其中的每个元素都由一个索引值来唯一地确定其在向量中的位置，假设向量中的第 1 个元素是`$ x_1 $`，它的索引值就是 1，第 2 个元素索引值是 2，依次类推。
如下所示就是一个由三个元素组成的向量，这个向量的索引值从 1 到 3 分别对应了从`$ x_1 $`到`$ x_3 $`的这三个元素：
```[tex]
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
```
(3) 矩阵（Matrix）：矩阵就是一个二维数组结构，我们会用括号将其中的全部元素括起来。向量的索引值是一维的，而矩阵的索引值是二维的。比如如下的矩阵：
```[tex]
X = \begin{bmatrix}
x_ {11}& x_{12}\\
x_{21} & x_{22}\\
x_{31} & x_{32}
\end{bmatrix}
```
`$ x_{11} $`的索引值就是 11。
(4) 张量（Tensor）：若数组的维度超过了二维，我们就可以用张量来表示，所以我们可以将张量理解为高维数组。同理，张量的索引值用两个维度的数字来表示已经不够了，其中的元素的索引值会随着张量维度的改变而改变。
## 矩阵的转置及基本运算
矩阵`$ X $`的转置矩阵表示为：`$ X^T $`
我们对原矩阵`$ X $`中的元素在经过变换后得到的相应的转置矩阵做如下定义：`$ (X^T)_{i,j}=X_{j,i} $`
举例如下：
```[tex]
X = \begin{bmatrix}
x_ {11}& x_{12}\\
x_{21} & x_{22}\\
x_{31} & x_{32}
\end{bmatrix}
```
转置后的矩阵如下：
```[tex]
X^T = \begin{bmatrix}
x_ {11}& x_{21} & x_{31}\\
x_{12} & x_{22} & x_{32}
\end{bmatrix}
```
<span style="font-size: 18px;">矩阵的基本运算</span>
*****
假设有矩阵 A、B，我们定义它们的算术运算后的结果都存储在矩阵 C 中，如下所示：
```[tex]
A = \begin{bmatrix}
a_ {11}& a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
,
B = \begin{bmatrix}
b_ {11}& b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
,
C = \begin{bmatrix}
c_ {11}& c_{12}\\
c_{21} & c_{22}
\end{bmatrix}
```
矩阵的加法运算公式如下：
```[tex]
C=A+B
```
```[tex]
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
```
矩阵的减法运算公式如下：
```[tex]
C=A-B
```
```[tex]
c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}
```
矩阵的乘法运算公式如下：
```[tex]
C=A \times B
```
```[tex]
c_{ij}=\sum\limits_{k}a_{ik} \times b_{kj}
```
