# 数据挖掘十大算法----EM算法（最大期望算法） > 来源：http://blog.csdn.net/u011067360/article/details/23702125 **概念** 在统计计算中，最大期望（EM）算法是在概率（probabilistic）模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量（Latent Variable）。 最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据聚类（Data Clustering）领域。 可以有一些比较形象的比喻说法把这个算法讲清楚。 比如说食堂的大师傅炒了一份菜，要等分成两份给两个人吃，显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量，最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中，然后观察是否一样多，把比较多的那一份取出一点放到另一个碗中，这个过程一直迭代地执行下去，直到大家看不出两个碗所容纳的菜有什么分量上的不同为止。（来自百度百科） EM算法就是这样，假设我们估计知道A和B两个参数，在开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。可以考虑首先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为止。 EM算法还是许多非监督聚类算法的基础（如Cheeseman et al. 1988），而且它是用于学习部分可观察马尔可夫模型（Partially Observable Markov Model）的广泛使用的Baum-Welch前向后向算法的基础。 ### 估计_k_个高斯分布的均值 介绍EM算法最方便的方法是通过一个例子。 考虑数据_D_是一实例集合，它由_k_个不同正态分布的混合所得分布所生成。该问题框架在下图中示出，其中_k_=2而且实例为沿着_x_轴显示的点。 每个实例使用一个两步骤过程形成。 首先了随机选择_k_个正态分布其中之一。 其次随机变量_x_i_按照此选择的分布生成。 这一过程不断重复，生成一组数据点如图所示。为使讨论简单化，我们考虑一个简单情形，即单个正态分布的选择基于统一的概率进行选择，并且_k_个正态分布有相同的方差_σ_²，且_σ_²已知。 学习任务是输出一个假设_h_=<_μ₁_…_μ_k_>，它描述了_k_个分布中每一个分布的均值。我们希望对这些均值找到一个极大似然假设，即一个使_P_(_D_|_h_)最大化的假设_h_。  注意到，当给定从一个正态分布中抽取的数据实例_x_₁,_x_₂, …, _x_m_时，很容易计算该分布的均值的极大似然假设。 其中我们可以证明极大似然假设是使_m_个训练实例上的误差平方和最小化的假设。 使用当表述一下式，可以得到： （公式一） 然而，在这里我们的问题涉及到_k_个不同正态分布的混合，而且我们不能知道哪个实例是哪个分布产生的。因此这是一个涉及隐藏变量的典型例子。 **EM算法步骤** 在上图的例子中，可把每个实例的完整描述看作是三元组<_x_i_,_z_i_₁, _z_i_₂>，其中_x_i_是第_i_个实例的观测值，_z_i_₁和_z_i_₂表示两个正态分布中哪个被用于产生值_x_i_。 确切地讲，_z_ij_在_x_i_由第_j_个正态分布产生时值为1，否则为0。这里_x_i_是实例的描述中已观察到的变量，_z_i_₁和_z_i_₂是隐藏变量。如果_z_i_₁和_z_i_₂的值可知，就可以用式一来解决均值_μ_₁和_μ_₂。因为它们未知，因此我们只能用EM算法。 EM算法应用于我们的_k_均值问题，目的是搜索一个极大似然假设，方法是根据当前假设<_μ_₁…_μ_k_>不断地再估计隐藏变量_z_ij_的期望值。然后用这些隐藏变量的期望值重新计算极大似然假设。这里首先描述这一实例化的EM算法，以后将给出EM算法的一般形式。 为了估计上图中的两个均值，EM算法首先将假设初始化为_h_=<_μ_₁,_μ_₂>，其中_μ_₁和_μ_₂为任意的初始值。然后重复以下的两个步骤以重估计_h_，直到该过程收敛到一个稳定的_h_值。 步骤1：计算每个隐藏变量_z_ij_的期望值_E_[_z_ij_]，假定当前假设_h_=<_μ_₁,_μ_₂>成立。 步骤2：计算一个新的极大似然假设_h_´=<_μ_₁´,_μ_₂´>，假定由每个隐藏变量_z_ij_所取的值为第1步中得到的期望值_E_[_z_ij_]，然后将假设_h_=<_μ_₁,_μ_₂>替换为新的假设_h_´=<_μ_₁´,_μ_₂´>，然后循环。 现在考察第一步是如何实现的。步骤1要计算每个_z_ij_的期望值。此_E_[_z_ij_]正是实例_x_i_由第_j_个正态分布生成的概率：     因此第一步可由将当前值<_μ_₁,_μ_₂>和已知的_x_i_代入到上式中实现。 在第二步，使用第1步中得到的_E_[_z_ij_]来导出一新的极大似然假设_h_´=<_μ_₁´,_μ_₂´>。如后面将讨论到的，这时的极大似然假设为：  注意此表达式类似于公式一中的样本均值，它用于从单个正态分布中估计_μ_。新的表达式只是对_μ_j_的加权样本均值，每个实例的权重为其由第_j_个正态分布产生的期望值。 **上面估计_k_个正态分布均值的算法描述了EM方法的要点**：即当前的假设用于估计未知变量，而这些变量的期望值再被用于改进假设。 可以证明，在此算法第一次循环中，EM算法能使似然性_P_(_D_|_h_)增加，除非它已达到局部的最大。因此该算法收敛到对于<_μ_₁,_μ_₂>的一个局部极大可能性假设。 **  EM算法的一般表述** 上面的EM算法针对的是估计混合正态分布均值的问题。更一般地，EM算法可用于许多问题框架，其中需要估计一组描述基准概率分布的参数_θ_，只给定了由此分布产生的全部数据中能观察到的一部分。 在上面的二均值问题中，感兴趣的参数为_θ_=<_μ_₁,_μ_₂>，而全部数据为三元组<_x_i_,_z_i_₁, _z_i_₂>，而只有_x_i_可观察到，一般地令_X_=<_x_₁, …,_x_m_>代表在同样的实例中已经观察到的数据，并令_Y_=_X_∪_Z_代表全体数据。注意到未观察到的_Z_可被看作一随机变量，它的概率分布依赖于未知参数_θ_和已知数据_X_。类似地，_Y_是一随机变量，因为它是由随机变量_Z_来定义的。在后续部分，将描述EM算法的一般形式。使用_h_来代表参数_θ_的假设值，而_h_´代表在EM算法的每次迭代中修改的假设。 EM算法通过搜寻使_E_[ln_P_(_Y_|_h_´)]最大的_h_´来寻找极大似然假设_h_´。此期望值是在_Y_所遵循的概率分布上计算，此分布由未知参数_θ_确定。考虑此表达式究竟意味了什么。 首先_P_(_Y_|_h_´)是给定假设_h_´下全部数据_Y_的似然性。其合理性在于我们要寻找一个_h_´使该量的某函数值最大化。 其次使该量的对数ln_P_(_Y_|_h_´)最大化也使_P_(_Y_|_h_´)最大化，如已经介绍过的那样。 第三，引入期望值_E_[ln_P_(_Y_|_h_´)]是因为全部数据_Y_本身也是一随机变量。 已知全部数据_Y_是观察到的_X_和未观察到的_Z_的合并，我们必须在未观察到的_Z_的可能值上取平均，并以相应的概率为权值。换言之，要在随机变量_Y_遵循的概率分布上取期望值_E_[ln_P_(_Y_|_h_´)]。该分布由完全已知的_X_值加上_Z_服从的分布来确定。 _Y_遵从的概率分布是什么？一般来说不能知道此分布，因为它是由待估计的_θ_参数确定的。然而，EM算法使用其当前的假设_h_代替实际参数_θ_，以估计_Y_的分布。现定义一函数_Q_(_h_´|_h_)，它将_E_[ln_P_(_Y_|_h_´)]作为_h_´的一个函数给出，在_θ_=_h_和全部数据_Y_的观察到的部分_X_的假定之下。  将_Q_函数写成_Q_(_h_´|_h_)是为了表示其定义是在当前假设_h_等于_θ_的假定下。在EM算法的一般形式里，它重复以下两个步骤直至收敛。 步骤1：估计（E）步骤：使用当前假设_h_和观察到的数据_X_来估计_Y_上的概率分布以计算_Q_(_h_´|_h_)。  步骤2：最大化（M）步骤：将假设_h_替换为使_Q_函数最大化的假设_h_´：  当函数_Q_连续时，EM算法收敛到似然函数_P_(_Y_|_h_´)的一个不动点。若此似然函数有单个的最大值时，EM算法可以收敛到这个对_h_´的全局的极大似然估计。否则，它只保证收敛到一个局部最大值。因此，EM与其他最优化方法有同样的局限性，如之前讨论的梯度下降，线性搜索和变形梯度等。 总结来说，EM算法就是通过迭代地最大化完整数据的对数似然函数的期望，来最大化不完整数据的对数似然函数。