1、8*8的棋盘上面放着64个不同价值的礼物，每个小的棋盘上面放置一个礼物（礼物的价值大于0），一个人初始位置在棋盘的左上角，每次他只能向下或向右移动一步，并拿走对应棋盘上的礼物，结束位置在棋盘的右下角，请设计一个算法使其能够获得最大价值的礼物。 ~~~ //经典的动态规划 //dp[i][j] 表示到棋盘位置（i，j）上可以得到的最大礼物值 //dp[i][j] = max( dp[i][j-1] , dp[i-1][j] ) + value[i][j] （0<i，j<n） int i, j, n = 8; dp[0][0] = value[0][0]; for( i = 1 ; i < n ; i++ ) { dp[i][0] = dp[i-1][0] + value[i][0]; } for( j = 1 ; j < n ; j++ ) { dp[0][j] = dp[0][j-1] + value[0][j]; } for( i = 1 ; i < n ; i++ ) { for( j = 1 ; j < n ; j++ ) { dp[i][j] = max( dp[i][j-1] , dp[i-1][j] ) + value[i][j]; } } cout<<dp[n-1][n-1]<<endl; ~~~ 扩展：现在增加一个限定值limit，从棋盘的左上角移动到右下角的时候的，每次他只能向下或向右移动一步，并拿走对应棋盘上的礼物，但是拿到的所有的礼物的价值之和不大于limit，请设计一个算法请实现。 ~~~ int row,col; int limit; int dp[row][col][limit]; int getMaxLessLimit() { memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int r = row-1 ; r >= 0; r--) { for(int c = col-1 ; c >= 0; c--) { for(int l = 0 ; l <= limit; l++) { if(l >= matrix[r][c]) { int max = 0; if(r != row-1 && dp[r+1][c][l-matrix[r][c]]>max) max = dp[r+1][c][l-matrix[r][c]]; if(c != col-1 && dp[r][c+1][l-matrix[r][c]]>max) max = dp[r][c+1][l-matrix[r][c]]; if(max == 0 && !(r == row-1 && c == col-1)) dp[r][c][l] = 0; else dp[r][c][l] = max + matrix[r][c]; } } } } return dp[0][0][limit]; } ~~~ 或者 ~~~ int hash[row][col][limit]; int getMaxLessLimit() { memset(hash,0,sizeof(hash)); hash[0][0][matrix[0][0]] = 1; for(int i = 0 ; i < row ; i++) { for(int j = 0 ; j < col ; j++) { for(int k = 0 ; k <= limit ; k++) { if(k >= matrix[i][j]) { if(i >= 1 && hash[i-1][j][k-matrix[i][j]]) hash[i][j][k] = 1; if(j >= 1 && hash[i][j-1][k-matrix[i][j]]) hash[i][j][k] = 1; } } } } int ans = 0; for(int k = limit; k >= 0; k--) { if(hash[row-1][col-1][k] && k>ans) ans = k; } return ans; } ~~~ 2、有两个字符串s1和s2，其长度分别为l1和l2，将字符串s1插入到字符串s2中，可以插入到字符串s2的第一个字符的前面或者最后一个字符的后面，对于任意两个字符串s1和s2，判断s1插入到s2中后是否能够构成回文串。。 3、已知有m个顶点，相邻的两个顶点之间有一条边相连接，首尾顶点也有一条边连接，这样就构成了一个圆环。 现在有一个二维数组M[][]，M[i][j]=1时，表明第i和j个节点之间有条边存在，M[i][j]=0时，表明第i和j个节点之间没有边存在，其中 M[i][i]=0，M[i][j]=M[j][i]，输入为一个二维数组M[][]和顶点的个数n，试着判断该图中是否存在两个圆环，且两个圆环彼此之间没有公共点。试着实现下面这个函数： bool IsTwoCircle(int **M,int n) { ...... } 4、给定如下的n*n的数字矩阵，每行从左到右是严格递增， 每列的数据也是严格递增 1 3 7 15 16 2 5 8 18 19 4 6 9 22 23 10 13 17 24 28 20 21 25 26 33 现在要求设计一个算法， 给定一个数k 判断出k是否在这个矩阵中。 描述算法并且给出时间复杂度（不考虑载入矩阵的消耗） **方法一** 从右上角开始（从左下角开始也是一样的），然后每步往左或往下走。  这样每步都能扔掉一行或者一列，最坏的情况是被查找的元素位于另一个对角，需要2N步，因此这个算法是o(n)的，而且代码简洁直接。 ~~~ bool stepWise(int mat[][N] , int key , int &row , int &col) { if(key < mat[0][0] || key > mat[N-1][N-1]) return false; row = 0; col = N-1; while(row < N && col >= 0) { if(mat[row][col] == key ) //查找成功 return true; else if(mat[row][col] < key ) ++row; else --col; } return false; } ~~~ **方法二（分治法）** 首先，我们注意到矩阵中的元素总是把整个矩阵分成四个更小的矩阵。例如，中间的元素9把整个矩阵分成如下图所示的四块。由于四个小矩阵也是行列有序的，问题自然而然地划分为四个子问题。每次我们都能排除掉四个中的一个子问题。假如我们的查找目标是21，21>9，于是我们可以立即排除掉9左上方的那块，因为那个象限的元素都小于或等于9。  以下是这种二维二分的代码，矩阵的维度使用l、u、r、d刻画的，其中l和u表示左上角的列和行，r和d表示右下角的列和行。 ~~~ bool quadPart(int mat[][N] , int key , int l , int u , int r , int d , int &row , int &col) { if(l > r || u > d) return false; if(key < mat[u][l] || key > mat[d][r]) return false; int mid_col = (l+r)>>1; int mid_row = (u+d)>>1; if(mat[mid_row][mid_col] == key) //查找成功 { row = mid_row; col = mid_col; return true; } else if(l == r && u == d) return false; if(mat[mid_row][mid_col] > key) { // 分别在右上角、左上角、左下角中查找 return quadPart(mat , key , mid_col+1 , u , r , mid_row , row , col) || quadPart(mat , key , l , mid_row+1 , mid_col , d , row , col) || quadPart(mat , key , l , u , mid_col , mid_row , row , col) ; } else { // 分别在右上角、左下角、右下角中查找 return quadPart(mat , key , mid_col+1 , u , r , mid_row , row , col) || quadPart(mat , key , l , mid_row+1 , mid_col , d , row , col) || quadPart(mat , key , mid_col+1 , mid_row+1 , r , d , row , col) ; } } bool quadPart(int mat[][N] , int key , int &row , int &col) { return bool quadPart(mat , key , 0 , 0 , N-1 , N-1 , row , col); } ~~~ 5、设 一个64位整型n,各个bit位是1的个数为a个. 比如7, 2进制就是 111, 所以a为3。 现在给出m个数, 求各个a的值。要求代码实现。 思路：如果可以直接用stl的bitset。算法可用移位和&1来做。还有一个更好的算法是直接位与（x-1)直到它为0。 ~~~ while(n) { n = n & (n-1); ++count; } ~~~ 6、有N＋2个数，N个数出现了偶数次，2个数出现了奇数次（这两个数不相等），问用O（1）的空间复杂度，找出这两个数，不需要知道具体位置，只需要知道这两个值。       求解：如果只有一个数出现过奇数次，这个就比较好求解了，直接将数组中的元素进行异或，异或的结果就是只出现过奇数次的那个数。      但是题目中有2个数出现了奇数次？，求解方法如下：      假设这两个数为a，b，将数组中所有元素异或结果x=a^b，判断x中位为1的位数（注：因为a！=b，所以x！=0，我们只需知道某一个位为1的位数k，例如0010 1100，我们可取k=2或者3，或者5），然后将x与数组中第k位为1的数进行异或，异或结果就是a，b中一个，然后用x异或，就可以求出另外一个。      为什么呢？因为x中第k位为1表示a或b中有一个数的第k位也为1，假设为a，我们将x与数组中第k位为1的数进行异或时，也就是将x与a外加上其他第k位为1的出现过偶数次的数进行异或，化简即为x与a异或，结果是b。     代码如下： ~~~ void getNum(int a[],int length) { int s = 0;//保存异或结果 for(int i=0;i<length;i++) { s=s^a[i]; } int temp1 = s; //临时保存异或结果 int temp2 = s; //临时保存异或结果 int k=0; while((temp1&1) == 0) //求异或结果中位为1的位数 { temp1 = temp1>>1; k++; } for(int i=0;i<length;i++) { if((a[i]>>k)&1) //将s与数组中第k位为1的数进行异或，求得其中一个数 { //cout<<a[i]<<" "; s=s^a[i]; } } cout<<s<<" "<<(s^temp2)<<endl; //(s^temp2)用来求另外一个数 } ~~~ 7、找出数组中只出现一次的3个数。 思路类似于求解上题，关键是找出第一个来，然后借助上题结论求另外两个。  a[]数组，假设x y z为只出现一次的数，其他出现偶数次 s^=a[i] 则x^y x^z y^z 的lowbit 这三个值有一个规律，其中肯定两个是一样的，另外一个是不一样的。令flips=上述三个值的异或。因此，可以利用此条件获得某个x(或者y，或者z)，循环判断的条件是 a[i]^s的lowbit==flips 解释：a[i]^s即可划分为两组，一组是lowbit与flips不同，一组是lowbit与flips相同。这样就能找到某个x,y,z，找出后，与数组最户一个值交换，利用find2，找出剩余两个。 lowbit为某个数从右往左扫描第一次出现1的位置。其实 lowbit 函数里面写成  mark = (x&(x-1))^x  ; return mark ; 也是可以的，功能是一样的。 ~~~ /** **author :hackbuteer **date   :2011-10-19    **/ #include <iostream>   using namespace std; int lowbit(int x) { return x & ~(x - 1); } void Find2(int seq[], int n, int& a, int& b) { int i, xors = 0; for(i = 0; i < n; i++) xors ^= seq[i]; int diff = lowbit(xors); a = 0,b = 0; for(i = 0; i < n; i++) { if( diff&seq[i] ) //与运算，表示数组中与异或结果位为1的位数相同 a ^= seq[i]; else b ^= seq[i]; } } //三个数两两的异或后lowbit有两个相同，一个不同，可以分为两组 void Find3(int seq[], int n, int& a, int& b, int& c) { int i, xors = 0; for(i = 0; i < n; i++) xors ^= seq[i]; int flips = 0; for(i = 0; i < n; i++) //因为出现偶数次的seq[i]和xors的异或，异或结果不改变 flips ^= lowbit(xors ^ seq[i]); //表示的是：flips=lowbit(a^b)^lowbit(a^c)^lowbit(b^c) //flips = lowbit(flips); 这个是多余的 //三个数两两异或后lowbit有两个相同，一个不同，可以分为两组 //所以flips的值为：lowbit(a^b) 或 lowbit(a^c) 或 lowbit(b^c) //得到三个数中的一个 a = 0; for(i = 0; i < n; i++) { if(lowbit(seq[i] ^ xors) == flips) //找出三个数两两异或后的lowbit与另外两个lowbit不同的那个数 a ^= seq[i]; } //找出后，与数组中最后一个值交换，利用Find2，找出剩余的两个 for(i = 0; i < n; i++) { if(a == seq[i]) { int temp = seq[i]; seq[i] = seq[n - 1]; seq[n - 1] = temp; } } //利用Find2，找出剩余的两个 Find2(seq, n - 1, b, c); } //假设数组中只有2、3、5三个数，2与3异或后为001，2与5异或后为111，3与5异或后为110， //则flips的值为lowbit（110）= 2 ，当异或结果xors与2异或的时候，得到的就是3与5异或的结果110，其lowbit值等于flips，所以最先找出来的是三个数中的第一个数：2 int main(void) { int seq[]={ 2,3,3,2,4,6,4,10,9,8,8 }; int a,b,c; Find3(seq, 11, a, b, c); cout<<a<<endl; cout<<b<<endl; cout<<c<<endl; return 0; } ~~~ 8、do while(0)在宏定义中的应用。 看linux源码时,经常发现有宏定义用 ~~~ #define XYZ \ do{...} while(0) ~~~ 这是一个奇怪的循环，它根本就只会运行一次，为什么不去掉外面的do{..}while结构呢？原来这也是非常巧妙的技巧。在工程中可能经常会引起麻烦，而上面的定义能够保证这些麻烦不会出现。下面是解释： 假设有这样一个宏定义 ~~~ #define macro(condition) \ if(condition) dosomething() ~~~ 现在在程序中这样使用这个宏： ~~~ if(temp)    macro(i); else    doanotherthing(); ~~~ 一切看起来很正常，但是仔细想想。这个宏会展开成： ~~~ if(temp)    if(i) dosomething(); else    doanotherthing(); ~~~ 这时的else不是与第一个if语句匹配，而是错误的与第二个if语句进行了匹配，编译通过了，但是运行的结果一定是错误的。 为了避免这个错误，我们使用do{….}while(0) 把它包裹起来，成为一个独立的语法单元，从而不会与上下文发生混淆。同时因为绝大多数的编译器都能够识别do{…}while(0) 这种无用的循环并进行优化，所以使用这种方法也不会导致程序的性能降低。 此外，这是为了含多条语句的宏的通用性。因为默认规则是宏定义最后是不能加分号的，分号是在引用的时候加上的。 在MFC的afx.h文件里面， 你会发现很多宏定义都是用了do...while(0)或do...while(false)。 为了看起来更清晰，这里用一个简单点的宏来演示： ~~~ #define SAFE_DELETE(p) do{ delete p; p = NULL } while(0) 假设这里去掉do...while(0), #define SAFE_DELETE(p)   delete p; p = NULL; ~~~ 那么以下代码： ~~~ if(NULL != p) SAFE_DELETE(p) else   ...do sth... ~~~ 就有两个问题， 1) 因为if分支后有两个语句，else分支没有对应的if，编译失败。 2) 假设没有else, SAFE_DELETE中的第二个语句无论if测试是否通过，会永远执行。 你可能发现，为了避免这两个问题，我不一定要用这个令人费解的do...while,  我直接用{}括起来就可以了 `#define SAFE_DELETE(p)   { delete p; p = NULL;} ` 的确，这样的话上面的问题是不存在了，但是我想对于C++程序员来讲，在每个语句后面加分号是一种约定俗成的习惯，这样的话，以下代码: if(NULL != p)  SAFE_DELETE(p); else   ...do sth... 由于if后面的大括号后面加了一个分号，导致其else分支就无法通过编译了（原因同上），所以采用do...while(0)是做好的选择了。 如果使用名家的方法 ~~~ #define SAFE_FREE(p)   do {free(p);p=NULL;}  while(0) ~~~ 那么 ~~~ if(NULL!=p)        SAFE_FREE(p); else         do something ~~~ 展开为 ~~~ if(NULL!=p) do      { free(p);p=NULL;} while(0); else        do something ~~~ 好了 这样就一切太平了。