Maxima 对各种微积分的运算提供了强有力的支持。 可以这么说，在基本微积分运算能力上，Maxima 不输给任何商业软件。 ### 求极限 求极限是微积分中最基本的运算。在Maxima 中用 limit 函数完成求极限的工作。 limit (expr, x, val)  计算 x 趋近于 val 时 expr 的极限。 如果极限不存在，范围值可能为 und (极限不存在)，ind (极限不存在但是有界)，infinity(发散) limit (expr, x, val, dir) 计算 x 从 dir 方向趋近于 val 时 expr 的极限。 dir 为 plus 时求的是右极限，为 minus 时求的是左极限。 'limit(sin(x)/x,x,0); limit(sin(x)/x,x,0); 'limit((1+1/x)^x,x,inf); limit((1+1/x)^x,x,inf);  limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0); 'limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,minus); limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,minus); 'limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,plus); limit((2^(1/x)+1)/(2^(1/x)-1),x,0,plus);  'limit((2*x^2+x)/(x^2-2),x,inf); limit((2*x^2+x)/(x^2-2),x,inf);  ### 微分运算 diff 函数可以实现微分运算，有四种基本形式，最基本的形式是： diff (expr, x)  求表达式 expr 对 x 的微分。 diff(sin(x)*x^3,x);  diff(u(x)*v(x),x); diff(u(x)*v,x);  从上面的例子可以看到，一个函数如果不明确表明自变量，diff 函数是不会对其求导的。 diff (expr, x, n) 求表达式 expr 对 x 的 n 次微分。 diff(y^3*exp(-y^2),y,2);  diff (expr, x_1, n_1, …, x_m, n_m)  求的是混合偏导数。 diff(f(x,y),x,2,y,1);  diff (expr) 计算的是全微分。 diff(f(x,y));  ### taylor 级数展开 函数f(x)的在x = a附近的幂级数可以通过powerseries (f(x), x, a)获得。 powerseries (f(x), x, a); powerseries(1/(1-x^2), x, 0);  上面得到的结果中的求和指数 i2 看起来显得不那么专业，可以用 niceindices 函数将其变的看起来更专业些。 niceindices(powerseries(1/(1-x^2), x, 0));  很多时候我们无法得到级数的解析表示，这时候可以用 taylor (f(x), x, a, n)得到函数f(x)在x = a附近第 n 阶项（(x - a)^n）以下各项的泰勒级数 taylor(sin(x), x, 0, 8);  同样，对多元函数也可以进行 taylor 展开。 taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);  利用 pade 近似可以将 taylor 级数转化为多项式函数。比如下面的例子 taylor(sin(x), x, 0, 8); pade(%,5,5);  ### 积分运算 integrate(expr, x) 计算不定积分。 integrate(expr, x, a, b) 计算定积分，积分上下限分别为 a b。 integrate(1/(1+x^2),x); integrate(1/(1+x^2),x, minf, inf);  risch (expr, x) 采用 Risch 方法计算不定积分。 risch (x^2*erf(x), x),ratsimp;  changevar 函数利用变量替换，对待积分函数进行换元。这个功能对学习换元法求积分还是蛮有用的。 'integrate(x^2/(1+x^2),x,0,2); changevar(%,x=tan(theta),theta,x);  ### 求和与求积运算 sum (expr, i, i_0, i_1) 计算求和。 product (expr, i, i_0, i_1) 计算求积。   sum (i^2, i, 1, 7); sum (a[i], i, 1, 7); sum(1/k^2,k,0,inf); sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;  product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4); product (a(i), i, 1, n); product (k, k, 1, n), simpproduct;  ### laplace 变换 Maxima 中提供了两个函数用来计算 laplace 变换和反变换。 laplace (expr, t, s) 对表达式 expr 进行 laplace 变换，积分变量为 t，变换后的参数为 s. ilt (expr, s, t) 对表达式进行反变换。 需要说明的是这两个函数进行的都是单边 laplace 变换，Maxima 中还没有对双边拉式变换的支持。   laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s); laplace ('diff (f (x), x), x, s); ilt(1/(s+1),s,t);  提到 laplace 变换就不能不提提部分分式展开。 在大多数介绍 laplace 变换的初级课本中都只介绍利用部分分式展开的方式进行反变换。 Maxima 提供了 partfrac 函数来完成部分分式展开的工作。下面用一个例子来说明： x/(x^3+4*x^2+5*x+2); partfrac (x/(x^3+4*x^2+5*x+2), x);