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# 前缀码
对每一个字符规定一个0,1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符的前缀。这种编码称为前缀码。
译码过程需要方便地取出编码的前缀，因此需要一种表示前缀码的合适的数据结构。为此，我们选用了二叉树。
# 哈夫曼树
在一般的数据结构的书中，树的那章后面，著者一般都会介绍一下哈夫曼(HUFFMAN)树和哈夫曼编码。哈夫曼是哈夫曼树的一个应用。哈夫曼编码应用广泛，如JPEG中就应用了哈夫曼编码。
首先介绍什么是哈夫曼树。哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度
为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1\*L1+W2\*L2+W3\*L3+...+Wn\*Ln)，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。
* **哈夫曼编码步骤**：
1. 对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
2. 在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
3. 从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
4. 重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。
简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：
虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：
再依次建立哈夫曼树，如下图：
其中各个权值替换对应的字符即为下图：
所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
# 分析
# 代码实现-1
```
#include <stdio.h>
#include <string.h>
typedef struct node_t {
struct node_t *left,*right;
int freq;
char c;
} *node;
struct node_t pool[256] = {{0}};
node qqq[255],*q=qqq-1;
int n_nodes = 0,qend = 1;
char *code[128] = {0},buf[1024];
node new_node(int freq,char c,node a,node b) {
node n = pool + n_nodes++;
if(freq) n->c = c,n->freq = freq;
else {
n->left = a,n->right = b;
n->freq = a->freq + b->freq;
}
return n;
}
void qinsert(node n) {
int j,i=qend++;
while((j = i/2)) {
if(q[j]->freq <= n->freq) break;
q[i] = q[j],i=j;
}
q[i] = n;
}
node qremove() {
int i,l;
node n = q[i=1];
if(qend < 2) return 0;
qend--;
while((l=i*2) < qend) {
if(l+1 < qend && q[l+1]->freq < q[l]->freq) l++;
q[i] = q[l]; i = l;
}
q[i] = q[qend];
return n;
}
/* walk the tree and put 0s and 1s */
void build_code(node n, char *s, int len)
{
static char *out = buf;
if (n->c) {
s[len] = 0;
strcpy(out, s);
code[n->c] = out;
out += len + 1;
return;
}
s[len] = '0'; build_code(n->left, s, len + 1);
s[len] = '1'; build_code(n->right, s, len + 1);
}
void init(const char *s) {
int i,freq[128] = {0};
char c[16];
while(*s) freq[(int)*s++]++;
for(i = 0; i < 128 ; i++) {
if(freq[i]) qinsert(new_node(freq[i],i,0,0));
}
while(qend > 2) {
qinsert(new_node(0,0,qremove(),qremove()));
}
build_code(q[1],c,0);
}
void encode(const char *s, char *out)
{
while (*s) {
strcpy(out, code[*s]);
out += strlen(code[*s++]);
}
}
void decode(const char *s, node t)
{
node n = t;
while (*s) {
if (*s++ == '0') n = n->left;
else n = n->right;
if (n->c) putchar(n->c), n = t;
}
putchar('\n');
if (t != n) printf("garbage input\n");
}
int main(void)
{
int i;
const char *str = "thisis", buf[1024];
init(str);
for (i = 0; i < 128; i++)
if (code[i]) printf("'%c': %s\n", i, code[i]);
encode(str, buf);
printf("encoded: %s\n", buf);
printf("decoded: ");
decode(buf, q[1]);
return 0;
}
```
