在前面课时中，我们已经学习了解决代码问题的方法论。宏观上，它可以分为以下 4 个步骤： 1. 复杂度分析。估算问题中复杂度的上限和下限。 2. 定位问题。根据问题类型，确定采用何种算法思维。 3. 数据操作分析。根据增、删、查和数据顺序关系去选择合适的数据结构，利用空间换取时间。 4. 编码实现。 这套方法论的框架，是解决绝大多数代码问题的基本步骤。其中第 3 步，数据操作分析是数据结构发挥价值的地方。本课时，我们将继续通过经典真题案例进行数据结构训练。 #### 数据结构训练题 **例题 1：反转字符串中的单词** 【题目】 给定一个字符串，逐个翻转字符串中的每个单词。例如，输入："This is a good example"，输出："example good a is This"。如果有多余的空格需要删除。 【解析】 在本课时开头，我们复习了解决代码问题的方法论，下面我们按照解题步骤进行详细分析。 首先分析一下复杂度。这里的动作可以分为拆模块和做翻转两部分。在采用比较暴力的方法时，拆模块使用一个 for 循环，做翻转也使用一个 for 循环。这样双重循环的嵌套，就是 O(n²) 的复杂度。 接下来定位问题。我们可以看到它对数据的顺序非常敏感，敏感点一是每个单词需要保证顺序；敏感点二是所有单词放在一起的顺序需要调整为逆序。我们曾学过的关于数据顺序敏感的结构有队列和栈，也许这些结构可以适用在这个问题中。此处需要逆序，栈是有非常大的可能性被使用到的。 然后我们进行数据操作分析。如果要使用栈的话，从结果出发，就需要按照顺序，把 This、is、a、good、example 分别入栈。要想把它们正确地入栈，就需要根据空格来拆分原始字符串。 因此，经过分析后，这个例子的解法为：用空格把句子分割成单词。如果发现了多余的连续空格，需要做一些删除的额外处理。一边得到单词，一边把单词放入栈中。直到最后，再把单词从栈中倒出来，形成结果字符串。  最后，我们按照上面的思路进行编码开发。代码如下： ``` public static void main(String[] args) { String ss = "This is a good example"; System.out.println(reverseWords(ss)); } private static String reverseWords(String s) { Stack stack=new Stack(); String temp = ""; for (int i = 0; i < s.length(); i++) { if (s.charAt(i) != ' ') { temp += s.charAt(i); } else if (temp != ""){ stack.push(temp); temp = ""; } else{ continue; } } if (temp != ""){ stack.push(temp); } String result = ""; while (!stack.empty()){ result += stack.pop() + " "; } return result.substring(0,result.length()-1); } ``` 下面我们对代码进行解读。 主函数中，第 1～4 行，不用过多赘述。第 7 行定义了一个栈，第 8 行定义了一个缓存字符串的变量。 接着，在第 9～20 行进入 for 循环。对每个字符分别进行如下判断： * 如果字符不是空格，当前单词还没有结束，则放在 temp 变量后面； * 如果字符是空格（10～12 行），说明当前单词结束了； * 如果 temp 变量不为空（13～16 行），则入栈； * 如果字符是空格，但 temp 变量是空的，就说明虽然单词结束了（17～19 行），但当前并没有得到新的单词。也就是连续出现了多个空格的情况。此时用 continue 语句忽略。 然后，再通过 21～23 行，把最后面的一个单词（它可能没有最后的空格帮助切分）放到栈内。此时所有的单词都完成了入栈。 最后，在 24～28 行，让栈内的字符串先后出栈，并用空格隔离开放在 result 字符串内。最后返回 result 变量。别忘了，最后一次执行 pop 语句时，多给了 result 一个空格，需要将它删除掉。这样就完成了这个问题。 这段代码采用了一层的 for 循环，显然它的时间复杂度是 O(n)。相比较于比较暴力的解法，它之所以降低了时间复杂度，就在于它开辟了栈的存储空间。所以空间复杂度也是 O(n)。 **例题 2：树的层序遍历** 【题目】 给定一棵树，按照层次顺序遍历并打印这棵树。例如，输入的树为：  则打印 16、13、20、10、15、22、21、26。格外需要注意的是，这并不是前序遍历。 【解析】 如果你一直在学习这门课的话，一定对这道题目似曾相识。它是我们在 09 课时中留下的练习题。同时它也是高频面试题。仔细分析下这个问题，不难发现它是一个关于树的遍历问题。理论上是可以在 O(n) 时间复杂度下完成访问的。 以往我们学过的遍历方式有前序、中序和后序遍历，它们的实现方法都是通过递归。以前序遍历为例，递归可以理解为，先解决根结点，再解决左子树一边的问题，最后解决右子树的问题。这很像是在用深度优先的原则去遍历一棵树。 现在我们的问题要求是按照层次遍历，这就跟上面的深度优先的原则完全不一样了，更像是广度优先。也就是说，从遍历的顺序来看，一会在左子树、一会在右子树，会来回跳转。显然，这是不能用递归来处理的。 那么我们该如何解决呢？ 我们从结果来看看这个问题有什么特点。打印的结果是 16、13、20、10、15、22、21、26。 从后往前看，可以发现：打印 21 和 26 之前，会先打印 22。这是一棵树的上下级关系；打印 10 和 15 之前，会先打印 13，这也是一棵树的上下级关系。显然，结果对上下级关系的顺序非常敏感。 接着，我们发现 13 和 10、15 之间的打印关系并不连续，夹杂着右边的结点 20。也就是说，左边的优先级大于右边大于下边。 分析到这里，你应该能找到一些感觉了吧。一个结果序列对顺序敏感，而且没有逆序的操作，满足这些特点的数据结构只有队列。所以我们猜测这个问题的解决方案，极有可能要用到队列。 队列只有入队列和出队列的操作。如果输出结果就是出队列的顺序，那这个顺序必然也是入队列的顺序，原因就在于队列的出入原则是先进先出。而入队列的原则是，上层父节点先进，左孩子再进，右孩子最后进。 因此，这道题目的解决方案就是，根结点入队列，随后循环执行结点出队列并打印结果，左孩子入队列，右孩子入队列。直到队列为空。如下图所示：  这个例子的代码如下： ``` public static void levelTraverse(Node root) { LinkedList<Node> queue = new LinkedList<Node>(); Node current = null; queue.offer(root); // 根结点入队 while (!queue.isEmpty()) { current = queue.poll(); // 出队队头元素 System.out.print(current.data); // 左子树不为空，入队 if (current.leftChild != null) queue.offer(current.leftChild); // 右子树不为空，入队 if (current.rightChild != null) queue.offer(current.rightChild); } } ``` 下面我们对代码进行解读。在这段代码中，第 2 行首先定义了一个队列 queue，并在第 4 行让根结点入队列，此时队列不为空。 接着进入一个 while 循环进行遍历。当队列不为空的时候，第 6 行首先执行出队列操作，并把结果存在 current 变量中。随后第 7 行打印 current 的数值。如果 current 还有左孩子或右孩子，则分别按顺序执行入队列的操作，这是在第 9～13 行。 经过这段代码，可以完成的是，所有顺序都按照层次顺序入队列，且左孩子优先。这样就得到了按行打印的结果。时间复杂度是 O(n)。空间复杂度由于定义了 queue 变量，因此也是 O(n)。 **例题 3：查找数据流中的中位数** 【题目】 在一个流式数据中，查找中位数。如果是偶数个，则返回偏左边的那个元素。 例如： ``` 输入 1，服务端收到 1，返回 1。 输入 2，服务端收到 1、2，返回 1。 输入 0，服务端收到 0、1、2，返回 1。 输入 20，服务端收到 0、1、2、20，返回 1。 输入 10，服务端收到 0、1、2、10、20，返回 2。 输入 22，服务端收到 0、1、2、10、20、22，返回 2。 ``` 【解析】 这道题目依旧是按照解决代码问题的方法论的步骤进行分析。 先看一下复杂度。显然，这里的问题定位就是个查找问题。对于累积的客户端输入，查找其中位数。中位数的定义是，一组数字按照从小到大排列后，位于中间位置的那个数字。 根据这个定义，最简单粗暴的做法，就是对服务端收到的数据进行排序得到有序数组，再通过 index 直接取出数组的中位数。排序选择快排的时间复杂度是 O(nlogn)。 接下来分析一下这个查找问题。该问题有一个非常重要的特点，我们注意到，上一轮已经得到了有序的数组，那么这一轮该如何巧妙利用呢？ 举个例子，如果采用全排序的方法，那么在第 n 次收到用户输入时，则需要对 n 个数字进行排序并输出中位数，此时服务端已经保存了这 n 个数字的有序数组了。而在第 n+1 次收到用户输入时，是不需要对 n+1 个数字整体排序的，仅仅通过插入这个数字到一个有序数组中就可以完成排序。显然，利用这个性质后，时间复杂度可以降低到 O(n)。 接着，我们从数据的操作层面来看，是否仍然有优化的空间。对于这个问题，其目标是输出中位数。只要你能在 n 个数字中，找到比 x 小的 n/2 个数字和比 x 大的 n/2 个数字，那么 x 就是最终需要返回的结果。 基于这个思想，可以动态的维护一个最小的 n/2 个数字的集合，和一个最大的 n/2 个数字的集合。如果数字是奇数个，就我们就在左边最小的 n/2 个数字集合中多存一个元素。 例如，当前服务端收到的数字有 0、1、2、10、20。如果用两个数据结构分别维护 0、1、2 和 10、20，那么当服务端收到 22 时，就可以根据 1、2、10 和 22 的大小关系，判断出中位数到底是多少了。 具体而言，当前的中位数是 2，额外增加一个数字之后，新的中位数只可能发生在 1、2、10 和新增的一个数字之间。不管中位数发生在哪里，都可以通过一些 if-else 语句进行查找，那么时间复杂度就是 O(1)。 虽然这种方法对于查找中位数的时间复杂度降低到了 O(1)，但是它还需要有一些后续的处理，这主要是辅助下一次的请求。 例如，当前用两个数据结构分别维护着 0、1、2 和 10、20，那么新增了 22 之后，这两个数据结构如何更新。这就是原问题最核心的瓶颈了。 从结果来看，如果新增的数字比较小，那么就添加到左边的数据结构，并且把其中最大的 2 新增到右边，以保证二者数量相同。如果新增的数字比较大，那么就放到右边的数据结构，以保证二者数量相同。在这里，可能需要的数据操作包括，查找、中间位置的新增、最后位置的删除。 顺着这个思路继续分析，有序环境中的查找可以采用二分查找，时间复杂度是 O(logn)。最后位置的删除，并不牵涉到数据的挪移，时间复杂度是 O(1)。中间位置的新增就麻烦了，它需要对数据进行挪移，时间复杂度是 O(n)。如果要降低它的复杂度就需要用一些其他手段了。 在这个问题中，有一个非常重要的信息，那就是题目只要中位数，而中位数左边和右边是否有序不重要。于是，我们需要用到这样的数据结构，大顶堆和小顶堆。 * 大顶堆是一棵完全二叉树，它的性质是，父结点的数值比子结点的数值大； * 小顶堆的性质与此相反，父结点的数值比子结点的数值小。 有了这两个堆之后，我们的操作步骤就是，将中位数左边的数据都保存在大顶堆中，中位数右边的数据都保存在小顶堆中。同时，还要保证两个堆保存的数据个数相等或只差一个。这样，当有了一个新的数据插入时，插入数据的时间复杂度是 O(logn)。而插入后的中位数，肯定在大顶堆的堆顶元素上，因此，找到中位数的时间复杂度就是 O(1)。 我们把这个思路，用代码来实现，则有： ``` import java.util.PriorityQueue; import java.util.Comparator; public class testj { int count = 0; static PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(); static PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() { @Override public int compare(Integer o1, Integer o2) { return o2.compareTo(o1); } }); public void Insert(Integer num) { if (count % 2 == 0) { minHeap.offer(num); maxHeap.offer(minHeap.poll()); } else { maxHeap.offer(num); minHeap.offer(maxHeap.poll()); } count++; System.out.println(testj.GetMedian()); } public static int GetMedian() { return maxHeap.peek(); } public static void main(String[] args) { testj t = new testj(); t.Insert(1); t.Insert(2); t.Insert(0); t.Insert(20); t.Insert(10); t.Insert(22); } } ``` 我们对代码进行解读： 在第 6～12 行，分别定义了最小堆和最大堆。第 5 行的变量，保存的是累积收到的输入个数，可以用来判断奇偶。接着我们看主函数的第 30～38 行。在这里，模拟了流式数据，先后输入了 1、2、0、20、10、22，并调用了 Inset() 函数。 从第 14 行开始，Inset() 函数中，需要判断 count 的奇偶性：如果 count 是偶数，则新的数据需要先加入最小堆，再弹出最小堆的堆顶，最后把弹出的数据加入最大堆。如果 count 是奇数，则新的数据需要先加入最大堆，再弹出最大堆的堆顶，最后把弹出的数据加入最小堆。 执行完后，count 加 1。然后调用 GetMedian() 函数来寻找中位数，GetMedian() 函数通过 27 行直接返回最大堆的对顶，这是因为我们约定中位数在偶数个的时候，选择偏左的元素。 最后，我们给出插入 22 的执行过程，如下图所示：  #### 总结 这一课时主要围绕数据结构展开问题的分析和讨论。对于树的层次遍历，我们再拓展一下。 如果要打印的不是层次，而是蛇形遍历，又该如何实现呢？蛇形遍历就是 s 形遍历，即奇数层从左到右，偶数层从右到左。如果是例题 2 的树，则蛇形遍历的结果就是 16、20、13、10、15、22、26、21。我们就把这个问题当作本课时的练习题。