请思考以下问题： > 　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？） 计算这个值的方法就叫做[欧拉函数](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0)，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。 φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。 第一种情况 如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。 第二种情况 如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。 第三种情况 如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则  比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。 这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。 上面的式子还可以写成下面的形式：  可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。 第四种情况 如果n可以分解成两个互质的整数之积， > 　　n = p1 × p2 则 > 　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2) 即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。 这一条的证明要用到["中国剩余定理"](http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem)，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。 第五种情况 因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。  根据第4条的结论，得到  再根据第3条的结论，得到  也就等于  这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：