# 寻找最小的k个数 ## 题目描述 输入n个整数，输出其中最小的k个。 ## 分析与解法 ### 解法一 要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。 至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为`n*logn`），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度：`O（n * log n)+O(k)=O（n * log n）`。 ### 解法二 咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即： 1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数； 2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为`O（k）`）； 3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果`x < kmax` ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果`x >= kmax`，则继续遍历不更新数组。 每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为`O（k）`或`O（0）`。故整趟下来，时间复杂度为`n*O（k）=O（n*k）`。 ### 解法三 更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似： - 1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数； - 2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素） - 3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果`x < kmax`，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。 这样下来，总的时间复杂度:`O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）`。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：`O(logk)`（若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：`O（k））`。 ### 解法四 在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为`O（N）`的快速选择算法。如下述文字： - 选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样 - 如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。 - 如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。 - 否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。 此算法的平均运行时间为O(n)。 示例代码如下： ```cpp //QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1] void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right ) { int i, j; int pivot; if( left + cutoff <= right ) { pivot = median3( a, left, right ); //取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况 i = left; j = right - 1; for( ; ; ) { while( a[ ++i ] < pivot ){ } while( a[ --j ] > pivot ){ } if( i < j ) swap( &a[ i ], &a[ j ] ); else break; } //重置枢纽元 swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] ); if( k <= i ) QuickSelect( a, k, left, i - 1 ); else if( k > i + 1 ) QuickSelect( a, k, i + 1, right ); } else InsertSort( a + left, right - left + 1 ); } ``` 这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到`O(n)`的复杂度。 更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。 ## 举一反三 1、谷歌面试题：输入是两个整数数组，他们任意两个数的和又可以组成一个数组，求这个和中前k个数怎么做？ 分析： “假设两个整数数组为A和B，各有N个元素，任意两个数的和组成的数组C有N^2个元素。 那么可以把这些和看成N个有序数列： A[1]+B[1] <= A[1]+B[2] <= A[1]+B[3] <=… A[2]+B[1] <= A[2]+B[2] <= A[2]+B[3] <=… … A[N]+B[1] <= A[N]+B[2] <= A[N]+B[3] <=… 问题转变成，在这N^2个有序数列里，找到前k小的元素” 2、有两个序列A和B,A=(a1,a2,...,ak),B=(b1,b2,...,bk)，A和B都按升序排列。对于1<=i,j<=k，求k个最小的（ai+bj）。要求算法尽量高效。 3、给定一个数列a1,a2,a3,...,an和m个三元组表示的查询，对于每个查询(i，j，k)，输出ai，ai+1，...，aj的升序排列中第k个数。