## 字符串的全排列 ### 题目描述 输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。 例如输入字符串abc，则输出由字符a、b、c 所能排列出来的所有字符串 abc、acb、bac、bca、cab 和 cba。 ### 分析与解法 #### 解法一、递归实现 从集合中依次选出每一个元素，作为排列的第一个元素，然后对剩余的元素进行全排列，如此递归处理，从而得到所有元素的全排列。以对字符串abc进行全排列为例，我们可以这么做：以abc为例 - 固定a，求后面bc的排列：abc，acb，求好后，a和b交换，得到bac - 固定b，求后面ac的排列：bac，bca，求好后，c放到第一位置，得到cba - 固定c，求后面ba的排列：cba，cab。 代码可如下编写所示： ```cpp void CalcAllPermutation(char* perm, int from, int to) { if (to <= 1) { return; } if (from == to) { for (int i = 0; i <= to; i++) cout << perm[i]; cout << endl; } else { for (int j = from; j <= to; j++) { swap(perm[j], perm[from]); CalcAllPermutation(perm, from + 1, to); swap(perm[j], perm[from]); } } } ``` #### 解法二、字典序排列 首先，咱们得清楚什么是字典序。根据维基百科的定义：给定两个偏序集A和B,(a,b)和(a′,b′)属于笛卡尔集 A × B，则字典序定义为 (a,b) ≤ (a′,b′) 当且仅当 a < a′ 或 (a = a′ 且 b ≤ b′)。 所以给定两个字符串，逐个字符比较，那么先出现较小字符的那个串字典顺序小，如果字符一直相等，较短的串字典顺序小。例如：abc < abcd < abde < afab。 那有没有这样的算法，使得 - 起点： 字典序最小的排列, 1-n , 例如12345 - 终点： 字典序最大的排列，n-1, 例如54321 - 过程： 从当前排列生成字典序刚好比它大的下一个排列 答案是肯定的：有，即是STL中的next_permutation算法。 在了解next_permutation算法是怎么一个过程之前，咱们得先来分析下“下一个排列”的性质。 - 假定现有字符串(A)x(B)，它的下一个排列是：(A)y(B’)，其中A、B和B’是“字符串”(可能为空），x和y是“字符”，前缀相同，都是A，且一定有y > x。 - 那么，为使下一个排列字典顺序尽可能小，必有： - A尽可能长 - y尽可能小 - B’里的字符按由小到大递增排列 现在的问题是：找到x和y。怎么找到呢？咱们来看一个例子。 比如说，现在我们要找21543的下一个排列，我们可以从左至右逐个扫描每个数，看哪个能增大（至于如何判定能增大，是根据如果一个数右面有比它大的数存在，那么这个数就能增大），我们可以看到最后一个能增大的数是：x = 1。 而1应该增大到多少？1能增大到它右面比它大的那一系列数中最小的那个数，即：y = 3，故此时21543的下一个排列应该变为23xxx，显然 xxx(对应之前的B’）应由小到大排，于是我们最终找到比“21543”大，但字典顺序尽量小的23145，找到的23145刚好比21543大。 由这个例子可以得出next_permutation算法流程为： next_permutation算法 - 定义 - 升序：相邻两个位置ai < ai+1，ai 称作该升序的首位 - 步骤（二找、一交换、一翻转） - 找到排列中最后（最右）一个升序的首位位置i，x = ai - 找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j，y = aj - 交换x，y - 把第(i+ 1)位到最后的部分翻转 还是拿上面的21543举例，那么，应用next_permutation算法的过程如下： - x = 1； - y = 3 - 1和3交换 - 得23541 - 翻转541 - 得23145 23145即为所求的21543的下一个排列。参考实现代码如下： ```cpp bool CalcAllPermutation(char* perm, int num){ int i; //①找到排列中最后（最右）一个升序的首位位置i，x = ai for (i = num - 2; (i >= 0) && (perm[i] >= perm[i + 1]); --i){ ; } // 已经找到所有排列 if (i < 0){ return false; } int k; //②找到排列中第i位右边最后一个比ai 大的位置j，y = aj for (k = num - 1; (k > i) && (perm[k] <= perm[i]); --k){ ; } //③交换x，y swap(perm[i], perm[k]); //④把第(i+ 1)位到最后的部分翻转 reverse(perm + i + 1, perm + num); return true; } ``` 然后在主函数里循环判断和调用calcAllPermutation函数输出全排列即可。 #### 解法总结 由于全排列总共有n!种排列情况，所以不论解法一中的递归方法，还是上述解法二的字典序排列方法，这两种方法的时间复杂度都为O(n!)。 ### 类似问题 1、已知字符串里的字符是互不相同的，现在任意组合，比如ab，则输出aa，ab，ba，bb，编程按照字典序输出所有的组合。 分析：非简单的全排列问题（跟全排列的形式不同,abc全排列的话，只有6个不同的输出）。 本题可用递归的思想，设置一个变量表示已输出的个数，然后当个数达到字符串长度时，就输出。 ```c //copyright@ 一直很安静 && World Gao //假设str已经有序 void perm(char* result, char *str, int size, int resPos) { if(resPos == size) printf("%s\n", result); else { for(int i = 0; i < size; ++i) { result[resPos] = str[i]; perm(result, str, size, resPos + 1); } } } ``` 2、如果不是求字符的所有排列，而是求字符的所有组合，应该怎么办呢？当输入的字符串中含有相同的字符串时，相同的字符交换位置是不同的排列，但是同一个组合。举个例子，如果输入abc，它的组合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。 3、写一个程序，打印出以下的序列。 (a),(b),(c),(d),(e)........(z) (a,b),(a,c),(a,d),(a,e)......(a,z),(b,c),(b,d).....(b,z),(c,d).....(y,z) (a,b,c),(a,b,d)....(a,b,z),(a,c,d)....(x,y,z) .... (a,b,c,d,.....x,y,z)