# 一、概念 #### 1.堆heap 堆的本质是一种数组对象，数组下标从1开始 堆可以被视作一棵完全二叉树，二叉树的层次遍历结果与数组元素的顺序对应，树根为A[1]。 对于数组中第i个元素，其对应在二叉树中的父母孩子结点位置的计算如下： ``` PARENT(i) return i/2 LEFT(i) return 2i RIGHT(i) return 2i+1 ``` #### 2.最大/小堆(max-heap/min-heap) 从二叉树的角度看，对于所有非root结点，满足`node->parent ≥ node`/`node->parent ≤ node` 从数组的角度看，对于所有下标大于1的元素，其下标为i，则满足`A[PARENT( i)] ≥ A[i]`/`A[PARENT( i)] ≤ A[i]` #### 3.高度height 结点的高度：从结点到叶子所经过的边的数量，叶子结点的高度为0 二叉树的高度：树中高度最高的结点的高度，只有一个结点的树高度为0 堆的高度：把堆看所作二叉树时的高度 # 二、程序 #### 1.堆的结构 A[N]：堆数组 length[A]：数组中元素的个数 heap-size[A]：存放在A中的堆的元素个数 #### 2.在堆上的操作 （1）MAX-HEAPIFY(A, i) （2）BUILD-MAX-HEAP(A) （3）HEAPSORT(A) #### 3.堆的应用 优先级队列 （1）HEAP-MAXIMUM(A) （2）HEAP-INCREASE-KEY(A, i, key) （3）HEAP-EXTRACT-KEY(A) （4）MAX-HEAP-INSERT(A, key) #### 4.堆代码 [产品代码](https://github.com/windmissing/exerciseForAlgorithmSecond/blob/master/src/chapter6/Heap.h) [测试代码](https://github.com/windmissing/exerciseForAlgorithmSecond/blob/master/tst/chapter6/HeapTest.cpp) #### 5.排序代码 [产品代码](https://github.com/windmissing/exerciseForAlgorithmSecond/blob/master/src/others/sort.cpp) [测试代码](https://github.com/windmissing/exerciseForAlgorithmSecond/blob/master/tst/others/sortTest.cpp) # 三、练习 ### 6.1 堆 ##### 6.1-1 最多2^(h+1) - 1， 最少2 ^ h（当树中只有一个结点时，高度是0） ##### 6.1-2 ``` 上一题结论 ==> 2^h <= n <= 2^(h+1) - 1 ==> h <= lgn <= h + 1 ==> lgn = h ``` ##### 6.1-3 ``` max-heap的定义 ==>A[PARENT(i)]>=A[i] ==>A[1]>A[2],A[3] ==>A[1]>A[4],A[5],A[6],A[7] ==>…… ==>the root of the subtree contains the largest value ``` ##### 6.1-4 叶子上 ##### 6.1-5 是最小堆或最大堆 ##### 6.1-6 不是，7是6的左孩子，但7>6 ##### 6.1-7 ``` A[2i]、A[2i+1]是A[i]的孩子 ==>若2i<=n&&2i+1<=n，则A[i]有孩子 ==>若2i>n，则A[i]是叶子 ==>the leaves are the nodes indexed by ?n/2 ? + 1, ?n/2 ? + 2, . . . , n ``` ### 6.2 保持堆的性质 ##### 6.2-1 A = {27,17,3,16,13,10,1,5,7,12,4,8,9,0} A = {27,17,10,16,13,3,1,5,7,12,4,8,9,0} A = {27,17,10,16,13,9,1,5,7,12,4,8,3,0} ##### 6.2-2 ``` MIN-HEAPIFY(A, i) 1 l <- LEFT(i) 2 r <- RIGHT(i) 3 if l <= heap-size[A] and A[l] < A[i] 4 then smallest <- l 5 else smallest <- i 6 if r <= heap-size[A] and A[r] < [smallest] 7 then smallest <- r 8 if smallest != i 9 then exchange A[i] <-> A[smallest] 10 MIN_HEAPIFY(A, smallest) ``` ##### 6.2-3 没有效果，程序终止 ##### 6.2-4 i > heap-size[A]/2时，是叶子结点，也没有效果，程序终止 ##### 6.2-5 我还是比较喜欢用C++，不喜欢用伪代码 ```c++ void Heap::Max_Heapify(int i) { int l = (LEFT(i)), r = (RIGHT(i)), largest; //选择i、i的左、i的右三个结点中值最大的结点 if(l <= heap_size && A[l] > A[i]) largest = l; else largest = i; if(r <= heap_size && A[r] > A[largest]) largest = r; //如果根最大，已经满足堆的条件，函数停止 //否则 while(largest != i) { //根与值最大的结点交互 swap(A[i], A[largest]); //交换可能破坏子树的堆，重新调整子树 i = largest; l = (LEFT(i)), r = (RIGHT(i)); //选择i、i的左、i的右三个结点中值最大的结点 if(l <= heap_size && A[l] > A[i]) largest = l; else largest = i; if(r <= heap_size && A[r] > A[largest]) largest = r; } } ``` ##### 6.2-6 MAX-HEAPIFY中每循环一次，当前处理的结点的高度就会+1，最坏情况下，结点是根结点的时候停止，此时结点高度是logn，因此最坏运行时间是logn ### 6.3 建堆 ##### 6.3-1 ``` A = {5,3,17,10,84,19,6,22,9} A = {5,3,17,22,84,19,6,10,9} A = {5,3,19,22,84,17,6,10,9} A = {5,84,19,22,3,17,6,10,9} A = {84,5,19,22,3,17,6,10,9} A = {84,22,19,5,3,17,6,10,9} A = {84,22,19,10,3,17,6,5,9} ``` ##### 6.3-2 因为MAX-HEAPIFY中使用条件是当前结点的左孩子和右孩子都是堆 假设对i执行MAX-HEAPIFY操作，当i=j时循环停止，结果是从i到j的这条路径上的点满足最大堆的性质，但是PARENT[i]不一定满足。 甚至有可能在满足A[PARENT(i)]>A[i]的情况下因为执行了MAX-HEAPIFY(i)而导致A[PARENT(i)]<A[i]，例如下图， 因此一定要先执行MAX-HEAPIFY(i)才能执行MAX-HEAPIFY(PARENT(i))  ##### 6.3-3 对于一个含有n个结点的堆，最多可以有f(h)个叶子结点 已知，当h=0时，f(h)=(n+1)/2 高度为h的结点是高度为h-1的结点的父结点，因此f(h) = (f(h-1) + 1) / 2 ``` f(0) = (n + 1) / 2 = 1 + (n-1)/2 f(1) = (f(0) +1) / 2 = 1 + (n-1)/(2^2) f(2) = (f(1) +1) / 2 = 1 + (n-1)/(2^3) …… f(h) = 1 + (n-1) / (2 ^ (h+1)) ``` 因为f(h)必须是整数，所以 ``` f(h) = floor[1 + (n-1) / (2 ^ (h+1)) ] = ceilling[(n-1) / (2 ^ (h+1))] ≤ ceilling[n / (2 ^ (h+1))] ``` 得证：在任一含n个元素的堆中，至多有ceiling(n/(2^(h+1)))个高度为h的节点。 参考http://blog.csdn.net/lqh604/article/details/7381893 ### 6.4 堆排序的算法 ##### 6.4-1 A = {5,13,2,25,7,17,20,8,4} A = {25,13,20,8,7,17,2,5,4} A = {4,13,20,8,7,17,2,5,25} A = {20,13,17,8,7,4,2,5,25} A = {5,13,17,8,7,4,2,20,25} A = {17,13,5,8,7,4,2,20,25} A = {2,13,5,8,7,4,17,20,25} A = {13,8,5,2,7,4,17,20,25} A = {4,8,5,2,7,13,17,20,25} A = {8,7,5,2,4,13,17,20,25} A = {4,7,5,2,8,13,17,20,25} A = {7,4,5,2,8,13,17,20,25} A = {2,4,5,7,8,13,17,20,25} A = {5,4,2,7,8,13,17,20,25} A = {2,4,5,7,8,13,17,20,25} A = {4,2,5,7,8,13,17,20,25} A = {2,4,5,7,8,13,17,20,25} A = {2,4,5,7,8,13,17,20,25} ##### 6.4-2 初始化：第一轮迭代之前，i=length[A]，则i=n。显然，循环不变式成立。 保持：每次迭代前，对于一个给定的i。假设循环不变式成立，则子数组A[1..i]是一个包含了A[1..n]中的i个最小元素的最大堆；而子数组A[i+1..n]包含了已排序的A[1..n]中的n-i个最大元素。经过3~5行代码的操作后，使得子数组A[1..i-1]是一个包含了A[1..n]中的i-1个最小元素的最大堆；子数组A[i..n]包含了已排序的A[1..n]中的n-i+1个最大元素。则可以保证i=i-1后的下一次迭代开始前，循环不变式成立。 终止：循环终止时，i=1。根据循环不变式，子数组A[i+1..n]即A[2..n]包含了已排序的A[1..n]中的n-1个最大元素，所以数组A是已排好序的。 ##### 6.4-3 按递增排序的数组，运行时间是nlgn 按递减排序的数组，运行时间是n #####6.4-4 堆排序算法中，对堆中每个结点的处理过程为： （1）取下头结点，O(1) （2）把最后一个结点移到根结点位置，O(1) （3）对该结点执行MAX-HEAPIFY，最坏时间为O(lgn) 对每个结点处理的最坏时间是O(lgn)，每个结点最多处理一次。 因此最坏运行时间是O(nlgn) ### 6.5 优先级队列 ##### 6.5-1 A = {15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1} A = {1,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1} A = {13,1,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1} A = {13,12,9,5,1,8,7,4,0,6,2,1} A = {13,12,9,5,6,8,7,4,0,1,2,1} return 15 ##### 6.5-2 A = {15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1} A = {15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1,-2147483647} A = {15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1,10} A = {15,13,9,5,12,10,7,4,0,6,2,1,8} A = {15,13,10,5,12,9,7,4,0,6,2,1,8} ##### 6.5-3 ``` HEAP-MINIMUM(A) 1 return A[1] HEAP-EXTRACR-MIN(A) 1 if heap-size[A] < 1 2 then error "heap underflow" 3 min <- A[1] 4 A[1] <- A[heap-size[A]] 5 heap-size[A] <- heap-size[A] - 1 6 MIN-HEAPIFY(A, 1) 7 return min HEAP-DECREASE-KEY(A, i, key) 1 if key > A[i] 2 then error "new key is smaller than current key" 3 A[i] <- key 4 while i > 1 and A[PARENT(i)] > A[i] 5 do exchange A[i] <-> A[PARENT(i)] 6 i <- PARENT(i) MIN-HEAP-INSERT 1 heap-size[A] <- heap-size[A] + 1 2 A[heap-size[A]] <- 0x7fffffff 3 HEAP-INCREASE-KEY(A, heap-size[A], key) ``` ##### 6.5-4 要想插入成功，key必须大于这个初值。key可能是任意数，因此初值必须是无限小 #####6.5-6 FIFO：以进入队列的时间作为权值建立最小堆 栈：以进入栈的时间作为权值建立最大堆 #####6.5-7 ```c++ void Heap::Heap_Delete(int i) { if(i > heap_size) { cout<<"there's no node i"<<endl; exit(0); } int key = A[heap_size]; heap_size--; if(key > A[i]) //最后一个结点不一定比中间的结点最 Heap_Increase_Key(i, key); else { A[i] = key; Max_Heapify(i); } } ``` ##### 6.5-8 step1：取每个链表的第一个元素，构造成一个含有k个元素的堆 step2：把根结点的值记入排序结果中。 step3：判断根结点所在的链表，若该链表为空，则go to step4，否则go to step5 step4：删除根结点，调整堆，go to step2 step5：把根结点替换为原根结点所在链表中的第一个元素，调整堆，go to step 2 [产品代码](https://github.com/windmissing/exerciseForAlgorithmSecond/blob/master/src/chapter6/Exercise6_5_8.cpp) [测试代码](https://github.com/windmissing/exerciseForAlgorithmSecond/blob/master/tst/chapter6/Exercise6_5_8Test.cpp) # 四、思考题 ### 6-1 用插入方法建堆 ```c++ void Heap::Build_Max_Heap() { heap_size = 1; //从堆中最后一个元素开始，依次调整每个结点，使符合堆的性质 for(int i = 2; i <= length; i++) Max_Heap_Insert(A[i]); } ``` 答： a）A = {1,2,3}; b）MAX-HEAP-INSERT的过程如下： 加入大小为-0x7FFFFFFF的新结点，O(1) 将该值调整为key,最坏情况下为O(lgn) 对每个结点都要执行一次插入操作，因此最坏时间为O(nlgn) ### 6-2 对d叉堆的分析 a）根结点是A[1]，根结点的孩子是A[2],A[3],……，A[d+1] PARENT(i) = (i - 2 ) / d + 1 CHILD(i, j ) = d * (i - 1) + j + 1 b）lgn/lgd c）HEAP-EXTRACR-MAX(A)与二叉堆的实现相同，其调用的MAX-HEAPIFY(A, i)要做部分更改，时间复杂度是O(lgn/lgd * d) ``` MAX-HEAPIFY(A, i) 1 largest <- i 2 for j <- 1 to d 3 k <- CHILD(i, j) 4 if k <= heap-size[A] and A[k] > A[largest] 5 largest <- k 6 if largest != i 7 then exchange A[i] <-> A[largest] 8 MAX-HEAPIFY(A, largest) ``` d）和二叉堆的实现完全一样，时间复杂度是O(lgn/lgd) e）和二叉堆的实现完全一样，时间复杂度是O(lgn/lgd) ### 6-3 Young氏矩阵 见[算法导论 6-3 Young氏矩阵](6-3 Young氏矩阵.md)