# 最长递增子序列 [http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965](http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965) 最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是指找到一个给定序列的最长子序列的长度，使得子序列中的所有元素单调递增。 例如：{ 3，5，7，1，2，8 } 的 LIS 是 { 3，5，7，8 }，长度为 4。 ### 解法一：转化为求最长公共子序列 其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。 - 设数组 { 3， 5， 7， 1， 2， 8 } 为 A - 对数组 A 排序，排序后的数组为 B = { 1， 2， 3， 5， 7， 8 }。 - 于是，求数组 A 的最长递增子序列，就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。 最长公共子序列的求法见《[动态规划DP](http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557)》。本方法的时间复杂度是 Θ(nlgn)+Θ(n2)=Θ(n2) ### 解法二：动态规划法 虽然解法一也是使用动态规划，但是与解法一不同的是，解法二不进行转化，而是直接在原问题上采用动态规划法。 **最优子结构：** 对于长度为 N 的数组 A[N]={a0,a1,a2,…,an−1}，假设我们想求以ai 结尾的最大递增子序列长度，设为L[i]，那么 L[i]=⎧⎩⎨max(L[j])+1,1,where j<i and A[j]<A[i]otherwise 也就是 j 的范围是 0 到 i–1。这样，想求ai 结尾的最大递增子序列的长度，我们就需要遍历 i 之前的所有位置 j（0到 i-1），找出A[j]<A[i]，计算这些j 中，能产生最大 L[j] 的 j，之后就可以求出L[i]。之后对每一个A[N]中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列的长度，这些长度的最大值，就是我们要求的问题——数组A的最大递增子序列的长度。 **重叠子问题：** 根据上述推导式采用递归实现的话，有些子问题会被计算很多次。 **动态规划法：** 综上所述，LIS 问题具有动态规划需要的两个性质，可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3，5，7，1，2，8 }，则：  具体的打表方式如下： - 初始化对角线为 1； - 对每一个 i，遍历 j（0 到 i-1）： - 若`A[i] <= A[j]`，置 1。 - 若`A[i] > A[j]`，取第 j 行的最大值加 1。 打完表以后，最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历，故时间复杂度还是 Θ(n2)。 [](http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45241965) ~~~ // LIS 的动态规划方式实现 #include <iostream> using namespace std; int getLISLength(int A[], int len) { //定义一维数组并初始化为1 int* lis = new int[len]; for (int i = 0; i < len; ++i) lis[i] = 1; // 计算每个i对应的lis最大值，即打表的过程 for (int i = 1; i < len; ++i) for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1 if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j] + 1) lis[i] = lis[j] + 1; // 更新 // 数组中最大的那个，就是最长递增子序列的长度 int maxlis = 0; for (int i = 0; i < len; ++i) if ( maxlis < lis[i] ) maxlis = lis[i]; delete [] lis; return maxlis; } ~~~ ### 解法三：Θ(nlgn)的方案 本解法的具体操作如下： - 建立一个辅助数组array，依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较： - 如果 x > top，将 x 放到数组末尾； - 如果 x < top，则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数，并用 x 替换它。 遍历结束之后，最长递增序列长度即为栈的大小。 注意c数组的下标代表的是子序列的长度，c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。 数组array[i]存储的是子序列长度为i的序列最后一个值（该值是该子序列中最大的元素；如果长度为i的序列有多个，那么array[i]存放这类序列最后元素中的最小一个） ~~~ int getLISLength(int num[], int length) {  vector<int> ivec;  for (int i = 0; i < length; ++i) {      if (ivec.size() == 0 || ivec.back() < num[i])          ivec.push_back(num[i]);      else {          int low = 0, high = ivec.size() - 1;          while (low < high) {              int mid = (low + high) / 2;              if (ivec[mid] < num[i])                  low = mid + 1;              else                  high = mid - 1;          }          ivec[low] =  num[i];      }  }  return ivec.size(); } ~~~ 特别注意的是：本方法只能用于求最长递增子序列的长度，辅助数组中的序列不是最长递增子序列： - 例一：原序列为1，5，8，3，6，7 辅助数组为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。 - 例二：原序列为1，5，8，3 则最栈辅助数组为1，3，8。明显这不是最长递增子序列！ # 合唱队问题 <table id="table1" class="grid grid_tb " border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td class="grid_left_td" width="10%">描述: </td><td width="90%"><p style="white-space:normal">计算最少出列多少位同学，使得剩下的同学排成合唱队形</p><p style="white-space:normal">说明：</p><p style="white-space:normal"><span style="font-family:'times new roman'">N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 <br/>合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，   则他们的身高满足存在i（1&lt;=i&lt;=K）使得Ti&lt;T2&lt;......&lt;Ti-1&lt;Ti&gt;Ti+1&gt;......&gt;TK。 <br/>     你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。 <br/></span></p><p style="white-space:normal"> </p><p><br/></p> </td></tr><tr><td class="grid_left_td">知识点:</td><td> 循环 </td></tr><tr><td class="grid_left_td">题目来源:</td><td> 内部整理 </td></tr><tr><td class="grid_left_td">练习阶段:</td><td> 初级 </td></tr><tr><td class="grid_left_td">运行时间限制:</td><td>无限制</td></tr><tr><td class="grid_left_td">内存限制:</td><td>无限制</td></tr><tr><td class="grid_left_td">输入:</td><td> <p style="white-space:normal">整数N</p><p style="white-space:normal">一行整数，空格隔开，N位同学身高</p><p><br/></p> </td></tr><tr><td class="grid_left_td">输出:</td><td> <p><span style="font-family:'times new roman'">最少需要几位同学出列</span><br/></p> </td></tr><tr><td class="grid_left_td">样例输入:</td><td><pre>8 186 186 150 200 160 130 197 200 </pre></td></tr><tr><td class="grid_left_td">样例输出:</td><td><pre>4 </pre></td></tr></tbody></table> 根据题意可知，我们需要求出一个“中间点”，使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。 ~~~ #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int LonggestIncreaseLength(vector<int> &vec) { vector<int> result(vec.size(), 1); vector<int> result2(vec.size(), 1); for (int i = 1; i < vec.size(); i++) { for (int j = 0; j < i; j++) { if (vec[i] > vec[j] && result[i] < result[j] + 1) result[i] = result[j] + 1; } } for (int i = vec.size() - 2; i >= 0; --i) { for (int j = vec.size() - 1; j > i; --j) { if (vec[i] > vec[j] && result2[i] < result2[j] + 1) result2[i] = result2[j] + 1; } } int max = 0; for (int i = 0; i < vec.size(); i++) { if (max < result[i] + result2[i]) max = result[i] + result2[i]; } return vec.size() - max + 1; } int main() { int n; cin >> n; if (n <= 0) return 0; vector<int> ivec(n); for (int i = 0; i < n; i++) cin >> ivec[i]; cout << LonggestIncreaseLength(ivec) << endl; } ~~~