四元数的姿态解算就是求解四元数的微分方程：
:-: 图 4.2.2-1 四元素姿态解算流程
下面为四元数进行姿态解算的具体步骤：
**1. 初始化四元数**
姿态计算开始，将已知载体的初始姿态角带入式4.2.2-1，求出初始时刻的四元数：
-------------（4.2.2-1）
**2. 获取角速度、加速度、磁力计的值**
陀螺仪测量得到的角速度为：`$ [w_x, w_y, w_z] $`，加速度计测量得到的加速度为：`$ [a_x, a_y, a_z] $`，磁力计测量得到的磁场为：`$ [m_x, m_y, m_z] $`。
**3. 将加速度计测量值、磁力计测量值化为单位向量**
**4. 从四元数中获取重力向量和磁场向量**
**（1）通过旋转矩阵乘以加速度计的输出值得到重力向量`$ [\nu_x, \nu_y, \nu_z] $`**
加速度计的实际测量值为`$ [a_x, a_y, a_z] $`，它与重力向量`$ [\nu_x, \nu_y, \nu_z] $`同是表示在 b坐标系下的向量，它们之间的误差按式（4.2.2-3）计算：
```[tex]
[e_x, e_y, e_z] = [\nu_x, \nu_y, \nu_z] × [a_x, a_y, a_z]-------------（4.2.2-3）
```
存在误差的原因是：通过对陀螺仪测得的角速度进行积分获取姿态角时存在的积分误差，从而导致重力向量`$ [\nu_x, \nu_y, \nu_z] $`的不准确。
**（2）通过旋转矩阵乘以磁力计的输出值得到磁场向量**
磁力线由北指向南，近乎垂直于地球表面。由于Y轴与磁力线垂直，所以在Y轴上的磁场为 0 ，地球磁场就为：`$ [b_x, 0, b_z] $`，但是这个磁场向量有时是未知的，所以需要经过以下两个步骤才能得到准确角速度值。
1）求出磁场向量
-----------------------------（4.2.2-X）
2）求出角速度
磁力计在XOY平面上（n系）的向量大小必定相同，令`$ b_x = \sqrt{h_{x}^{2} + h_{x}^{2}}，b_z = h_z，b_y = 0 $`，然后通过式（4.2.2-X1）求出角速度：
-----------------------------（4.2.2-X1）
误差为：
```[tex]
[e_x, e_y, e_z] = [m_x, m_y, m_z] × [w_x, w_y, w_z]-------------（4.2.2-3a）
```
**5. 计算误差**
-----------------------------（4.2.2-X）
**6. 利用误差修正陀螺仪**
使用PI算法来修改误差：
-----------------------------（4.2.2-4）
`$ K_{p} $`比例系数，`$ e $`误差，`$ K_{i} $`积分系数，`$ w $`为修正后的陀螺仪数据（角速度）。
**7. 利用修正后的陀螺仪数值更新四元数**
利用一阶龙格—库塔法求解微分方程，一阶龙格—库塔法表达式如式（4.2.2-5）
```[tex]
\dot{x} = f[x(t), w(t)]x(t+T) = x(t) + Tf[x(t), w(t)]---------（4.2.2-5）
```
四元数更新如式（4.2.2-6）：
------------（4.2.2-6）
第**4**步到第**7**步需要不断地迭代，直到满足为止。
**8. 将更新后的四元素规范化**
---------（4.2.2-7）
**9. 将四元数转换为欧拉角**
---------（4.2.2-8）
至此，四元数的姿态解算就完成了。下图表示四元素姿态的解算流程。
