# 1990：记忆的通用公式
[TOC=2,5]
## 最优复习与间歇复习
到了 1990 年，我很是笃定我手握着重大发现。我破解了[遗忘](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting)难题。我知道了记忆简单内容的复习[最佳时机](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)。一经在我[硕士论文](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)中描述它的许可，我的探索欲也水涨船高。我希望我可以找到一个长期记忆的通用公式，能够让我跟踪记忆在各种形式的检索和接触中的表现形式。
我已经收集了一些数据，这些数据可能会帮助我找到这个公式。在 [1985](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo) 年发现最佳重复间隔之前，我把问题写在一页页纸上来复习知识。此时复习混乱不堪，由可利用的时间、需要或心情支配。我把这称为「间歇性学习」。我有单个页面和每次复习的回忆数据。虽没有 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 的周期性，这种数据也算较为理想。这正是我为解决记忆问题而需要的数据。只不过，这些数据都仅仅记录在纸上。
1990 年春天，我叫我姐姐来打字录入数据。当然，我没有一个妹妹会情愿来做这件事。我的姐姐比我大 17 岁。我利用她对我的爱，让她做这种枯燥繁重的工作，而没有顾及到她的时间。她两年后去世了。我再也没有机会报答她对[间隔重复](https://supermemo.guru/wiki/Spaced_repetition)理论的贡献，她甚至没有机会了解这个理论。从 1990 年 5 月 1 日开始，她在我不用电脑的时间，将数据从纸上转移到电脑上。她打字很慢，花了很多天。她的工夫是值得的。
## 间歇学习模型
在 1990 年的整个夏天，我没有专注于我的[硕士论文](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)，而是研究「间歇学习模型」。对我来说，连续工作 10 个小时，感觉没有半点发现而在早上 7 点睡觉，或者让电脑整夜计算数据，都是很正常的。
锲而不舍，捣鼓调整是有代价的。只有少年才能负担得起，他们应该有空间和自由。尽管我已经 28 岁了，家人们还是默默忍受我的一举一动。就像一个不成熟的青少年。我住在我姐姐的公寓里，在那里我可以利用她的善意。在电脑前工作的时间很长，被借口为「在做我的硕士论文」。事实上，没有人要求我这样做，也没有人要求我这样做，它甚至没有推动 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 的发展。这是一个纯粹的科学好奇心的案例。我只是想知道记忆是如何工作的。
我有几十页的问题和他们的[重复历史](https://supermemo.guru/wiki/Repetition_history)。我试图预测「每页的记忆失误」。我使用[平方根标准差](https://supermemo.guru/wiki/Deviation)来预测失误（下面表示为Dev）。到 1990 年 7 月 10 日，星期二，我达到了 Dev<3，感觉问题几乎「解决」了。1990 年 7 月 12 日，我改进到 Dev=2.877（顺便说一下，我的论文中提到了2.887241）。然而，到 1990 年 8 月 27 日，我在那天的笔记中宣布这个问题无法解决。
> 个人轶事。[为什么使用轶事？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_anecdotes%3F)
>
> 1990 年 8 月 27 日：**我解决了**间歇学习，**表明这个问题是无法解决的**！单独一个参数无力描述与整页项目的记忆强度。这表明，**[E 因子](https://supermemo.guru/wiki/E-Factor)较低的项目没有[最优区间](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_interval)**！
1990 年 8 月 30 日，我在硕士论文中解说了这个模型。文章一共有 15 页，不算很好读。我打赌没有人有耐心读完整篇文章。90 年代末我的硕士论文节选版发布在网络，而描述间歇学习的这一章甚至没有在 [supermemo.com](http://supermemo.com/) 上发表。
然而，基于该模型得出的结论，深刻地影响了我随后几十年中对记忆的思考。该模型背后的想法，实际上非常类似我在开发 [SM-17 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) (2014-2016) 时应用的优化。
当我宣布这个问题无法解决时，我的意思是我无法准确地描述「困难页」的记忆，因为性质不同的材料需要更复杂的模型。然而，这篇 1990 年 8 月 31 日记录的笔记却对此更加乐观：
> 个人轶事。[为什么使用轶事？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_anecdotes%3F)
>
> 1990 年 8 月 31 日：不间断地研究间歇学习模型。到了晚上，计算机终究没有让我离解决方案更进一步。然而，我有个好主意，就是用 IL 模型的绝世优秀功能计算出最优间隔。屏幕上的结果映入眼帘时，我简直不敢相信我 [哔——] 看到什么。这些正是我在 1985 年[发现](https://supermemo.guru/wiki/Birth_of_SuperMemo)时试图制定 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 方法时发现的间隔。我高兴地在家里跳来跳去，简直像一条有两条尾巴的狗。所以我可以说我真的解决了 IL 问题（对比 1990 年 8 月 27 日）。但我发现，这个成功并不是今天给我发现的一切：
> - [最优系数](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor)随着连续的间隔而减少（我以前凭直觉感觉是这样的），
> - 对于[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)等于 10%，[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)为 94%（如 EVF [数据库](https://supermemo.guru/wiki/Database)）
> - **[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)与[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)**呈线性关系 [2018 年评论：在异质材料的小范围内]**（这无法从我 1 月份进行的模拟实验中计算出来）**
> - 该模型说，[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的理想值是 5-10%（工作量-保留率的权衡）
> - 如果间隔时间是最优时间的两倍，则[记忆强度](https://supermemo.guru/wiki/Stability)增加最多！！
> - 如果[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)为 20%，则[记忆强度](https://supermemo.guru/wiki/Stability)增加最多
> [...] 我的公式只有在间隔比以前的强度短不了多少时才有效。
## 过去（1990）与现在（2018）的对比
本章末尾的结论，以及程序本身都让人想起我在 2005 年寻找[记忆稳定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)提高的通用公式时使用的方法，以及在 2014 年，[算法 SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 是基于对记忆的更精确的数学描述。像最新的 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 算法一样，该模型使得计算任何重复计划的[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)成为可能。当然，它的准确度要低得多，因为它基于劣质的数据。此外， [SuperMemo 17](http://super-memo.com/supermemo17.html) 所做的实时工作，在 1990 年时需要花费许多小时的 PC 电脑时间。
我的硕士论文中这个看似无聊的老的部分到现在已经变得很重要了。我敢说，只有劣质的数据将这项工作与 25 年后出现的[算法 SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 相隔甚远。我引用的这段文字在符号和文体上做了些许改进，但没有关于[遗忘曲线](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)的章节，该章节由于计算中使用的材料太不同而出现错误。
存档警告：[为什么使用文字档案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F)
> 这段文字是《[优化学习](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》 作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分
>
> **间歇学习模型**
> [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 模型为计算[最优间隔](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_interval)提供了基础，在时间最优的学习过程中，应该把重复的内容分开。
> 然而，如果重复的时间间隔不规律，则无法预测记忆变量的变化。
> 下面我提出一个尝试，以增强 SuperMemo 模型，使其可以用于描述间歇学习的过程。
> 在[第三章](http://super-memory.com/english/ol/beginning.htm)中，我提到了，在[算法 SM-0](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_on_paper) 开发之前，我学习英语和生物的方式。
> 那段时间（1982-1984年）收集的数据为构建间歇学习模型提供了一个很好的基础。遵照[最小信息原则](https://supermemo.guru/wiki/Item)制定的[项目](https://supermemo.guru/wiki/Minimum_information_principle)（通常有成对的词的形式）被分组在页面中，进行不定期的复习过程。
> 所收集的数据以计算机可读形式提供，包括71页的重复描述，此外，80个类似的页面参与了由[SM-0](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_on_paper)时间表监督的过程。
## 与算法 SM-17 的相似性
请注意，这个问题的表述让人想起了[算法SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 中用来计算[稳定性增长矩阵（SInc[]）](https://supermemo.guru/wiki/Stability_increase)的程序。[记忆稳定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)被重新缩放，以便能够将其解释为一个[间隔](https://supermemo.guru/wiki/Interval)。甚至符号也是相似的：S 代表[稳定性](https://supermemo.guru/wiki/Stability)，D 代表[偏差](https://supermemo.guru/wiki/Deviation)。页面遗忘数量代替了[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)。
我以前喜欢玩各种优化算法。你仍然可以在 [SuperMemo 17](http://super-memo.com/supermemo17.html) 中查看该算法做表面拟合优化的可视化（见[图片](https://supermemo.guru/wiki/Stability_increase)）。12 个变量做处理可能有点低效，但我从不关心处理方法本身如何，只关心能否结果是否可以拓展我对记忆原理的认知。
对于那些熟悉[算法 SM-17](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-17) 的人，我们在下面的文本中改变了符号。此外，我们改变了 In 和 Ln 等符号，这些符号在打印时很容易被误读为对数。
变化清单：
- Ln -> Lapsn
- In -> Intn
- Dn -> Devn
- R -> RepNo
## 间歇学习问题的表述
> 存档警告：[为什么使用文字档案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F)
> 这段文字是《[优化学习](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分
>
> **11.1.间歇学习问题的提出**
> 1. 共有 161 个页面。
> 2. 每页包含约 40 个项目。
> 3. 对于每一页，学习过程的描述（在实验重复期间收集）有以下形式：
> ((-,Laps1),(Int2,Laps2),(Int3,Laps3), ...,(Intn,Lapsn))
> 其中：
> - Inti - 第 i 次重复前使用的间隔（范围在 1 到 800 之间），
> - Laps i - 在第 i 次重复过程中，遗忘的次数（范围从 0 到 40），
> - n - 总重复次数（范围从 3 到 20）。
> 4. 找到公式所描述的函数 f 和 g：
> S(1)=S1
> S(n)=f(S(n-1),Intn,Lapsn)
> Laps(n)=g(S(n-1),Intn)
> 其中：
> - S(n) - 与第 n 次重复后的记忆强度相对应的任何变量（比较[第 10 章](http://super-memory.com/english/ol/ol_memory.htm)），
> - Intn - 第 n 次重复前使用的间隔；取自间歇学习期间收集的数据，
> - Lapsn - 在第 n 次重复中的遗忘数量；取自间歇学习期间收集的数据，
> - Laps(n) - 对第 n 次重复中记忆遗忘数量的估计（它应该与 Lapsn 相对应）
> - S1 - 一个常数，
>
> 使函数 Dev 最小化：
>Dev=sqrt((Dev1+Dev2+ ... +Dev161)/RepNo)
> Devi=sqr(Laps(1)-Laps1)+sqr(Laps(2)-Laps2)+ ... +sqr(Laps(n)-Lapsn))
> 其中：
> - Dev - 描述函数 f 和 g 输出值之间差值的函数，值会在间歇学习期间收集（它反映了数据在实验和理论预测之间的差）
> - RepNo - 全部页面上的重复次数总和
> - Devi - 函数Dev的分项，对应第i页的Dev.
> - Laps(j) - 使用函数f和g，分别对第i页和第j次重复计算的遗忘数量，
> - Lapsj - 第 i 页、第 j 次重复时的遗忘数量；取自间歇学习期间收集的数据，
> - sqrt(x) - x 的平方根，
> - sqr(x) - x 的平方。
> 请注意，只有当函数 f 和 g 简单且定义参数有限时（如 a*ln()+b 或 a*exp()+b 等），才会有生物学上的思考价值。否则，人们总是可以构建一个巨大的、无意义的公式来自动将 Dev 归零。
## 解决间歇学习的问题
> 存档警告：[为什么使用文字档案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F)
> 这段文字是《[优化学习](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》 作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分
>
> **11.2. 间歇学习的解决方案**
> 在搜索使*Dev*值最小的函数f和g时，我用的是 [Wozniak, 1988b](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning_(1990):_References) 中描述的最小化的数值算法（*一种在可行区域内寻找函数局部最大值的新算法。可信论文*）。
> 搜索中使用实例函数如下：
> > S(1)=x[1]
> > S(n)=x[2]*Intn*exp(-Lapsn*x[3])+x[4])
> > Laps(n)=x[5]*(1-exp(-Intn/S(n-1)))
> > 其中：
> > - x[i] - 由最小化程序计算的变量，
> > - S(n)、Laps(n)、Lapsn 和 Intn - 如 11.1 中的定义
> 注意，描述 S(n) 的函数 f 不使用 S(n-1) 作为它的参数（问题的表述允许，但不要求在先前强度的基础上计算新的强度）。
> 为了保持简易度和节省时间，我设定了在最小化过程中使用 12 个变量的限制。
> 我测试了大量的数学函数，这些函数是根据有关记忆的明显直觉构建的（例如，随着时间的推移，页面遗忘的数量会增加）。
> 其中包括指数型、对数型、幂型、双曲线型、S 型、钟型、多项式及一些可能的组合。
> 在大多数情况下，最小化程序将 Dev 的值减少到 3 以下，函数 f 和 g 的形状类似，与它们的性质独立。
> 使用少于 12 个变量得到的 Dev 的最小值是 2.887241。
> 函数 f 和 g 如下：
> ```
> constant S(1)=0.2104031;
> function Sn(Intn,Lapsn,S(n-1));
> begin
> S(n):=0.4584914*(Intn+1.47)*exp(-0.1549229*Lapsn-0.5854939)+0.35;
> if Lapsn=0 then
> if S(n-1)>In then
> S(n):=S(n-1)*0.724994
> else
> S(n):=Intn*1.1428571;
> end;
> function Lapsn(Intn,S(n-1));
> var quot;
> begin
> quot:=(Intn-0.16)/(S(n-1)-0.02)+1.652668;
> Lapsn:=-0.0005408*quot*quot+0.2196902*quot+0.311335;
> end;
> ```
> 在不显著改变Dev的值的情况下，这些函数可以很容易地转换为以下形式：
> > S(1)=1
> > for Intn>S(n-1): S(n)=1.5*Intn*exp(-0.15*Lapsn)+1
> > Laps(n)=Intn/S(n-1)
> 请注意：
> - 只要操作没有明显影响 Dev 的值，函数中的特定元素就会被删除或四舍五入，
> - 记忆强度进行了重新缩放，使其可以被解释为一个间隔，其中[遗忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)数量等于 1，[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)等于 2.5%（一页有 40 个项目，1/40=2.5%），
> - 仅当 Intn 不小于 S(n-1) 时，强度公式才有效。这是因为，如果[遗忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)的数量很低，必须使用 S(n-1) 的值来计算 S(n)，例如 Intn <= S(n-1): S(n)=S(n-1)*(1+0.5/(1-exp(S(n-1))*(1-exp(-Intn)))
> - 这些公式不能用于描述间隔比最优间隔长很多的过程。这是因为对于 Intn->∞，Laps(n) 的值超过 100%，
> - 该公式描述了集体项目的学习，其特点是 [E-系数](https://supermemo.guru/wiki/E-Factor)的分布或多或少地均匀。因此，它没能普遍用在难度可变的项目。
> 就目前而言，上述公式构成了对间歇学习过程的最佳描述，以后将被称为间歇学习模型（简称 IL 模型）
## 基于间歇学习模型的模拟试验
有了上面发现的公式，我可以进行一系列的模拟实验，帮助我回答许多关于记忆在不同情况下的行为的假设情景。这些模拟实验影响了 [SuperMemo](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo) 之后多年的进展。特别是，从 [SuperMemo 6](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo_6)（1991 ）开始，工作量和[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)之间的权衡在优化学习方面起到了重要作用。直到今天，为学习提供指导标准的是[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)（或[可提取性](https://supermemo.guru/wiki/Retrievability)），而不是在[回忆](https://supermemo.guru/wiki/Recall)水平较低时可能出现的、直观自然的[记忆稳定性增长](https://supermemo.guru/wiki/Stability_increase)。设定记忆[遗忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)水平起到了下面[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的作用。
> 存档警告：[为什么使用文字档案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F)
> 这段文字选自《[优化学习](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》 ，[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 著
>
> **11.4. 间歇学习模型的验证**
> 为了验证间歇学习模型与 SuperMemo 理论的一致性，让我们尝试计算出分散重复的最优间隔。
> 最优间隔由[遗忘](https://supermemo.guru/wiki/Lapse)的数量达到选定值 Lapso 的时刻确定。
> 算法如下：
> 1. i:=1
> 2. S(i):=1
> 3. 找到 Int(i+1)，使 Laps(i+1) 等于 Lapso. 使用公式：
> Int(n)=Lapso*S(n-1) (取自 IL 模型)
> 其中：
> Int(n) 表示第 n-1 个最优间隔。
> 4. i:=i+1
> 5. S(i):=1.5*Int(i)*exp(-0.15*Lapso)+1（取自 IL 模型）
> 6. goto 3
> 如果 Lapso 等于 2.5（[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) 6.25%），而且间歇学习模型参数相同，那么可以观察到惊人的对应关系（比较第 16 页[第 3.1 章](https://supermemo.guru/wiki/Birthday_of_SuperMemo)介绍的实验）：
> - Rep - 重复的数量
> - 间隔 - 重复前的最优间隔，在 IL 模型的基础上由 Lapso=2.5 确定，
> - 系数 - 最优系数，等于最优间隔除以上一次的最优间隔，
> - SM-0 - 在得出 SM-0 算法的实验的基础上计算出的最优间隔
>
> | 重复次数 | 间隔 | 系数 | SM-0 |
> | :--:| :------:| :----:| :--:|
> | 2 | 1.8 | | 1 |
> | 3 | 7.8 | 4.36 | 7 |
> | 4 | 16.8 | 2.15 | 16 |
> | 5 | 30.4 | 1.80 | 35 |
> | 6 | 50.4 | 1.66 | |
> | 7 | 80.2 | 1.59 | |
> | 8 | 124 | 1.55 | |
> | 9 | 190 | 1.53 | |
> | 10 | 288 | 1.52 | |
> | 11 | 436 | 1.51 | |
> | 12 | 654 | 1.50 | |
> | 13 | 981 | 1.50 | |
> | 14 | 1462 | 1.49 | |
> | 15 | 2179 | 1.49 | |
> | 16 | 3247 | 1.49 | |
> | 17 | 4838 | 1.49 | |
> | 18 | 7209 | 1.49 | |
>
> 显然，这种确切的对应关系，在某种程度上是一种巧合，因为这使得建立 SM-0 算法的实验并不是那么敏感。
> 值得注意的是，**[最优系数](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor)有逐步降低的趋势！**这一事实似乎证实了最近一系列观察，这些观察基于对[SM-5 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5) 中使用的[最优系数矩阵](https://supermemo.guru/wiki/OF_matrix)的分析。
> 如果 Lapso 等于 4（[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) 10%，如[算法 SM-5](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5)），那么[最优系数](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor)的序列就类似于[算法 SM-5](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5)中 [OF 矩阵](https://supermemo.guru/wiki/OF_matrix)的一列。同时，知识保留几乎完美匹配 SM-5 [数据库](https://supermemo.guru/wiki/Database)。
>
> | 重复次数 | 间隔 | [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention) | 系数 |
> | :--:| :------:| :----:| :--:|
> | 2 | 3 | 93.21678 | |
> | 3 | 16 | 93.80946 | 4.89 |
> | 4 | 43 | 93.97184 | 2.74 |
> | 5 | 102 | 94.04083 | 2.39 |
> | 6 | 232 | 94.06886 | 2.27 |
> | 7 | 517 | 94.08418 | 2.23 |
> | 8 | 1138 | 94.09256 | 2.20 |
> | 9 | 2502 | 94.09737 | 2.20 |
> | 10 | 5481 | 94.09967 | 2.19 |
>
> [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)是将最优过程中每天的保留率求平均值得到的
> > R=(R(1)+R(2)+...+R(n))/n
> > R(d)=100-2.5*Laps(d-dlr)
> >其中：
> > - R - 平均保留率
> > - R(d) - 学习过程中第 d 天的保留率
> > - Laps(Int) - 间隔 I 天后的期望遗忘数量
> > - dlr - 最后一次重复的日期
## 工作量与保留率的权衡
尽管模型使用了异质材料，有些不准确的地方，但对于[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)如何影响学习所需时间，也能可靠地得出结论。这些观察结果经受住了时间的考验：
> 档案警告：[为什么使用文字档案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F)
> 这段文字是《[优化学习](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》 作者：[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 的一部分
>
> 通过比较通过间歇学习模型计算的保留率和工作量数据，可以得出非常有趣的结论：
> - [指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) - 遗忘指数（Lapso*2.5）确定了时间最优学习的最优间隔，其中使用 IL 模型安排学习
> - [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention) - 在给定[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)得到的总体保留率（在 10,000 天后计算）
> - 重复次数 - 在给定[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)下，在实验过程的前 10,000 天安排的重复次数，
> - [系数](https://supermemo.guru/wiki/Optimal_factor) - 最优系数的渐近值（取自该过程的第 10000 天）
>
> | [指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index) | [保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention) | 重复次数 | [系数](https://supermemo.guru/wiki/Optimum_factor) |
> | :---------------------------------------------------: | :------------------------------------------------: | :----------: | :--------------------------------------------------: |
> | 2.5 | 97.76 | 两天一次 | 1.0000 |
> | 4.5 | 96.88 | 65 | 1.0300 |
> | 5.0 | 96.64 | 30 | 1.1600 |
> | 5.5 | 96.39 | 22 | 1.3000 |
> | 6.25 | 96.01 | 17 | 1.4900 |
> | 7.5 | 95.37 | 13 | 1.7700 |
> | 10.0 | 94.10 | 10 | 2.1900 |
> | 12.5 | 92.78 | 9 | 2.4700 |
>
> 图 11.2 表明，用于确定最优间隔的[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)应落在 5-10% 的范围内。
> [](https://supermemo.guru/wiki/File:Workload-retention_tradeoff.jpg)
> > 图 11.2 工作量-保留率的权衡：一方面，如果[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)低于 5%，那么工作量就会急剧增加，而不会对保留率产生实质性影响。另一方面，如果[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)超过 10%，工作量几乎没有变化，而保留率却稳步下降。显然，工作量-保留率的权衡直接对应于习得率和保留率之间的妥协。通过增加时间的可用性 X 倍（通过减少工作量 X 倍），可以增加习得率 X 倍（比较[第 5 章](http://super-memory.com/articles/theory.htm)）。请注意，在这个模型中，[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)和[保留率](https://supermemo.guru/wiki/Retention)的关系几乎是线性的。（来源：《[学习优化](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》：[间歇学习模型](https://supermemo.guru/wiki/Search_for_a_universal_memory_formula)，[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak), 1990)
> 另一重要观察来自使记忆强度增长最大化的[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的计算过程
> 由间歇学习模型可得
> > S(n)=1.5*Laps(n)*S(n-1)*exp(-0.15*Laps(n))+1
> 对变量 Laps(n) 进行微分后，我们得到：
> > S'(n)=1.5*S(n-1)*exp(-0.15*Laps(n))*(1-0.15*Laps(n))
> 最后，令其等于 0，我们得到：
> > Laps(n)=7.8
> 这相当于[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)等于 20%！这样的遗忘指数得出的间隔，相当于遗忘指数等于 10% 确定的最优间隔的 2 倍（如[SM-5 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5)）。然而，别忘了，工作量的唯一权衡因素是知识保留率而不是记忆强度。因此，上述发现并没有令[SM-5 算法](https://supermemo.guru/wiki/Algorithm_SM-5) 失效
## 结论：间歇学习模型
该章结尾处得出的最终结论经受住了三十年的考验。只有[遗忘曲线](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)是非指数形状的说法是不准确的。这是因为这个模型是基于各种性质不同数据建立的，[遗忘的指数性质](https://supermemo.guru/wiki/Exponential_nature_of_forgetting)不可显现出来。
> 档案警告：[为什么使用文字档案？](https://supermemo.guru/wiki/Why_use_literal_archives%3F)
> 这段文字选自《[优化学习](https://supermemo.guru/wiki/Optimization_of_learning)》，[Piotr Wozniak](https://supermemo.guru/wiki/Piotr_Wozniak) (1990) 著
>
> **临时摘要**
> - 构建了间歇学习模型，从而能对于不同的重复计划估计其知识保留率
> - 该模型确凿地说明，[遗忘曲线](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve)不是指数型的 [2018 评论：错误的结论：对比[遗忘的指数性质](https://supermemo.guru/wiki/Exponential_nature_of_forgetting)]
> - 该模型与实验数据吻合良好
> - 该模型能以惊人精度求出最优间隔和知识保留率的近似值，而这两个变量是 SuperMemo 模型所隐含的。
> - 该模型表明，最优系数在随着重复减少，并渐进接近最终值
> - 该模型表明，最节省学习时间的[遗忘指数](https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_index)的理想值应落在 5% 至 10% 之间
> - 该模型表明，遗忘指数与知识保留率几乎呈线性关系
> - 该模型说明，当间隔比 [SuperMemo 方法](https://supermemo.guru/wiki/SuperMemo)中使用的间隔长约 2 倍时，记忆强度的增幅最大。这相当于遗忘指数等于 20%
- CONTRIBUTING
- 我永远不会送我的孩子去学校
- 01.前言
- 02.箴言
- 03.脑科学
- 04.学习内驱力
- 05.学校教育对学习内驱力的影响
- 06.学习内驱力和奖励
- 07.学习内驱力与习得性无助
- 08.教育抵消进化
- 09.毒性记忆
- 10.为什么学校会失败
- 11.最佳推动区
- 12.自然创造力周期
- 13.大脑进化
- 14.婴儿管理
- 15.婴儿的大脑怎样不起作用
- 16.童年失忆症
- 17.幼儿园的苦难
- 18.压力适应力
- 19.童年的激情
- 20.为什么孩子们讨厌学校
- 21.爬山类比
- 22.术语表
- 23.参考文献
- 24.拓展阅读
- 25.摘要
- 间隔重复的历史
- 01.前言
- 02.1985 SuperMemo 的诞生
- 03.1986 SuperMemo 的第一步
- 04.1987 DOS 上的 SuperMemo 1.0
- 05.1988 记忆的两个组成部分
- 06.1989 SuperMemo 适应用户的记忆
- 07.1990 记忆的通用公式
- 08.1991 采用遗忘曲线
- 09.1994 遗忘的指数性质
- 10.1995 SuperMemo 多媒体
- 11.1997 采用神经网络
- 12.1999 选择名称——间隔重复
- 13.2005 稳定性增长函数
- 14.2014 SM-17 算法
- 15.间隔重复的指数发展
- 16.记忆研究的摘要
- 17.剖析成功与失败
- 18.尾声