# 6.6 通过时间反向传播 在前面两节中，如果不裁剪梯度，模型将无法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经网络中梯度的计算和存储方法，即通过时间反向传播（back-propagation through time）。 我们在3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中介绍了神经网络中梯度计算与存储的一般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经网络中比较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经网络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应用反向传播计算并存储梯度。 ## 6.6.1 定义模型 简单起见，我们考虑一个无偏差项的循环神经网络，且激活函数为恒等映射（`$ \phi(x)=x $`）。设时间步 `$ t $` 的输入为单样本 `$ \boldsymbol{x}_t \in \mathbb{R}^d $`，标签为 `$ y_t $`，那么隐藏状态 `$ \boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h $`的计算表达式为 ```[tex] \boldsymbol{h}_t = \boldsymbol{W}_{hx} \boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{W}_{hh} \boldsymbol{h}_{t-1}, ``` 其中`$ \boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d} $`和`$ \boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h} $`是隐藏层权重参数。设输出层权重参数`$ \boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h} $`，时间步`$ t $`的输出层变量`$ \boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q $`计算为 ```[tex] \boldsymbol{o}_t = \boldsymbol{W}_{qh} \boldsymbol{h}_{t}. ``` 设时间步`$ t $`的损失为`$ \ell(\boldsymbol{o}_t, y_t) $`。时间步数为$T$的损失函数`$ L $`定义为 ```[tex] L = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t). ``` 我们将`$ L $`称为有关给定时间步的数据样本的目标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。 ## 6.6.2 模型计算图 为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如图6.3所示。例如，时间步3的隐藏状态`$ \boldsymbol{h}_3 $`的计算依赖模型参数`$ \boldsymbol{W}_{hx} $`、`$ \boldsymbol{W}_{hh} $`、上一时间步隐藏状态`$ \boldsymbol{h}_2 $`以及当前时间步输入`$ \boldsymbol{x}_3 $`。 :-:  <div align=center>图6.3 时间步数为3的循环神经网络模型计算中的依赖关系。方框代表变量（无阴影）或参数（有阴影），圆圈代表运算符</div> ## 6.6.3 方法 刚刚提到，图6.3中的模型的参数是 `$ \boldsymbol{W}_{hx} $`, `$ \boldsymbol{W}_{hh} $` 和 `$ \boldsymbol{W}_{qh} $`。与3.14节（正向传播、反向传播和计算图）中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx} $`、`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh} $`和`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh} $`。 根据图6.3中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述方便，我们依然采用3.14节中表达链式法则的运算符prod。 首先，目标函数有关各时间步输出层变量的梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q $`很容易计算： ```[tex] \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} = \frac{\partial \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t)}{T \cdot \partial \boldsymbol{o}_t}. ``` 下面，我们可以计算目标函数有关模型参数`$ \boldsymbol{W}_{qh} $`的梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h} $`。根据图6.3，`$ L $`通过`$ \boldsymbol{o}_1, \ldots, \boldsymbol{o}_T $`依赖`$ \boldsymbol{W}_{qh} $`。依据链式法则， ```[tex] \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}} = \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}}\right) = \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} \boldsymbol{h}_t^\top. ``` 其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。 在图6.3中，`$ L $`只通过`$ \boldsymbol{o}_T $`依赖最终时间步$T$的隐藏状态`$ \boldsymbol{h}_T $`。因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{h}_T \in \mathbb{R}^h $`。依据链式法则，我们得到 ```[tex] \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_T} = \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_T}{\partial \boldsymbol{h}_T} \right) = \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}. ``` 接下来对于时间步`$ t < T $`, 在图6.3中，`$ L $`通过`$ \boldsymbol{h}_{t+1} $` 和`$ \boldsymbol{o}_t $`依赖`$ \boldsymbol{h}_t $`。依据链式法则， 目标函数有关时间步`$ t < T $`的隐藏状态的梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h $`需要按照时间步从大到小依次计算： ```[tex] \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} = \text{prod} (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}{\partial \boldsymbol{h}_t}) + \text{prod} (\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{h}_t} ) = \boldsymbol{W}_{hh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}} + \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} ``` 将上面的递归公式展开，对任意时间步`$ 1 \leq t \leq T $` ，我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式 ```[tex] \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} = \sum_{i=t}^T {\left(\boldsymbol{W}_{hh}^\top\right)}^{T-i} \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_{T+t-i}}. ``` 由上式中的指数项可见，当时间步数 `$ T $` 较大或者时间步 `$ t $` 较小时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含`$ \partial L / \partial \boldsymbol{h}_t $`项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度`$ \partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d} $`和`$ \partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h} $`。 在图6.3中，`$ L $`通过`$ \boldsymbol{h}_1, \ldots, \boldsymbol{h}_T $`依赖这些模型参数。 依据链式法则，我们有 ```[tex] \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}} &= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}}\right) = \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{x}_t^\top,\\ \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}} &= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}}\right) = \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{h}_{t-1}^\top. \end{aligned} ``` 我们已在3.14节里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从而避免重复计算。例如，由于隐藏状态梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{h}_t $`被计算和存储，之后的模型参数梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx} $`和`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh} $`的计算可以直接读取`$ \partial L/\partial \boldsymbol{h}_t $`的值，而无须重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。 举例来说，参数梯度`$ \partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh} $`的计算需要依赖隐藏状态在时间步`$ t = 0, \ldots, T-1 $`的当前值`$ \boldsymbol{h}_t $`（`$ \boldsymbol{h}_0 $`是初始化得到的）。这些值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。 ## 小结 * 通过时间反向传播是反向传播在循环神经网络中的具体应用。 * 当总的时间步数较大或者当前时间步较小时，循环神经网络的梯度较容易出现衰减或爆炸。 ------------ > 注：本节与原书基本相同，[原书传送门](https://zh.d2l.ai/chapter_recurrent-neural-networks/bptt.html)