# 7.7 AdaDelta算法 除了RMSProp算法以外，另一个常用优化算法AdaDelta算法也针对AdaGrad算法在迭代后期可能较难找到有用解的问题做了改进 [1]。有意思的是，**AdaDelta算法没有学习率这一超参数**。 ## 7.7.1 算法 AdaDelta算法也像RMSProp算法一样，使用了小批量随机梯度`$ \boldsymbol{g}_t $`按元素平方的指数加权移动平均变量`$ \boldsymbol{s}_t $`。在时间步0，它的所有元素被初始化为0。给定超参数`$ 0 \leq \rho < 1 $`（对应RMSProp算法中的 `$ \gamma $`），在时间步`$ t>0 $`，同RMSProp算法一样计算 ```[tex] \boldsymbol{s}_t \leftarrow \rho \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. ``` 与RMSProp算法不同的是，AdaDelta算法还维护一个额外的状态变量`$ \Delta\boldsymbol{x}_t $`，其元素同样在时间步0时被初始化为0。我们使用`$ \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} $`来计算自变量的变化量： ```[tex] \boldsymbol{g}_t' \leftarrow \sqrt{\frac{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + \epsilon}{\boldsymbol{s}_t + \epsilon}} \odot \boldsymbol{g}_t, ``` 其中`$ \epsilon $`是为了维持数值稳定性而添加的常数，如`$ 10^{-5} $` 。接着更新自变量： ```[tex] \boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}'_t. ``` 最后，我们使用`$ \Delta\boldsymbol{x}_t $`来记录自变量变化量`$ \boldsymbol{g}'_t $`按元素平方的指数加权移动平均： ```[tex] \Delta\boldsymbol{x}_t \leftarrow \rho \Delta\boldsymbol{x}_{t-1} + (1 - \rho) \boldsymbol{g}'_t \odot \boldsymbol{g}'_t. ``` 可以看到，如不考虑`$ \epsilon $`的影响，**AdaDelta算法跟RMSProp算法的不同之处在于使用`$ \sqrt{\Delta\boldsymbol{x}_{t-1}} $`来替代学习率`$ \eta $`**。 ## 7.7.2 从零开始实现 AdaDelta算法需要对每个自变量维护两个状态变量，即`$ \boldsymbol{s}_t $`和`$ \Delta\boldsymbol{x}_t $`。我们按AdaDelta算法中的公式实现该算法。 ``` python %matplotlib inline import torch import sys sys.path.append("..") import d2lzh_pytorch as d2l features, labels = d2l.get_data_ch7() def init_adadelta_states(): s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32) delta_w, delta_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32) return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b)) def adadelta(params, states, hyperparams): rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5 for p, (s, delta) in zip(params, states): s[:] = rho * s + (1 - rho) * (p.grad.data**2) g = p.grad.data * torch.sqrt((delta + eps) / (s + eps)) p.data -= g delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g ``` 使用超参数$\rho=0.9$来训练模型。 ``` python d2l.train_ch7(adadelta, init_adadelta_states(), {'rho': 0.9}, features, labels) ``` 输出： ``` loss: 0.243728, 0.062991 sec per epoch ``` :-:  ## 7.7.3 简洁实现 通过名称为`Adadelta`的优化器方法，我们便可使用PyTorch提供的AdaDelta算法。它的超参数可以通过`rho`来指定。 ``` python d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adadelta, {'rho': 0.9}, features, labels) ``` 输出： ``` loss: 0.242104, 0.047702 sec per epoch ``` :-:  ## 小结 * AdaDelta算法没有学习率超参数，它通过使用有关自变量更新量平方的指数加权移动平均的项来替代RMSProp算法中的学习率。 ## 参考文献 [1] Zeiler, M. D. (2012). ADADELTA: an adaptive learning rate method. arXiv preprint arXiv:1212.5701. ----------- > 注：除代码外本节与原书此节基本相同，[原书传送门](https://zh.d2l.ai/chapter_optimization/adadelta.html)