# 7.8 Adam算法 Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。 > 所以Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。 ## 7.8.1 算法 Adam算法使用了动量变量`$ \boldsymbol{v}_t $`和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量`$ \boldsymbol{s}_t $`，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数`$ 0 \leq \beta_1 < 1 $`（算法作者建议设为0.9），时间步 `$ t $`的动量变量`$ \boldsymbol{v}_t $`即小批量随机梯度`$ \boldsymbol{g}_t $`的指数加权移动平均： ```[tex] \boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t. ``` 和RMSProp算法中一样，给定超参数`$ 0 \leq \beta_2 < 1 $`（算法作者建议设为0.999）， 将小批量随机梯度按元素平方后的项`$ \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t $`做指数加权移动平均得到`$ \boldsymbol{s}_t $`： ```[tex] \boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. ``` 由于我们将`$ \boldsymbol{v}_0 $` 和`$ \boldsymbol{s}_0 $`中的元素都初始化为0， 在时间步`$ t $`我们得到 `$ \boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_i $`。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 `$ (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t $`。需要注意的是，当 `$ t $`较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当`$ \beta_1 = 0.9 $`时，`$ \boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1 $`。为了消除这样的影响，对于任意时间步`$ t $`，我们可以将`$ \boldsymbol{v}_t $`再除以`$ 1 - \beta_1^t $`，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量`$ \boldsymbol{v}_t $`和`$ \boldsymbol{s}_t $`均作偏差修正： ```[tex] \hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t}, ``` ```[tex] \hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}. ``` 接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量`$ \hat{\boldsymbol{v}}_t $`和`$ \hat{\boldsymbol{s}}_t $`，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整： ```[tex] \boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon}, ``` 其中`$ \eta $`是学习率，`$ \epsilon $`是为了维持数值稳定性而添加的常数，如`$ 10^{-8} $`。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用`$ \boldsymbol{g}_t' $`迭代自变量： ```[tex] \boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'. ``` ## 7.8.2 从零开始实现 我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步`$ t $`通过`hyperparams`参数传入`adam`函数。 ``` python %matplotlib inline import torch import sys sys.path.append("..") import d2lzh_pytorch as d2l features, labels = d2l.get_data_ch7() def init_adam_states(): v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32) s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32) return ((v_w, s_w), (v_b, s_b)) def adam(params, states, hyperparams): beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6 for p, (v, s) in zip(params, states): v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2 v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t']) s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t']) p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps) hyperparams['t'] += 1 ``` 使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。 ``` python d2l.train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels) ``` 输出： ``` loss: 0.245370, 0.065155 sec per epoch ``` :-:  ## 7.8.3 简洁实现 通过名称为“adam”的`Trainer`实例，我们便可使用Gluon提供的Adam算法。 ``` python d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels) ``` 输出： ``` loss: 0.242066, 0.056867 sec per epoch ``` :-:  ## 小结 * Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。 * Adam算法使用了偏差修正。 ## 参考文献 [1] Kingma, D. P., & Ba, J. (2014). Adam: A method for stochastic optimization. arXiv preprint arXiv:1412.6980. ----------- > 注：除代码外本节与原书此节基本相同，[原书传送门](https://zh.d2l.ai/chapter_optimization/adam.html)