## 一、微分中值定理 #### 费马引理 若f(x)在U(Xo)内有定义，在Xo处可导，且任意的x ```[math] 设f(x)在x_0处具有导数，且在x_0处取得极值，那末必定f'(x_0) = 0 ``` 导数为0的点称为驻点，极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点。 #### 罗尔定理 如果f(x)满足： 1. 开区间 [a,b]连续 2. 闭区间(a,b)可导 3. 间断点处的函数值相等 ，即f(a)=f(b) 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得函数在该点的导数等于零，即f`(ξ)=0 #### 拉格朗日中值定理 如果f(x)满足： 1. 开区间 [a,b]连续 2. 闭区间(a,b)可导 3. 间断点处的函数值相等 ，即f(a)=f(b) 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得等式f(b)-f(a)=f`(ξ)(b-a) #### 柯西中值定理 ```[math] \frac {f(b)-f(a)} {g(b)-g(a)} = \frac {f'(\xi)} {g'(\xi)} ``` ## 二、洛必达法则 #### 未定式的极限 #### 洛必达法则 0/0, ## 三、泰勒公式 #### 泰勒中值定理 #### 泰勒公式 ```[math] f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \dots + \frac {f^{(n)}(x_0)} {n!} (x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) ``` #### 麦克劳林公式 ```[math] f(x) = f(0)+f'(0)x+ \dots + \frac {f^{(n)}(0)} {n!} (x-x_0)^n+o(x^n) ``` #### 佩亚诺型余项 #### 拉格朗日型余项 ```[math] \frac {f^{(n+1)} (\xi)} {(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ``` ## 四、导数的应用 #### 函数单调性的判定法 * f'(x)>0 函数单调增加 * f'(x)<0 函数单调减少 #### 曲线的凹凸性 ```[math] f''(x) \ge 0 凸函数 ``` #### 极大值和极小值 ```[math] 极值必定有 f'(x_0)=0 ``` 极值必定是驻点，但驻点不一定是极值点。 #### 函数最值的求法 1. 求稳定点和不可导点 2. 求稳定点和不可导点的函数值，比较大小 #### 拐点 拐点的必要条件 `$ f''(x_0)=0 $` #### 渐近线 铅直渐近线 ```[math] \lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = \infin 或\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \infin ``` 水平渐进线 ```[math] \lim_{x \rightarrow +\infin}f(x) = b 或\lim_{x \rightarrow - \infin}f(x) = b ``` y= b 是水平渐近线 斜渐近线 ```[math] \lim_{x \rightarrow +\infin}[f(x)-(ax+b) ]= 0 或 \lim_{x \rightarrow -\infin}[f(x)-(ax+b) ]= 0 \\ \lim_{x \rightarrow \infin}{\frac {f(x)}{x}}= a \\ \lim_{x \rightarrow \infin}[f(x)-ax]= b ``` #### 函数图形的描绘 ##五、曲率 #### 弧微分 #### 曲率 #### 曲率半径 #### 曲率圆