##一、数项级数 #### 数项级数 给定一个数列 u1、u2、u3、......、un，..... 则表达式： u1+u2+.... 称为常数项无穷级数，简称数项级数，记做： ∑ #### 部分和 前 n项之后 #### 数项级数的收敛与发散 * 级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变 * 若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。反过来，不成立。 * 两边夹定理 * 级数收敛的必要条件 通项的极限值为0。 #### 几何级数与P级数 #### 收敛级数的基本性质 #### 柯西收敛原理 ##二、正项级数审敛法 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界。 #### 比较审敛法 重要参照级数： 等比级数、P级数 #### 比较审敛法的极限形式 Un+1/Un的极限值 1. q<1 ，收敛 2. q>1，发散 3. q=1，可能收敛也可能发散 #### 根值审敛法 **柯西**判别法 通项的n次根的极限q 1. q<1 ，收敛 2. q>1，发散 3. q=1，可能收敛也可能发散 #### 比较审敛法 #### 判断正项级数是否收敛的步骤 1. 用级数收敛的必要条件 通项的极限不等于0，则级数发散，否则进一步判断 2. 用比值判别法 n+1项与n项的商，失效则使用比较判别法 3. 用比较判别法。 需要知道一些敛散性确定的级数，比如等比级数、P级数等。 ##三、任意项级数 #### 交错级数 (-1)n-1 Un #### 莱布尼兹定理 交错级数满足： (1) Un>Un+1 (2) Un的极限为0 则级数收敛。 #### 绝对收敛和条件收敛 * ∑|Un|收敛，则称绝对收敛 * ∑Un收敛，∑|Un|发散， 则称条件收敛 定理5：绝对收敛的级数必是收敛的。 #### 绝对收敛级数的性质 绝对收敛的级数必是收敛的。 ## 常用级数 * 调和级数 `$ \sum\frac{1}{n} $` 发散。