# 量化分析师的Python日记【第8天 Q Quant兵器谱之函数插值】 > 来源：https://uqer.io/community/share/551cfa1ff9f06c8f339044ff > 在本篇中，我们将介绍Q宽客常用工具之一：函数插值。接着将函数插值应用于一个实际的金融建模场景中：波动率曲面构造。 > 通过本篇的学习您将学习到： > 1. 如何在`scipy`中使用函数插值模块：`interpolate`； > 2. 波动率曲面构造的原理； > 3. 将`interpolate`运用于波动率曲面构造。 ## 1. 如何使用`scipy`做函数插值 函数插值，即在离散数据的基础上补插连续函数，估算出函数在其他点处的近似值的方法。在`scipy`中，所有的与函数插值相关的功能都在`scipy.interpolate`模块中 ```py from scipy import interpolate dir(interpolate)[:5] ['Akima1DInterpolator', 'BPoly', 'BarycentricInterpolator', 'BivariateSpline', 'CloughTocher2DInterpolator'] ``` 作为介绍性质的本篇，我们将只关注`interpolate.spline`的使用，即样条插值方法： + `xk`离散的自变量值，为序列 + `yk`对应`xk`的函数值，为与`xk`长度相同的序列 + `xnew`需要进行插值的自变量值序列 + `order`样条插值使用的函数基德阶数，为1时使用线性函数 ```py print interpolate.spline.__doc__ Interpolate a curve at new points using a spline fit Parameters ---------- xk, yk : array_like The x and y values that define the curve. xnew : array_like The x values where spline should estimate the y values. order : int Default is 3. kind : string One of {'smoothest'} conds : Don't know Don't know Returns ------- spline : ndarray An array of y values; the spline evaluated at the positions `xnew`. ``` ### 1.1 三角函数（`np.sin`）插值 一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在`scipy`中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：  假设我们已经观测到的`f(x)`在离散点`x=(1,3,5,7,9,11,13)`的值： ```py import numpy as np from matplotlib import pylab import seaborn as sns font.set_size(20) x = np.linspace(1.0, 13.0, 7) y = np.sin(x) pylab.figure(figsize = (12,6)) pylab.scatter(x,y, s = 85, marker='x', color = 'r') pylab.title(u'$f(x)$离散点分布', fontproperties = font) <matplotlib.text.Text at 0x142cafd0> ```  首先我们使用最简单的线性插值算法，这里面只要将`spline`的参数`order`设置为1即可： ```py xnew = np.linspace(1.0,13.0,500) ynewLinear = interpolate.spline(x,y,xnew,order = 1) ynewLinear[:5] array([ 0.84147098, 0.83304993, 0.82462888, 0.81620782, 0.80778677]) ``` 复杂一些的，也是`spline`函数默认的方法，即为样条插值，将`order`设置为3即可： 最后我们获得真实的`sin(x)`的值： ```py ynewReal = np.sin(xnew) ynewReal[:5] array([ 0.84147098, 0.85421967, 0.86647437, 0.87822801, 0.88947378]) ``` 让我们把所有的函数画到一起，看一下插值的效果。对于我们这个例子中的目标函数而言，由于本身目标函数是光滑函数，则越高阶的样条插值的方法，插值效果越好。 ```py pylab.figure(figsize = (16,8)) pylab.plot(xnew,ynewReal) pylab.plot(xnew,ynewLinear) pylab.plot(xnew,ynewCubicSpline) pylab.scatter(x,y, s = 160, marker='x', color = 'k') pylab.legend([u'真实曲线', u'线性插值', u'样条插值', u'$f(x)$离散点'], prop = font) pylab.title(u'$f(x)$不同插值方法拟合效果：线性插值 v.s 样条插值', fontproperties = font) <matplotlib.text.Text at 0x1424cd50> ```  ## 2. 函数插值应用 —— 期权波动率曲面构造 市场上期权价格一般以隐含波动率的形式报出，一般来讲在市场交易时间，交易员可以看到类似的波动率矩阵（Volatilitie Matrix): ```py import pandas as pd pd.options.display.float_format = '{:,>.2f}'.format dates = [Date(2015,3,25), Date(2015,4,25), Date(2015,6,25), Date(2015,9,25)] strikes = [2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6] blackVolMatrix = np.array([[ 0.32562851, 0.29746885, 0.29260648, 0.27679993], [ 0.28841840, 0.29196629, 0.27385023, 0.26511898], [ 0.27659511, 0.27350773, 0.25887604, 0.25283775], [ 0.26969754, 0.25565971, 0.25803327, 0.25407669], [ 0.27773032, 0.24823248, 0.27340796, 0.24814975]]) table = pd.DataFrame(blackVolMatrix * 100, index = strikes, columns = dates, ) table.index.name = u'行权价' table.columns.name = u'到期时间' print u'2015年3月3日10时波动率矩阵' table 2015年3月3日10时波动率矩阵 ``` | 到期时间 | March 25th, 2015 | April 25th, 2015 | June 25th, 2015 | September 25th, 2015 | | --- | --- | | 行权价 | | | | | | 2.20 | 32.56 | 29.75 | 29.26 | 27.68 | | 2.30 | 28.84 | 29.20 | 27.39 | 26.51 | | 2.40 | 27.66 | 27.35 | 25.89 | 25.28 | | 2.50 | 26.97 | 25.57 | 25.80 | 25.41 | | 2.60 | 27.77 | 24.82 | 27.34 | 24.81 | 交易员可以看到市场上离散值的信息，但是如果可以获得一些隐含的信息更好：例如，在2015年6月25日以及2015年9月25日之间，波动率的形状会是怎么样的？ ### 2.1 方差曲面插值 我们并不是直接在波动率上进行插值，而是在方差矩阵上面进行插值。方差和波动率的关系如下：  所以下面我们将通过处理，获取方差矩阵（Variance Matrix): ```py evaluationDate = Date(2015,3,3) ttm = np.array([(d - evaluationDate) / 365.0 for d in dates]) varianceMatrix = (blackVolMatrix**2) * ttm varianceMatrix array([[ 0.00639109, 0.0128489 , 0.02674114, 0.04324205], [ 0.0050139 , 0.01237794, 0.02342277, 0.03966943], [ 0.00461125, 0.01086231, 0.02093128, 0.03607931], [ 0.00438413, 0.0094909 , 0.02079521, 0.03643376], [ 0.00464918, 0.00894747, 0.02334717, 0.03475378]]) ``` 这里的值`varianceMatrix`就是变换而得的方差矩阵。 下面我们将在行权价方向以及时间方向同时进行线性插值，具体地，行权价方向：  时间方向：  这个过程在`scipy`中可以直接通过`interpolate`模块下`interp2d`来实现： + `ttm` 时间方向离散点 + `strikes` 行权价方向离散点 + `varianceMatrix` 方差矩阵，列对应时间维度；行对应行权价维度 + `kind = 'linear'` 指示插值以线性方式进行 ```py interp = interpolate.interp2d(ttm, strikes, varianceMatrix, kind = 'linear') ``` 返回的`interp`对象可以用于获取任意点上插值获取的方差值： ```py interp(ttm[0], strikes[0]) array([ 0.00639109]) ``` 最后我们获取整个平面上所有点的方差值，再转换为波动率曲面。 ```py sMeshes = np.linspace(strikes[0], strikes[-1], 400) tMeshes = np.linspace(ttm[0], ttm[-1], 200) interpolatedVarianceSurface = np.zeros((len(sMeshes), len(tMeshes))) for i, s in enumerate(sMeshes): for j, t in enumerate(tMeshes): interpolatedVarianceSurface[i][j] = interp(t,s) interpolatedVolatilitySurface = np.sqrt((interpolatedVarianceSurface / tMeshes)) print u'行权价方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 0) print u'到期时间方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 1) 行权价方向网格数： 400 到期时间方向网格数： 200 ``` 选取某一个到期时间上的波动率点，看一下插值的效果。这里我们选择到期时间最近的点：2015年3月25日： ```py pylab.figure(figsize = (16,8)) pylab.plot(sMeshes, interpolatedVolatilitySurface[:, 0]) pylab.scatter(x = strikes, y = blackVolMatrix[:,0], s = 160,marker = 'x', color = 'r') pylab.legend([u'波动率（线性插值）', u'波动率（离散）'], prop = font) pylab.title(u'到期时间为2015年3月25日期权波动率', fontproperties = font) <matplotlib.text.Text at 0xea27f90> ```  最终，我们把整个曲面的图像画出来看看： ```py from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import cm maturityMesher, strikeMesher = np.meshgrid(tMeshes, sMeshes) pylab.figure(figsize = (16,9)) ax = pylab.gca(projection = '3d') surface = ax.plot_surface(strikeMesher, maturityMesher, interpolatedVolatilitySurface*100, cmap = cm.jet) pylab.colorbar(surface,shrink=0.75) pylab.title(u'2015年3月3日10时波动率曲面', fontproperties = font) pylab.xlabel("strike") pylab.ylabel("maturity") ax.set_zlabel(r"volatility(%)") <matplotlib.text.Text at 0x14e03050> ```