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# 9.3 凸优化 · 如何在 Python 中利用 CVXOPT 求解二次规划问题 > 来源:https://uqer.io/community/share/55c9a55df9f06c91f818c675 ## 问题描述: 在实际生活中,我们经常会遇到一些优化问题,简单的线性规划可以作图求解,但是对于目标函数包含二次项时,则需要另觅它法 在金融实践中,马科维茨均方差模型就有实际的二次优化需求 作为金融实践中常用的方法,本篇将对CVXOPT中求解二次规划的问题进行举例详细说明,关于该方法在均方差优化中的实践应用,参见后续发帖 ## 1、二次规划问题的标准形式 ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3b5f39.jpg) 上式中,`x`为所要求解的列向量,`xT`表示`x`的转置 接下来,按步骤对上式进行相关说明: + 上式表明,任何二次规划问题都可以转化为上式的结构,事实上用cvxopt的第一步就是将实际的二次规划问题转换为上式的结构,写出对应的`P`、`q`、`G`、`h`、`A`、`b` + 目标函数若为求`max`,可以通过乘以−1,将最大化问题转换为最小化问题 + `Gx≤b`表示的是所有的不等式约束,同样,若存在诸如`x≥0`的限制条件,也可以通过乘以−1转换为`≤`的形式 + `Ax=b`表示所有的等式约束 ## 2、以一个标准的例子进行过程说明 ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3c7d35.jpg) 例子中,需要求解的是`x`,`y`,我们可以把它写成向量的形式,同时,也需要将限制条件按照上述标准形式进行调整,用矩阵形式表示,如下所示: ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3d8c59.jpg) + 如上所示,目标函数和限制条件均转化成了二次规划的标准形式,这是第一步,也是最难的一步,接下来的事情就简单了 + 对比上式和标准形式,不难得出: ![](https://box.kancloud.cn/2016-07-30_579cbdb3ee597.jpg) 接下来就是几行简单的代码,目的是告诉计算机上面的参数具体是什么 ```py from cvxopt import solvers, matrix P = matrix([[1.0,0.0],[0.0,0.0]]) # matrix里区分int和double,所以数字后面都需要加小数点 q = matrix([3.0,4.0]) G = matrix([[-1.0,0.0,-1.0,2.0,3.0],[0.0,-1.0,-3.0,5.0,4.0]]) h = matrix([0.0,0.0,-15.0,100.0,80.0]) sol = solvers.qp(P,q,G,h) # 调用优化函数solvers.qp求解 print sol['x'] # 打印结果,sol里面还有很多其他属性,读者可以自行了解 pcost dcost gap pres dres 0: 1.0780e+02 -7.6366e+02 9e+02 1e-16 4e+01 1: 9.3245e+01 9.7637e+00 8e+01 1e-16 3e+00 2: 6.7311e+01 3.2553e+01 3e+01 6e-17 1e+00 3: 2.6071e+01 1.5068e+01 1e+01 2e-16 7e-01 4: 3.7092e+01 2.3152e+01 1e+01 2e-16 4e-01 5: 2.5352e+01 1.8652e+01 7e+00 8e-17 3e-16 6: 2.0062e+01 1.9974e+01 9e-02 6e-17 3e-16 7: 2.0001e+01 2.0000e+01 9e-04 6e-17 3e-16 8: 2.0000e+01 2.0000e+01 9e-06 9e-17 2e-16 Optimal solution found. [ 7.13e-07] [ 5.00e+00] ``` + 看了上面的代码,是不是觉得很简单。因为难点不在代码,而是在于将实际优化问题转化为标准形式的过程 + 在上面的例子中,并没有出现等号,当出现等式约束时,过程一样,找到`A`,`b`,然后运行代码 `sol = solvers.qp(P,q,G,h,A,b)` 即可求解 扩展:上述定义各个矩阵参数用的是最直接的方式,其实也可以结合Numpy来定义上述矩阵 ```py from cvxopt import solvers, matrix import numpy as np P = matrix(np.diag([1.0,0])) # 对于一些特殊矩阵,用numpy创建会方便很多(在本例中可能感受不大) q = matrix(np.array([3.0,4])) G = matrix(np.array([[-1.0,0],[0,-1],[-1,-3],[2,5],[3,4]])) h = matrix(np.array([0.0,0,-15,100,80])) sol = solvers.qp(P,q,G,h) pcost dcost gap pres dres 0: 1.0780e+02 -7.6366e+02 9e+02 1e-16 4e+01 1: 9.3245e+01 9.7637e+00 8e+01 1e-16 3e+00 2: 6.7311e+01 3.2553e+01 3e+01 6e-17 1e+00 3: 2.6071e+01 1.5068e+01 1e+01 2e-16 7e-01 4: 3.7092e+01 2.3152e+01 1e+01 2e-16 4e-01 5: 2.5352e+01 1.8652e+01 7e+00 8e-17 3e-16 6: 2.0062e+01 1.9974e+01 9e-02 6e-17 3e-16 7: 2.0001e+01 2.0000e+01 9e-04 6e-17 3e-16 8: 2.0000e+01 2.0000e+01 9e-06 9e-17 2e-16 Optimal solution found. ``` 先写到这吧,关于二次规划在均方差优化中的实践应用,参见后续发帖,欢迎交流~~