# 量化分析师的Python日记【第11天 Q Quant兵器谱之偏微分方程2】 > 来源：https://uqer.io/community/share/5534ad3ff9f06c8f33904689 > 这是量化分析师的偏微分方程系列的第二篇，在这一篇中我们将解决上一篇显式格式留下的稳定性问题。本篇将引入隐式差分算法，读者可以学到： > > 1. 隐式差分格式描述 > 1. 三对角矩阵求解 > 1. 如何使用`scipy`加速算法实现 > > 在完成两天的基础学习之后，在下一天中，我们将把已经学到的知识运用到金融定价领域最重要的方程之一：Black - Shcoles - Merton 偏微分方差 ```py from matplotlib import pylab import seaborn as sns import numpy as np np.set_printoptions(precision = 4) font.set_size(20) def initialCondition(x): return 4.0*(1.0 - x) * x ``` ## 1. 隐式差分格式 像上一天一样，我们从差分格式的数学表述开始。隐式格式与显式格式的区别，在于我们时间方向选择的基准点。显式格式使用`k`，而隐式格式选择`k+1`:  剩下的推到过程我完全一样，我们看到无论隐式格式还是显式格式，它们的截断误差是一样的：  用离散值`Uj,k`替换`uj,k`，我们得到差分方程：  最后，到这里我们得到一个迭代方程组：  其中。 ```py N = 500 # x方向网格数 M = 500 # t方向网格数 T = 1.0 X = 1.0 xArray = np.linspace(0,X,N+1) yArray = map(initialCondition, xArray) starValues = yArray U = np.zeros((N+1,M+1)) U[:,0] = starValues ``` ```py dx = X / N dt = T / M kappa = 1.0 rho = kappa * dt / dx / dx ``` ### 1.1 矩阵求解(`TridiagonalSystem`) 虽然看上去形式只是变了一点，但是求解的问题有很大的变化。在每个时间点上，我们需要求解如下的一个线性方程组：  这里` A`为：  幸运的是，这个是个三对角矩阵，可以很简单的利用Gauss消去法求解。我们这里不会详细讨论算法的描述，细节都可以在下面的python类`TridiagonalSystem`中了解到： ```py class TridiagonalSystem: def __init__(self, udiag, cdiag, ldiag): ''' 三对角矩阵： udiag -- 上对角线 cdiag -- 对角线 ldiag -- 下对角线 ''' assert len(udiag) == len(cdiag) assert len(cdiag) == len(ldiag) self.udiag = udiag self.cdiag = cdiag self.ldiag = ldiag self.length = len(self.cdiag) def solve(self, rhs): ''' 求解以下方程组 A \ dot x = rhs ''' assert len(rhs) == len(self.cdiag) udiag = self.udiag.copy() cdiag = self.cdiag.copy() ldiag = self.ldiag.copy() b = rhs.copy() # 消去下对角元 for i in range(1, self.length): cdiag[i] -= udiag[i-1] * ldiag[i] / cdiag[i-1] b[i] -= b[i-1] * ldiag[i] / cdiag[i-1] # 从最后一个方程开始求解 x = np.zeros(self.length) x[self.length-1] = b[self.length - 1] / cdiag[self.length - 1] for i in range(self.length - 2, -1, -1): x[i] = (b[i] - udiag[i]*x[i+1]) / cdiag[i] return x def multiply(self, x): ''' 矩阵乘法： rhs = A \dot x ''' assert len(x) == len(self.cdiag) rhs = np.zeros(self.length) rhs[0] = x[0] * self.cdiag[0] + x[1] * self.udiag[0] for i in range(1, self.length - 1): rhs[i] = x[i-1] * self.ldiag[i] + x[i] * self.cdiag[i] + x[i+1] * self.udiag[i] rhs[self.length - 1] = x[self.length - 2] * self.ldiag[self.length - 1] + x[self.length - 1] * self.cdiag[self.length - 1] return rhs ``` ### 1.2 隐式格式求解 ```py for k in range(0, M): udiag = - np.ones(N-1) * rho ldiag = - np.ones(N-1) * rho cdiag = np.ones(N-1) * (1.0 + 2. * rho) mat = TridiagonalSystem(udiag, cdiag, ldiag) rhs = U[1:N,k] x = mat.solve(rhs) U[1:N, k+1] = x U[0][k+1] = 0. U[N][k+1] = 0. ``` ```py from lib.utilities import plotLines plotLines([U[:,0], U[:, int(0.10/ dt)], U[:, int(0.20/ dt)], U[:, int(0.50/ dt)]], xArray, title = u'一维热传导方程', xlabel = '$x$', ylabel = r'$U(\dot, \tau)$', legend = [r'$\tau = 0.$', r'$\tau = 0.10$', r'$\tau = 0.20$', r'$\tau = 0.50$']) ```  ```py from lib.utilities import plotSurface tArray = np.linspace(0, 0.2, int(0.2 / dt) + 1) tGrids, xGrids = np.meshgrid(tArray, xArray) plotSurface(xGrids, tGrids, U[:,:int(0.2 / dt) + 1], title = u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$，隐式格式（$\\rho = 50$）", xlabel = "$x$", ylabel = r"$\tau$", zlabel = r"$U$") ```  ## 2. 继续组装 像我们在显示格式那一节介绍的同样做法，我们把之前的代码整合起来，归集与一个完整的类`ImplicitEulerScheme`中： ```py from lib.utilities import HeatEquation ``` 上面的代码（使用`library`功能，关于该功能的具体介绍请见[帮助 — Library是干什么的](https://app.wmcloud.com/mercury/help/faq/#Library是干什么的))导入我们在上一期中已经定义过的类`HeatEquation`，避免代码重复。 ```py class ImplicitEulerScheme: def __init__(self, M, N, equation): self.eq = equation self.dt = self.eq.T / M self.dx = self.eq.X / N self.U = np.zeros((N+1, M+1)) self.xArray = np.linspace(0,self.eq.X,N+1) self.U[:,0] = map(self.eq.ic, self.xArray) self.rho = self.eq.kappa * self.dt / self.dx / self.dx self.M = M self.N = N def roll_back(self): for k in range(0, self.M): udiag = - np.ones(self.N-1) * self.rho ldiag = - np.ones(self.N-1) * self.rho cdiag = np.ones(self.N-1) * (1.0 + 2. * self.rho) mat = TridiagonalSystem(udiag, cdiag, ldiag) rhs = self.U[1:self.N,k] x = mat.solve(rhs) self.U[1:self.N, k+1] = x self.U[0][k+1] = self.eq.bcl(self.xArray[0]) self.U[self.N][k+1] = self.eq.bcr(self.xArray[-1]) def mesh_grids(self): tArray = np.linspace(0, self.eq.T, M+1) tGrids, xGrids = np.meshgrid(tArray, self.xArray) return tGrids, xGrids ``` 然后我们可以使用下面的三行简单调用完成功能： ```py ht = HeatEquation(1.,X, T) scheme = ImplicitEulerScheme(M,N, ht) scheme.roll_back() scheme.U array([[ 0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00, ..., 0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00], [ 7.9840e-03, 7.2843e-03, 6.9266e-03, ..., 3.8398e-07, 3.7655e-07, 3.6926e-07], [ 1.5936e-02, 1.4567e-02, 1.3852e-02, ..., 7.6795e-07, 7.5308e-07, 7.3851e-07], ..., [ 1.5936e-02, 1.4567e-02, 1.3852e-02, ..., 7.6795e-07, 7.5308e-07, 7.3851e-07], [ 7.9840e-03, 7.2843e-03, 6.9266e-03, ..., 3.8398e-07, 3.7655e-07, 3.6926e-07], [ 0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00, ..., 0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00]]) ``` ## 3. 使用 `scipy`加速 软件工程行业里有句老话，叫做：“不要重复发明轮子！”。实际上，之前的代码里面，我们就造了自己的轮子：`TridiagonalSystem`。三对角矩阵作为最最常见的稀疏矩阵，关于它的线性方程组求解算法实际上早已为业界熟知，也已经有很多库内置了工业级别强度实现。这里我们取`scipy`作为例子，来展示使用外源库实现的好处： + 更加稳健的算法： 知名库算法由于使用者广泛，有更大的概率发现一些极端情形下的bug。库作者可以根据用户反馈，及时调整算法； + 更高的性能： 由于库的使用更为广泛，库作者有更大的动力去使用各种技术去提高算法的性能：例如使用更高效的语言实现，例如C。scipy中的情形就是一例。 + 持续的维护： 库的受众范围广，社区的力量会推动库作者持续维护。 下面的代码展示，如何使用`scipy`中的`solve_banded`算法求解三对角矩阵： ```py import scipy as sp from scipy.linalg import solve_banded A = np.zeros((3, 5)) A[0, :] = np.ones(5) * 1. # 上对角线 A[1, :] = np.ones(5) * 3. # 对角线 A[2, :] = np.ones(5) * (-1.) # 下对角线 b = [1.,2.,3.,4.,5.] x = solve_banded ((1,1), A,b) print 'x = A^-1b = ',x x = A^-1b = [ 0.1833 0.45 0.8333 0.95 1.9833] ``` 我们使用上面的算法替代我们之前的`TridiagonalSystem`， ```py import scipy as sp from scipy.linalg import solve_banded for k in range(0, M): udiag = - np.ones(N-1) * rho ldiag = - np.ones(N-1) * rho cdiag = np.ones(N-1) * (1.0 + 2. * rho) mat = np.zeros((3,N-1)) mat[0,:] = udiag mat[1,:] = cdiag mat[2,:] = ldiag rhs = U[1:N,k] x = solve_banded ((1,1), mat,rhs) U[1:N, k+1] = x U[0][k+1] = 0. U[N][k+1] = 0. ``` ```py plotLines([U[:,0], U[:, int(0.10/ dt)], U[:, int(0.20/ dt)], U[:, int(0.50/ dt)]], xArray, title = u'一维热传导方程，使用scipy', xlabel = '$x$', ylabel = r'$U(\dot, \tau)$', legend = [r'$\tau = 0.$', r'$\tau = 0.10$', r'$\tau = 0.20$', r'$\tau = 0.50$']) ```  同样的我们定义一个新类`ImplicitEulerSchemeWithScipy`使用`scipy`的算法： ```py class ImplicitEulerSchemeWithScipy: def __init__(self, M, N, equation): self.eq = equation self.dt = self.eq.T / M self.dx = self.eq.X / N self.U = np.zeros((N+1, M+1)) self.xArray = np.linspace(0,self.eq.X,N+1) self.U[:,0] = map(self.eq.ic, self.xArray) self.rho = self.eq.kappa * self.dt / self.dx / self.dx self.M = M self.N = N def roll_back(self): for k in range(0, self.M): udiag = - np.ones(self.N-1) * self.rho ldiag = - np.ones(self.N-1) * self.rho cdiag = np.ones(self.N-1) * (1.0 + 2. * self.rho) mat = np.zeros((3,self.N-1)) mat[0,:] = udiag mat[1,:] = cdiag mat[2,:] = ldiag rhs = self.U[1:self.N,k] x = solve_banded((1,1), mat, rhs) self.U[1:self.N, k+1] = x self.U[0][k+1] = self.eq.bcl(self.xArray[0]) self.U[self.N][k+1] = self.eq.bcr(self.xArray[-1]) def mesh_grids(self): tArray = np.linspace(0, self.eq.T, M+1) tGrids, xGrids = np.meshgrid(tArray, self.xArray) return tGrids, xGrids ``` 下面的代码，比较了两种做法的性能。可以看到仅仅简单的替代三对角矩阵算法，我们就获得了接近8倍的性能提升 ```py import time startTime = time.time() loop_round = 10 # 不使用scipy for k in range(loop_round): ht = HeatEquation(1.,X, T) scheme = ImplicitEulerScheme(M,N, ht) scheme.roll_back() endTime = time.time() print '{0:<40}{1:.4f}'.format('执行时间(s) -- 不使用scipy.linalg: ', endTime - startTime) # 使用scipy startTime = time.time() for k in range(loop_round): ht = HeatEquation(1.,X, T) scheme = ImplicitEulerSchemeWithScipy(M,N, ht) scheme.roll_back() endTime = time.time() print '{0:<40}{1:.4f}'.format('执行时间(s) -- 使用scipy.linalg: ', endTime - startTime) 执行时间(s) -- 不使用scipy.linalg: 12.1589 执行时间(s) -- 使用scipy.linalg: 1.6224 ``` ## 4. 尾声 到这里为止，我们已经结束了偏微分方差差分格式的基础学习。这是一个很大的学科，这两天也只能做到“管中窥豹”。但是有了以上的基础知识，读者已经有了足够的积累，可以处理一些金融工程中会实际遇到的方程。在下一天中，我们将把这两天学习到的知识运用到金融工程史上最重要的方程：Black - Scholes - Merton 偏微分方程。