# 量化分析师的Python日记【第10天 Q Quant兵器谱 -之偏微分方程1】 > 来源：https://uqer.io/community/share/5530d9f1f9f06c8f3390465a > 从今天开始我们将进入一个系列 —— 偏微分方程。作为这一系列的开篇，我们以热传导方差为引子，引出： > > 1. 如何提一个偏微分方程的初边值问题； > 1. 利用差分格式将偏微分方程离散化； > 1. 显示差分格式； > 1. 显示差分格式的条件稳定性。 > > 最后一点将作为伏笔，引出我们下一天的学习：无条件稳定格式。 ## 1. 热传导方程  其中： + `κ` 称为热传导系数 + `[2]` 称为方程的初值条件（Initial Condition) + `[3][4]` 称为方程的边值条件 （Boundaries Condition）。这里我们使用Dirichlet条件 我们可以看一下初值条件的形状: ```py from matplotlib import pylab import seaborn as sns import numpy as np font.set_size(20) def initialCondition(x): return 4.0*(1.0 - x) * x xArray = np.linspace(0,1.0,50) yArray = map(initialCondition, xArray) pylab.figure(figsize = (12,6)) pylab.plot(xArray, yArray) pylab.xlabel('$x$', fontsize = 15) pylab.ylabel('$f(x)$', fontsize = 15) pylab.title(u'一维热传导方程初值条件', fontproperties = font) <matplotlib.text.Text at 0x12523810> ```  ## 2. 显式差分格式 这里的基本思想是用差分格式替换对应的微分形式，并且期盼两种格式的"误差"在网格足够密的情况下会趋于0。我们分别在时间方向以及空间方向做差分格式：  合并在一起，我们就得到了原始微分方程的差分格式：  这里我们使用差分网格上的近似值`Uj,k`代替`uj,k`，得到新的方程：  到这里我们得到一个迭代方程组：  其中。下面我们使用Python代码实现上面的过程。 首先定义基本变量： + `N` 空间方向的网格数 + `M` 时间方向的网格数 + `T` 最大时间期限 + `X` 最大空间范围 + `U` 用来存储差分网格点上值得矩阵 ```py N = 25 # x方向网格数 M = 2500 # t方向网格数 T = 1.0 X = 1.0 xArray = np.linspace(0,X,N+1) yArray = map(initialCondition, xArray) starValues = yArray U = np.zeros((N+1,M+1)) U[:,0] = starValues ``` ```py dx = X / N dt = T / M kappa = 1.0 rho = kappa * dt / dx / dx ``` 这里我们做正向迭代：迭代时 `k=0,1...M−1`, 代表我们从0时刻运行至`T` ```py for k in range(0, M): for j in range(1, N): U[j][k+1] = rho * U[j-1][k] + (1. - 2*rho) * U[j][k] + rho * U[j+1][k] U[0][k+1] = 0. U[N][k+1] = 0. ``` 我们可以画出不同时间点 `U(,˙τk)` 的结果： ```py pylab.figure(figsize = (12,6)) pylab.plot(xArray, U[:,0]) pylab.plot(xArray, U[:, int(0.10/ dt)]) pylab.plot(xArray, U[:, int(0.20/ dt)]) pylab.plot(xArray, U[:, int(0.50/ dt)]) pylab.xlabel('$x$', fontsize = 15) pylab.ylabel(r'$U(\dot, \tau)$', fontsize = 15) pylab.title(u'一维热传导方程', fontproperties = font) pylab.legend([r'$\tau = 0.$', r'$\tau = 0.10$', r'$\tau = 0.20$', r'$\tau = 0.50$'], fontsize = 15) <matplotlib.legend.Legend at 0x12577cd0> ```  也可以通过三维立体图看一下整体的热传导过程： ```py tArray = np.linspace(0, 0.2, int(0.2 / dt) + 1) xGrids, tGrids = np.meshgrid(xArray, tArray) ``` ```py from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import cm fig= pylab.figure(figsize = (16,10)) ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d') surface = ax.plot_surface(xGrids, tGrids, U[:,:int(0.2 / dt) + 1].T, cmap=cm.coolwarm) ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18}) ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18}) ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18}) ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$" , fontproperties = font) fig.colorbar(surface,shrink=0.75) <matplotlib.colorbar.Colorbar instance at 0xf6eb878> ```  ## 3. 组装起来 就像在前一天二叉树建模中介绍的一样，我们这里会以面向对象的方式重新封装分散的代码，方便复用。首先是方程的描述： ```py class HeatEquation: def __init__(self, kappa, X, T, initialConstion = lambda x:4.0*x*(1.0-x), boundaryConditionL = lambda x: 0, boundaryCondtionR = lambda x:0): self.kappa = kappa self.ic = initialConstion self.bcl = boundaryConditionL self.bcr = boundaryCondtionR self.X = X self.T = T ``` 下面的是显式差分格式的描述： ```py class ExplicitEulerScheme: def __init__(self, M, N, equation): self.eq = equation self.dt = self.eq.T / M self.dx = self.eq.X / N self.U = np.zeros((N+1, M+1)) self.xArray = np.linspace(0,self.eq.X,N+1) self.U[:,0] = map(self.eq.ic, self.xArray) self.rho = self.eq.kappa * self.dt / self.dx / self.dx self.M = M self.N = N def roll_back(self): for k in range(0, self.M): for j in range(1, self.N): self.U[j][k+1] = self.rho * self.U[j-1][k] + (1. - 2*self.rho) * self.U[j][k] + self.rho * self.U[j+1][k] self.U[0][k+1] = self.eq.bcl(self.xArray[0]) self.U[N][k+1] = self.eq.bcr(self.xArray[-1]) def mesh_grids(self): tArray = np.linspace(0, self.eq.T, M+1) tGrids, xGrids = np.meshgrid(tArray, self.xArray) return tGrids, xGrids ``` 有了以上的部分，现在整个过程可以简单的通过初始化和一行关于`roll_back`的调用完成： ```py ht = HeatEquation(1.,1.,1.) scheme = ExplicitEulerScheme(2500,25, ht) scheme.roll_back() ``` 我们可以获取与之前相同的图像： ```py tGrids, xGrids = scheme.mesh_grids() fig= pylab.figure(figsize = (16,10)) ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d') cutoff = int(0.2 / scheme.dt) + 1 surface = ax.plot_surface(xGrids[:,:cutoff], tGrids[:,:cutoff], scheme.U[:,:cutoff], cmap=cm.coolwarm) ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18}) ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18}) ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18}) ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$" , fontproperties = font) fig.colorbar(surface,shrink=0.75) <matplotlib.colorbar.Colorbar instance at 0x12d69e60> ```  ## 4. 什么时候显式格式会失败？ 显式格式不能任意取时间和空间的网格点数，即`M`与`N`不能随意取值。我们称显式格式为条件稳定。特别地，需要满足所谓CFL条件（Courant–Friedrichs–Lewy）：  例如： + `M` = 2500 + `N` = 25 则：  + `M` = 1200 + `N` = 25 则：  下面的代码计算在第二种情形下的网格点计算过程： ```py ht = HeatEquation(1.,1.,1.) scheme = ExplicitEulerScheme(1200,25, ht) scheme.roll_back() ``` 我们可以通过下图看到，在CFL条件无法满足的情况下，数值误差累计的结果（特别注意后面的锯齿）： ```py tGrids, xGrids = scheme.mesh_grids() fig= pylab.figure(figsize = (16,10)) ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = '3d') cutoff = int(0.2 / scheme.dt) + 1 surface = ax.plot_surface(xGrids[:,:cutoff], tGrids[:,:cutoff], scheme.U[:,:cutoff], cmap=cm.coolwarm) ax.set_xlabel("$x$", fontdict={"size":18}) ax.set_ylabel(r"$\tau$", fontdict={"size":18}) ax.set_zlabel(r"$U$", fontdict={"size":18}) ax.set_title(u"热传导方程 $u_\\tau = u_{xx}$, $\\rho = 0.521$" , fontproperties = font) fig.colorbar(surface,shrink=0.75) <matplotlib.colorbar.Colorbar instance at 0x10f51b48> ```  今天的日记到此为止，这个问题我们会在下一篇中进行讨论，引出无条件稳定格式：隐式差分格式（Implicit）。