# AVL 树
> 原文： [https://www.programiz.com/dsa/avl-tree](https://www.programiz.com/dsa/avl-tree)
#### 在本教程中，您将学习什么是 avl 树。 此外，您还将找到在 C，C++ ，Java 和 Python 的 avl 树上执行的各种操作的工作示例。
AVL 树是一种自平衡二叉搜索树，其中每个节点都维护额外的信息，称为平衡因子，其值为 -1、0 或 +1。
AVL 树以其发明者 Georgy Adelson-Velsky 和 Landis 得名。
* * *
## 平衡系数
AVL 树中节点的平衡因子是该节点的左子树的高度和右子树的高度之间的差。
平衡因子=（左子树的高度-右子树的高度）或（右子树的高度-左子树的高度）
Avl 树的自平衡属性由平衡因子保持。 平衡因子的值应始终为 -1、0 或 +1。
平衡 avl 树的示例是：
Avl tree
* * *
## AVL 树上的操作
可以在 AVL 树上执行的各种操作是：
## 旋转 AVL 树中的子树
在旋转操作中，子树的节点位置互换。
轮播有两种类型：
* * *
### 向左旋转
在向左旋转时，右侧节点的排列将转换为左侧节点的排列。
算法
1. 令初始树为：
左旋转
2. 如果`y`具有左子树，则将`x`分配为`y`的左子树的父树。
将`x`分配为`y`的左子树的父级
3. 如果`x`的父级是`NULL`，则将`y`作为树的根。
4. 否则，如果`x`是`p`的左子代，则将`y`设为`p`的左子代。
5. 否则，将`y`分配为`p`的右子元素。
将`x`的父级更改为`y`的父级
6. 将`y`设为`x`的父代。
将`y`指定为`x`的父代。
* * *
### 向右旋转
在向左旋转时，左侧节点的排列将转换为右侧节点的排列。
1. 令初始树为：
初始树
2. 如果`x`具有右子树，则将`y`分配为`x`的右子树的父树。
将`y`分配为`x`
的右子树的父级
3. 如果`y`的父级为`NULL`，则将`x`作为树的根。
4. 否则，如果`y`是其父级`p`的右子，则将`x`作为`p`的右子。
5. 否则，将`x`分配为`p`的左子元素。
将`y`的父级指定为`x`的父级。
6. 使`x`为`y`的父代。
将`x`分配为`y`的父项
* * *
### 左右旋转
在左右旋转时，首先将布置向左移动，然后向右移动。
1. 在`x-y`上向左旋转。
向左旋转`x-y`
2. 在`y-z`上向右旋转。
向右旋转`z-y`
在左右旋转时，这些布置首先向右移动，然后向左移动。
1. 在`x-y`上向右旋转。
右旋转`x-y`
2. 在`z-y`上向左旋转。
向左旋转`z-y`
* * *
## 插入新节点的算法
`newNode`始终作为平衡因子等于 0 的叶节点插入。
1. 令初始树为：
插入的初始树
令要插入的节点为：
新节点
2. 使用以下递归步骤转到相应的叶节点以插入`newNode`。 比较`newKey`与当前树的`rootKey`。
1. 如果`newKey < rootKey`，则在当前节点的左子树上调用插入算法，直到到达叶节点为止。
2. 否则，如果`newKey > rootKey`，则在当前节点的右子树上调用插入算法，直到到达叶节点为止。
3. 否则，返回`leafNode`。
查找插入`newNode`的位置
3. 将通过上述步骤获得的`leafKey`与`newKey`进行比较：
1. 如果`newKey < leafKey`，则将`newNode`设为`leafNode`的`leftChild`。
2. 否则，将`newNode`设为`leafNode`的`rightChild`。
插入新节点
4. 更新节点的`balanceFactor`。
插入后更新平衡因子
5. 如果节点不平衡，请重新平衡该节点。
1. 如果`balanceFactor > 1`，则表示左侧子树的高度大于右侧子树的高度。 因此，请向右旋转或向左旋转
1. 如果`newNodeKey < leftChildKey`进行右旋转。
2. 否则，请左右旋转。
旋转平衡树
旋转平衡树
2. 如果`balanceFactor < -1`，则意味着右子树的高度大于左子树的高度。 因此，请向右旋转或向左旋转
1. 如果`newNodeKey > rightChildKey`进行左旋转。
2. 否则，请左右旋转
6. 最终的树是：
最终的平衡树
* * *
## 删除节点的算法
节点始终被删除为叶节点。 删除节点后，节点的平衡因子将更改。 为了重新平衡平衡系数，执行适当的旋转。
1. 找到`nodeToBeDeleted`（递归用于在下面使用的代码中找到`nodeToBeDeleted`）。
定位要删除的节点
2. 删除节点有以下三种情况：
1. 如果`nodeToBeDeleted`是叶节点（即没有任何子节点），则删除`nodeToBeDeleted`。
2. 如果`nodeToBeDeleted`有一个子级，则用该子级的内容替换`nodeToBeDeleted`的内容。 移走子级。
3. 如果`nodeToBeDeleted`有两个子级，则找到`nodeToBeDeleted`的有序继承人`w`（即，在右子树中具有键的最小值的节点）。
寻找继任者
1. 将`nodeToBeDeleted`的内容替换为`w`的内容。
替换要删除的节点
2. 删除叶节点`w`。
移除
3. 更新节点的`balanceFactor`。
更新`bf`
4. 如果任何节点的平衡因子不等于 -1、0 或 1，则重新平衡树。
1. 如果`currentNode > balanceFactor`，
1. 如果`leftChild`的`balanceFactor >= 0`，请向右旋转。
向右旋转以平衡树
2. 否则做左右旋转。
2. 如果`currentNode`的`balanceFactor < -1`，
1. 如果`rightChild`的`balanceFactor = 0`，请向左旋转。
2. 否则做左右旋转。
5. 最终的树是：
Avl 最终树
* * *
## Python，Java 和 C/C++ 示例
```py
# AVL tree implementation in Python
import sys
# Create a tree node
class TreeNode(object):
def __init__(self, key):
self.key = key
self.left = None
self.right = None
self.height = 1
class AVLTree(object):
# Function to insert a node
def insert_node(self, root, key):
# Find the correct location and insert the node
if not root:
return TreeNode(key)
elif key < root.key:
root.left = self.insert_node(root.left, key)
else:
root.right = self.insert_node(root.right, key)
root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left),
self.getHeight(root.right))
# Update the balance factor and balance the tree
balanceFactor = self.getBalance(root)
if balanceFactor > 1:
if key < root.left.key:
return self.rightRotate(root)
else:
root.left = self.leftRotate(root.left)
return self.rightRotate(root)
if balanceFactor < -1:
if key > root.right.key:
return self.leftRotate(root)
else:
root.right = self.rightRotate(root.right)
return self.leftRotate(root)
return root
# Function to delete a node
def delete_node(self, root, key):
# Find the node to be deleted and remove it
if not root:
return root
elif key < root.key:
root.left = self.delete_node(root.left, key)
elif key > root.key:
root.right = self.delete_node(root.right, key)
else:
if root.left is None:
temp = root.right
root = None
return temp
elif root.right is None:
temp = root.left
root = None
return temp
temp = self.getMinValueNode(root.right)
root.key = temp.key
root.right = self.delete_node(root.right,
temp.key)
if root is None:
return root
# Update the balance factor of nodes
root.height = 1 + max(self.getHeight(root.left),
self.getHeight(root.right))
balanceFactor = self.getBalance(root)
# Balance the tree
if balanceFactor > 1:
if self.getBalance(root.left) >= 0:
return self.rightRotate(root)
else:
root.left = self.leftRotate(root.left)
return self.rightRotate(root)
if balanceFactor < -1:
if self.getBalance(root.right) <= 0:
return self.leftRotate(root)
else:
root.right = self.rightRotate(root.right)
return self.leftRotate(root)
return root
# Function to perform left rotation
def leftRotate(self, z):
y = z.right
T2 = y.left
y.left = z
z.right = T2
z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left),
self.getHeight(z.right))
y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left),
self.getHeight(y.right))
return y
# Function to perform right rotation
def rightRotate(self, z):
y = z.left
T3 = y.right
y.right = z
z.left = T3
z.height = 1 + max(self.getHeight(z.left),
self.getHeight(z.right))
y.height = 1 + max(self.getHeight(y.left),
self.getHeight(y.right))
return y
# Get the height of the node
def getHeight(self, root):
if not root:
return 0
return root.height
# Get balance factore of the node
def getBalance(self, root):
if not root:
return 0
return self.getHeight(root.left) - self.getHeight(root.right)
def getMinValueNode(self, root):
if root is None or root.left is None:
return root
return self.getMinValueNode(root.left)
def preOrder(self, root):
if not root:
return
print("{0} ".format(root.key), end="")
self.preOrder(root.left)
self.preOrder(root.right)
# Print the tree
def printHelper(self, currPtr, indent, last):
if currPtr != None:
sys.stdout.write(indent)
if last:
sys.stdout.write("R----")
indent += " "
else:
sys.stdout.write("L----")
indent += "| "
print(currPtr.key)
self.printHelper(currPtr.left, indent, False)
self.printHelper(currPtr.right, indent, True)
myTree = AVLTree()
root = None
nums = [33, 13, 52, 9, 21, 61, 8, 11]
for num in nums:
root = myTree.insert_node(root, num)
myTree.printHelper(root, "", True)
key = 13
root = myTree.delete_node(root, key)
print("After Deletion: ")
myTree.printHelper(root, "", True)
```
```java
// AVL tree implementation in Java
// Create node
class Node {
int item, height;
Node left, right;
Node(int d) {
item = d;
height = 1;
}
}
// Tree class
class AVLTree {
Node root;
int height(Node N) {
if (N == null)
return 0;
return N.height;
}
int max(int a, int b) {
return (a > b) ? a : b;
}
Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T2 = x.right;
x.right = y;
y.left = T2;
y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
return x;
}
Node leftRotate(Node x) {
Node y = x.right;
Node T2 = y.left;
y.left = x;
x.right = T2;
x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
return y;
}
// Get balance factor of a node
int getBalanceFactor(Node N) {
if (N == null)
return 0;
return height(N.left) - height(N.right);
}
// Insert a node
Node insertNode(Node node, int item) {
// Find the position and insert the node
if (node == null)
return (new Node(item));
if (item < node.item)
node.left = insertNode(node.left, item);
else if (item > node.item)
node.right = insertNode(node.right, item);
else
return node;
// Update the balance factor of each node
// And, balance the tree
node.height = 1 + max(height(node.left), height(node.right));
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (balanceFactor > 1) {
if (item < node.left.item) {
return rightRotate(node);
} else if (item > node.left.item) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
}
if (balanceFactor < -1) {
if (item > node.right.item) {
return leftRotate(node);
} else if (item < node.right.item) {
node.left = rightRotate(node.left);
return leftRotate(node);
}
}
return node;
}
Node nodeWithMimumValue(Node node) {
Node current = node;
while (current.left != null)
current = current.left;
return current;
}
// Delete a node
Node deleteNode(Node root, int item) {
// Find the node to be deleted and remove it
if (root == null)
return root;
if (item < root.item)
root.left = deleteNode(root.left, item);
else if (item > root.item)
root.right = deleteNode(root.right, item);
else {
if ((root.left == null) || (root.right == null)) {
Node temp = null;
if (temp == root.left)
temp = root.right;
else
temp = root.left;
if (temp == null) {
temp = root;
root = null;
} else
root = temp;
} else {
Node temp = nodeWithMimumValue(root.right);
root.item = temp.item;
root.right = deleteNode(root.right, temp.item);
}
}
if (root == null)
return root;
// Update the balance factor of each node and balance the tree
root.height = max(height(root.left), height(root.right)) + 1;
int balanceFactor = getBalanceFactor(root);
if (balanceFactor > 1) {
if (getBalanceFactor(root.left) >= 0) {
return rightRotate(root);
} else {
root.left = leftRotate(root.left);
return rightRotate(root);
}
}
if (balanceFactor < -1) {
if (getBalanceFactor(root.right) <= 0) {
return leftRotate(root);
} else {
root.right = rightRotate(root.right);
return leftRotate(root);
}
}
return root;
}
void preOrder(Node node) {
if (node != null) {
System.out.print(node.item + " ");
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
}
// Print the tree
private void printTree(Node currPtr, String indent, boolean last) {
if (currPtr != null) {
System.out.print(indent);
if (last) {
System.out.print("R----");
indent += " ";
} else {
System.out.print("L----");
indent += "| ";
}
System.out.println(currPtr.item);
printTree(currPtr.left, indent, false);
printTree(currPtr.right, indent, true);
}
}
// Driver code
public static void main(String[] args) {
AVLTree tree = new AVLTree();
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 33);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 13);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 53);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 9);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 21);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 61);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 8);
tree.root = tree.insertNode(tree.root, 11);
tree.printTree(tree.root, "", true);
tree.root = tree.deleteNode(tree.root, 13);
System.out.println("After Deletion: ");
tree.printTree(tree.root, "", true);
}
}
```
```c
// AVL tree implementation in C
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// Create Node
struct Node {
int key;
struct Node *left;
struct Node *right;
int height;
};
int max(int a, int b);
// Calculate height
int height(struct Node *N) {
if (N == NULL)
return 0;
return N->height;
}
int max(int a, int b) {
return (a > b) ? a : b;
}
// Create a node
struct Node *newNode(int key) {
struct Node *node = (struct Node *)
malloc(sizeof(struct Node));
node->key = key;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->height = 1;
return (node);
}
// Right rotate
struct Node *rightRotate(struct Node *y) {
struct Node *x = y->left;
struct Node *T2 = x->right;
x->right = y;
y->left = T2;
y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;
x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;
return x;
}
// Left Rotate
struct Node *leftRotate(struct Node *x) {
struct Node *y = x->right;
struct Node *T2 = y->left;
y->left = x;
x->right = T2;
x->height = max(height(x->left), height(x->right)) + 1;
y->height = max(height(y->left), height(y->right)) + 1;
return y;
}
// Get the balance factor
int getBalanceFactor(struct Node *N) {
if (N == NULL)
return 0;
return height(N->left) - height(N->right);
}
// Insert node
struct Node *insertNode(struct Node *node, int key) {
// Find the correct position to insert the node and insert it
if (node == NULL)
return (newNode(key));
if (key < node->key)
node->left = insertNode(node->left, key);
else if (key > node->key)
node->right = insertNode(node->right, key);
else
return node;
// Update the balance factor of each node and
// Balance the tree
node->height = 1 + max(height(node->left),
height(node->right));
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (balanceFactor > 1) {
if (key < node->left->key) {
return rightRotate(node);
} else if (key > node->left->key) {
node->left = leftRotate(node->left);
return rightRotate(node);
}
}
if (balanceFactor < -1) {
if (key > node->right->key) {
return leftRotate(node);
} else if (key < node->right->key) {
node->left = rightRotate(node->left);
return leftRotate(node);
}
}
return node;
}
struct Node *minValueNode(struct Node *node) {
struct Node *current = node;
while (current->left != NULL)
current = current->left;
return current;
}
// Delete a node
struct Node *deleteNode(struct Node *root, int key) {
// Find the node and delete it
if (root == NULL)
return root;
if (key < root->key)
root->left = deleteNode(root->left, key);
else if (key > root->key)
root->right = deleteNode(root->right, key);
else {
if ((root->left == NULL) || (root->right == NULL)) {
struct Node *temp = root->left ? root->left : root->right;
if (temp == NULL) {
temp = root;
root = NULL;
} else
*root = *temp;
free(temp);
} else {
struct Node *temp = minValueNode(root->right);
root->key = temp->key;
root->right = deleteNode(root->right, temp->key);
}
}
if (root == NULL)
return root;
// Update the balance factor of each node and
// balance the tree
root->height = 1 + max(height(root->left),
height(root->right));
int balanceFactor = getBalanceFactor(root);
if (balanceFactor > 1) {
if (getBalanceFactor(root->left) >= 0) {
return rightRotate(root);
} else {
root->left = leftRotate(root->left);
return rightRotate(root);
}
}
if (balanceFactor < -1) {
if (getBalanceFactor(root->right) <= 0) {
return leftRotate(root);
} else {
root->right = rightRotate(root->right);
return leftRotate(root);
}
}
return root;
}
// Print the tree
void printPreOrder(struct Node *root) {
if (root != NULL) {
printf("%d ", root->key);
printPreOrder(root->left);
printPreOrder(root->right);
}
}
int main() {
struct Node *root = NULL;
root = insertNode(root, 33);
root = insertNode(root, 13);
root = insertNode(root, 53);
root = insertNode(root, 9);
root = insertNode(root, 21);
root = insertNode(root, 61);
root = insertNode(root, 8);
root = insertNode(root, 11);
printPreOrder(root);
root = deleteNode(root, 13);
printf("\nAfter deletion: ");
printPreOrder(root);
}
```
```cpp
// AVL tree implementation in C++
#include <iostream>
using namespace std;
class Node {
public:
int key;
Node *left;
Node *right;
int height;
};
int max(int a, int b);
// Calculate height
int height(Node *N) {
if (N == NULL)
return 0;
return N->height;
}
int max(int a, int b) {
return (a > b) ? a : b;
}
// New node creation
Node *newNode(int key) {
Node *node = new Node();
node->key = key;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
node->height = 1;
return (node);
}
// Rotate right
Node *rightRotate(Node *y) {
Node *x = y->left;
Node *T2 = x->right;
x->right = y;
y->left = T2;
y->height = max(height(y->left),
height(y->right)) +
1;
x->height = max(height(x->left),
height(x->right)) +
1;
return x;
}
// Rotate left
Node *leftRotate(Node *x) {
Node *y = x->right;
Node *T2 = y->left;
y->left = x;
x->right = T2;
x->height = max(height(x->left),
height(x->right)) +
1;
y->height = max(height(y->left),
height(y->right)) +
1;
return y;
}
// Get the balance factor of each node
int getBalanceFactor(Node *N) {
if (N == NULL)
return 0;
return height(N->left) -
height(N->right);
}
// Insert a node
Node *insertNode(Node *node, int key) {
// Find the correct postion and insert the node
if (node == NULL)
return (newNode(key));
if (key < node->key)
node->left = insertNode(node->left, key);
else if (key > node->key)
node->right = insertNode(node->right, key);
else
return node;
// Update the balance factor of each node and
// balance the tree
node->height = 1 + max(height(node->left),
height(node->right));
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (balanceFactor > 1) {
if (key < node->left->key) {
return rightRotate(node);
} else if (key > node->left->key) {
node->left = leftRotate(node->left);
return rightRotate(node);
}
}
if (balanceFactor < -1) {
if (key > node->right->key) {
return leftRotate(node);
} else if (key < node->right->key) {
node->left = rightRotate(node->left);
return leftRotate(node);
}
}
return node;
}
// Node with minimum value
Node *nodeWithMimumValue(Node *node) {
Node *current = node;
while (current->left != NULL)
current = current->left;
return current;
}
// Delete a node
Node *deleteNode(Node *root, int key) {
// Find the node and delete it
if (root == NULL)
return root;
if (key < root->key)
root->left = deleteNode(root->left, key);
else if (key > root->key)
root->right = deleteNode(root->right, key);
else {
if ((root->left == NULL) ||
(root->right == NULL)) {
Node *temp = root->left ? root->left : root->right;
if (temp == NULL) {
temp = root;
root = NULL;
} else
*root = *temp;
free(temp);
} else {
Node *temp = nodeWithMimumValue(root->right);
root->key = temp->key;
root->right = deleteNode(root->right,
temp->key);
}
}
if (root == NULL)
return root;
// Update the balance factor of each node and
// balance the tree
root->height = 1 + max(height(root->left),
height(root->right));
int balanceFactor = getBalanceFactor(root);
if (balanceFactor > 1) {
if (getBalanceFactor(root->left) >= 0) {
return rightRotate(root);
} else {
root->left = leftRotate(root->left);
return rightRotate(root);
}
}
if (balanceFactor < -1) {
if (getBalanceFactor(root->right) <= 0) {
return leftRotate(root);
} else {
root->right = rightRotate(root->right);
return leftRotate(root);
}
}
return root;
}
// Print the tree
void printTree(Node *root, string indent, bool last) {
if (root != nullptr) {
cout << indent;
if (last) {
cout << "R----";
indent += " ";
} else {
cout << "L----";
indent += "| ";
}
cout << root->key << endl;
printTree(root->left, indent, false);
printTree(root->right, indent, true);
}
}
int main() {
Node *root = NULL;
root = insertNode(root, 33);
root = insertNode(root, 13);
root = insertNode(root, 53);
root = insertNode(root, 9);
root = insertNode(root, 21);
root = insertNode(root, 61);
root = insertNode(root, 8);
root = insertNode(root, 11);
printTree(root, "", true);
root = deleteNode(root, 13);
cout << "After deleting " << endl;
printTree(root, "", true);
}
```
* * *
## AVL 树上的不同操作的复杂度
| **插入** | **删除** | **搜索** |
| --- | --- | --- |
| `O(log n)` | `O(log n)` | `O(log n)` |
* * *
## AVL 树应用
* 用于索引数据库中的大记录
* 用于在大型数据库中搜索
- Programiz C 语言教程
- C 简介
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- C 变量，常量和字面值
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- C while和do...while循环
- C break和continue
- C switch语句
- C goto声明
- C 控制流程示例
- C 函数
- C 函数
- C 用户定义的函数
- C 编程中用户定义函数的类型
- C 递归
- C 存储类
- C 函数示例
- C 数组
- C 数组
- C 多维数组
- 将数组传递给 C 中的函数
- C 编程指针
- C 指针
- 数组和指针之间的关系
- C 按引用调用：使用指针
- C 动态内存分配
- C 数组和指针示例
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- 使用库函数进行 C 编程中的字符串操作
- C 编程中的字符串示例
- 结构与联合
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- C 结构与函数
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- C 程序：检查数字是否为质数
- C 程序：检查数字是否为回文
- C 程序：HelloWorld
- C 程序：打印整数（由用户输入）
- C 程序：相加两个整数
- C 程序：将两个浮点数相乘
- C 程序：查找字符的 ASCII 值
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- C 程序：查找int，float，double和char的大小
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- C 程序：交换两个数字
- C 程序：检查数字是偶数还是奇数
- C 程序：检查字符是元音还是辅音
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- C 程序：检查数字是正数还是负数
- C 程序：检查字符是否为字母
- C 程序：计算自然数之和
- C 程序：查找数字阶乘
- C 程序：生成乘法表
- C 程序：显示斐波那契数列
- C 程序：查找两个数字的 GCD
- C 程序：查找两个数字的 LCM
- C 程序：使用循环从 A 到 Z 显示字符
- C 程序：计算整数中的位数
- C 程序：反转数字
- C 程序：计算数字的幂
- C 程序：显示两个间隔之间的质数
- C 程序：检查阿姆斯特朗数
- C 程序：在两个间隔之间显示阿姆斯特朗数
- C 程序：显示数字因数
- C 程序：使用switch...case制作一个简单的计算器
- C 程序：使用函数显示区间内的质数
- C 程序：使用用户定义的函数检查质数或阿姆斯特朗数
- C 程序：检查一个数字是否可以表示为两个质数之和
- C 程序：使用递归查找自然数之和
- C 程序：使用递归查找数字的阶乘
- C 程序：使用递归查找 GCD
- C 程序：将二进制数转换为十进制，反之亦然
- C 程序：将八进制数转换为十进制，反之亦然
- C 程序：将二进制数转换为八进制，反之亦然
- C 程序：使用递归来反转句子
- C 程序：使用递归计算幂
- C 程序：使用数组计算平均值
- C 程序：查找数组中的最大元素
- C 程序：计算标准差
- C 程序：使用多维数组相加两个矩阵
- C 程序：使用多维数组将两个矩阵相乘
- C 程序：查找矩阵的转置
- C 程序：通过将矩阵传递给函数来将两个矩阵相乘
- C 程序：使用指针访问数组元素
- C 程序：使用按引用调用以循环顺序交换数字
- C 程序：使用动态内存分配查找最大数字
- C 程序：查找字符串中字符的频率
- C 程序：计算元音，辅音等的数量
- C 程序：删除字符串中除字母之外的所有字符
- C 程序：查找字符串的长度
- C 程序：连接两个字符串
- C 程序：不使用strcpy()复制字符串
- C 程序：按字典顺序（字典顺序）对元素进行排序
- C 程序：使用程序存储学生信息
- C 程序：使用结构相加两个距离（以英寸-英尺系统为单位）
- C 程序：通过将结构传递给函数来相加两个复数
- C 程序：计算两个时间段之间的差异
- C 程序：使用结构存储学生信息
- C 程序：在结构中动态存储数据
- C 程序：将句子写入文件
- C 程序：从文件中读取一行并显示它
- C 程序：显示自己的源代码作为输出
- Programiz C++ 教程
- C++ 简介
- C++ 变量，文字和常量
- C++ 数据类型
- C++ 基本输入/输出
- C++ 类型转换
- C++ 运算符
- C++ 注释
- C++ 流控制
- C++ if，if...else和嵌套if...else
- C++ for循环
- C++ while和do...while循环
- C++ break语句
- C++ switch..case语句
- C++ goto语句
- C++ 函数
- C++ 函数
- C++ 中用户定义函数的类型
- C++ 函数重载
- C++ 编程默认参数（参数）
- C++ 存储类
- C++ 递归
- C++ 通过引用返回
- C++ 数组和字符串
- C++ 数组
- C++ 多维数组
- 在 C++ 编程中将数组传递给函数
- C++ 字符串
- C++ 结构
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- C++ 结构指针
- C++ 枚举
- C++ 对象和类
- C++ 类和对象
- C++ 构造器
- 如何通过 C++ 中的函数传递和返回对象？
- C++ 运算符重载
- C++ 指针
- C++ 指针
- C++ 指针和数组
- 通过引用进行 C++ 调用：使用指针[包含示例]
- C++ 内存管理：new和delete
- C++ 继承
- C++ 继承
- C++ 编程中的公共，受保护和私有继承
- C++ 函数覆盖
- C++ 多重，多层和层次继承
- C++ 友元函数和友元类
- C++ 虚函数
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- C++ 示例
- C++ 程序：HelloWorld
- C++ 程序：检查数字是否为质数
- C++ 程序：创建金字塔和图案
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- C++ 程序：查找商数和余数
- C++ 程序：在系统中查找int，float，double和char的大小
- C++ 程序：交换两个数字
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- C++ 程序：使用运算符重载减去复数
- C++ 程序：查找字符的 ASCII 值
- C++ 程序：将两个数相乘
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- C++ 程序：使用函数显示两个时间间隔之间的质数
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- Programiz C# 教程
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- C# 注释
- 流程控制
- C# if，if...else，if...else if和嵌套if语句
- C# for循环
- C# while和do...while循环
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- C# 预处理程序指令
- C# 编程中的命名空间
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- 为什么要学习数据结构和算法？
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