# B 树 > 原文： [https://www.programiz.com/dsa/b-tree](https://www.programiz.com/dsa/b-tree) #### 在本教程中，您将学习什么是 B 树。 此外，您还将在 C，C++ ，Java 和 Python 的 B 树上找到搜索操作的工作示例。 B 树是一种特殊类型的自平衡搜索树，其中每个节点可以包含多个关键字，并且可以具有两个以上子节点。 它是[二叉搜索树](https://www.programiz.com/dsa/binary-search-tree)的广义形式。 它也被称为高度平衡的 m-way 树。  B-tree * * * ## 为什么选择 B 树？ 随着访问硬盘等物理存储介质所需的时间越来越少，对 B 树的需求也随之增加。 辅助存储设备速度较慢，容量较大。 需要这种类型的数据结构以最小化磁盘访问。 其他数据结构（例如二叉搜索树，avl 树，红黑树等）只能在一个节点中存储一个键。 如果必须存储大量键，则此类树的高度将变得非常大，并且访问时间会增加。 但是，B 树可以在一个节点中存储许多键，并且可以具有多个子节点。 这样可以大大降低高度，从而可以更快地访问磁盘。 * * * ## B 树属性 1. 对于每个节点`x`，键以升序存储。 2. 在每个节点中，都有一个布尔值`x.leaf`，如果`x`是叶，则为`true`。 3. 如果`n`是树的顺序，则每个内部节点最多可以包含`n-1`键以及指向每个子节点的指针。 4. 除根节点外，每个节点最多可以有`n`个子节点，并且至少`n / 2`个子节点。 5. 所有叶子具有相同的深度（即树的高度`h`）。 6. 根至少有 2 个子节点，并且至少包含 1 个键。 7. 如果`n≥1`，则对于任何高度为`h`且最小度为`t ≥ 2`的`n`键 B 树，`h ≥ log_t(n+1)/2`。 * * * ## 工作原理 ### 搜索 在 B 树中搜索元素是在二叉搜索树中搜索元素的一般形式。 遵循以下步骤。 1. 从根节点开始，将`k`与节点的第一个键进行比较。 如果为`k = the first key of the node`，则返回节点和索引。 2. 如果为`k.leaf = true`，则返回`NULL`（即未找到）。 3. 如果`k < the first key of the root node`，则递归搜索此键的左子级。 4. 如果当前节点和`k > the first key`中有多个键，请将`k`与该节点中的下一个键进行比较。 如果为`k < next key`，则搜索该键的左子键（即`k`位于第一键和第二键之间）。 否则，搜索键的右子级。 5. 重复步骤 1 到 4，直到到达叶子。 ### 搜索示例 1. 让我们在等级 3 下面的树中搜索关键字`k = 17`。  B 树 2. 在根目录中找不到`k`，因此，请将其与根键进行比较。  在根节点上找不到`k` 3. 从`k > 11`开始，转到根节点的右子节点。  转到右侧的子树 4. 比较`k`与 16。由于`k > 16`，将 k 与下一个键 18 比较。  与从左到右的键比较 5. 由于`k < 18`，k 在 16 到 18 之间。在右子级 16 或左子级 18 中搜索。  `k`在 16 到 18 之间 6. 找到了`k`。  找到了`k` * * * ## 搜索元素的算法 ``` BtreeSearch(x, k) i = 1 while i ≤ n[x] and k ≥ keyi[x] // n[x] means number of keys in x node do i = i + 1 if i n[x] and k = keyi[x] then return (x, i) if leaf [x] then return NIL else return BtreeSearch(ci[x], k) ``` 要了解有关不同 B 树操作的更多信息，请访问 * [插入 B 树](https://www.programiz.com/dsa/insertion-into-a-b-tree) * [B 树](https://www.programiz.com/dsa/deletion-from-a-b-tree)上的删除 * * * ## Python，Java 和 C/C++ 示例 ```py # Searching a key on a B-tree in Python # Create node class BTreeNode: def __init__(self, leaf=False): self.leaf = leaf self.keys = [] self.child = [] class BTree: def __init__(self, t): self.root = BTreeNode(True) self.t = t # Print the tree def print_tree(self, x, l=0): print("Level ", l, " ", len(x.keys), end=":") for i in x.keys: print(i, end=" ") print() l += 1 if len(x.child) > 0: for i in x.child: self.print_tree(i, l) # Search key def search_key(self, k, x=None): if x is not None: i = 0 while i < len(x.keys) and k > x.keys[i][0]: i += 1 if i < len(x.keys) and k == x.keys[i][0]: return (x, i) elif x.leaf: return None else: return self.search_key(k, x.child[i]) else: return self.search_key(k, self.root) # Insert the key def insert_key(self, k): root = self.root if len(root.keys) == (2 * self.t) - 1: temp = BTreeNode() self.root = temp temp.child.insert_key(0, root) self.split(temp, 0) self.insert_non_full(temp, k) else: self.insert_non_full(root, k) # Insert non full condition def insert_non_full(self, x, k): i = len(x.keys) - 1 if x.leaf: x.keys.append((None, None)) while i >= 0 and k[0] < x.keys[i][0]: x.keys[i + 1] = x.keys[i] i -= 1 x.keys[i + 1] = k else: while i >= 0 and k[0] < x.keys[i][0]: i -= 1 i += 1 if len(x.child[i].keys) == (2 * self.t) - 1: self.split(x, i) if k[0] > x.keys[i][0]: i += 1 self.insert_non_full(x.child[i], k) # Split def split(self, x, i): t = self.t y = x.child[i] z = BTreeNode(y.leaf) x.child.insert_key(i + 1, z) x.keys.insert_key(i, y.keys[t - 1]) z.keys = y.keys[t: (2 * t) - 1] y.keys = y.keys[0: t - 1] if not y.leaf: z.child = y.child[t: 2 * t] y.child = y.child[0: t - 1] def main(): B = BTree(3) for i in range(10): B.insert_key((i, 2 * i)) B.print_tree(B.root) if B.search_key(8) is not None: print("\nFound") else: print("\nNot found") if __name__ == '__main__': main() ``` ```java // Searching a key on a B-tree in Java public class BTree { private int T; // Node creation public class Node { int n; int key[] = new int[2 * T - 1]; Node child[] = new Node[2 * T]; boolean leaf = true; public int Find(int k) { for (int i = 0; i < this.n; i++) { if (this.key[i] == k) { return i; } } return -1; }; } public BTree(int t) { T = t; root = new Node(); root.n = 0; root.leaf = true; } private Node root; // Search key private Node Search(Node x, int key) { int i = 0; if (x == null) return x; for (i = 0; i < x.n; i++) { if (key < x.key[i]) { break; } if (key == x.key[i]) { return x; } } if (x.leaf) { return null; } else { return Search(x.child[i], key); } } // Splitting the node private void Split(Node x, int pos, Node y) { Node z = new Node(); z.leaf = y.leaf; z.n = T - 1; for (int j = 0; j < T - 1; j++) { z.key[j] = y.key[j + T]; } if (!y.leaf) { for (int j = 0; j < T; j++) { z.child[j] = y.child[j + T]; } } y.n = T - 1; for (int j = x.n; j >= pos + 1; j--) { x.child[j + 1] = x.child[j]; } x.child[pos + 1] = z; for (int j = x.n - 1; j >= pos; j--) { x.key[j + 1] = x.key[j]; } x.key[pos] = y.key[T - 1]; x.n = x.n + 1; } // Inserting a value public void Insert(final int key) { Node r = root; if (r.n == 2 * T - 1) { Node s = new Node(); root = s; s.leaf = false; s.n = 0; s.child[0] = r; Split(s, 0, r); insertValue(s, key); } else { insertValue(r, key); } } // Insert the node final private void insertValue(Node x, int k) { if (x.leaf) { int i = 0; for (i = x.n - 1; i >= 0 && k < x.key[i]; i--) { x.key[i + 1] = x.key[i]; } x.key[i + 1] = k; x.n = x.n + 1; } else { int i = 0; for (i = x.n - 1; i >= 0 && k < x.key[i]; i--) { } ; i++; Node tmp = x.child[i]; if (tmp.n == 2 * T - 1) { Split(x, i, tmp); if (k > x.key[i]) { i++; } } insertValue(x.child[i], k); } } public void Show() { Show(root); } // Display private void Show(Node x) { assert (x == null); for (int i = 0; i < x.n; i++) { System.out.print(x.key[i] + " "); } if (!x.leaf) { for (int i = 0; i < x.n + 1; i++) { Show(x.child[i]); } } } // Check if present public boolean Contain(int k) { if (this.Search(root, k) != null) { return true; } else { return false; } } public static void main(String[] args) { BTree b = new BTree(3); b.Insert(8); b.Insert(9); b.Insert(10); b.Insert(11); b.Insert(15); b.Insert(20); b.Insert(17); b.Show(); if (b.Contain(12)) { System.out.println("\nfound"); } else { System.out.println("\nnot found"); } ; } } ``` ```c // Searching a key on a B-tree in C #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAX 3 #define MIN 2 struct BTreeNode { int val[MAX + 1], count; struct BTreeNode *link[MAX + 1]; }; struct BTreeNode *root; // Create a node struct BTreeNode *createNode(int val, struct BTreeNode *child) { struct BTreeNode *newNode; newNode = (struct BTreeNode *)malloc(sizeof(struct BTreeNode)); newNode->val[1] = val; newNode->count = 1; newNode->link[0] = root; newNode->link[1] = child; return newNode; } // Insert node void insertNode(int val, int pos, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode *child) { int j = node->count; while (j > pos) { node->val[j + 1] = node->val[j]; node->link[j + 1] = node->link[j]; j--; } node->val[j + 1] = val; node->link[j + 1] = child; node->count++; } // Split node void splitNode(int val, int *pval, int pos, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode *child, struct BTreeNode **newNode) { int median, j; if (pos > MIN) median = MIN + 1; else median = MIN; *newNode = (struct BTreeNode *)malloc(sizeof(struct BTreeNode)); j = median + 1; while (j <= MAX) { (*newNode)->val[j - median] = node->val[j]; (*newNode)->link[j - median] = node->link[j]; j++; } node->count = median; (*newNode)->count = MAX - median; if (pos <= MIN) { insertNode(val, pos, node, child); } else { insertNode(val, pos - median, *newNode, child); } *pval = node->val[node->count]; (*newNode)->link[0] = node->link[node->count]; node->count--; } // Set the value int setValue(int val, int *pval, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode **child) { int pos; if (!node) { *pval = val; *child = NULL; return 1; } if (val < node->val[1]) { pos = 0; } else { for (pos = node->count; (val < node->val[pos] && pos > 1); pos--) ; if (val == node->val[pos]) { printf("Duplicates are not permitted\n"); return 0; } } if (setValue(val, pval, node->link[pos], child)) { if (node->count < MAX) { insertNode(*pval, pos, node, *child); } else { splitNode(*pval, pval, pos, node, *child, child); return 1; } } return 0; } // Insert the value void insert(int val) { int flag, i; struct BTreeNode *child; flag = setValue(val, &i, root, &child); if (flag) root = createNode(i, child); } // Search node void search(int val, int *pos, struct BTreeNode *myNode) { if (!myNode) { return; } if (val < myNode->val[1]) { *pos = 0; } else { for (*pos = myNode->count; (val < myNode->val[*pos] && *pos > 1); (*pos)--) ; if (val == myNode->val[*pos]) { printf("%d is found", val); return; } } search(val, pos, myNode->link[*pos]); return; } // Traverse then nodes void traversal(struct BTreeNode *myNode) { int i; if (myNode) { for (i = 0; i < myNode->count; i++) { traversal(myNode->link[i]); printf("%d ", myNode->val[i + 1]); } traversal(myNode->link[i]); } } int main() { int val, ch; insert(8); insert(9); insert(10); insert(11); insert(15); insert(16); insert(17); insert(18); insert(20); insert(23); traversal(root); printf("\n"); search(11, &ch, root); } ``` ```cpp // Searching a key on a B-tree in C++ #include <iostream> using namespace std; class TreeNode { int *keys; int t; TreeNode **C; int n; bool leaf; public: TreeNode(int temp, bool bool_leaf); void insertNonFull(int k); void splitChild(int i, TreeNode *y); void traverse(); TreeNode *search(int k); friend class BTree; }; class BTree { TreeNode *root; int t; public: BTree(int temp) { root = NULL; t = temp; } void traverse() { if (root != NULL) root->traverse(); } TreeNode *search(int k) { return (root == NULL) ? NULL : root->search(k); } void insert(int k); }; TreeNode::TreeNode(int t1, bool leaf1) { t = t1; leaf = leaf1; keys = new int[2 * t - 1]; C = new TreeNode *[2 * t]; n = 0; } void TreeNode::traverse() { int i; for (i = 0; i < n; i++) { if (leaf == false) C[i]->traverse(); cout << " " << keys[i]; } if (leaf == false) C[i]->traverse(); } TreeNode *TreeNode::search(int k) { int i = 0; while (i < n && k > keys[i]) i++; if (keys[i] == k) return this; if (leaf == true) return NULL; return C[i]->search(k); } void BTree::insert(int k) { if (root == NULL) { root = new TreeNode(t, true); root->keys[0] = k; root->n = 1; } else { if (root->n == 2 * t - 1) { TreeNode *s = new TreeNode(t, false); s->C[0] = root; s->splitChild(0, root); int i = 0; if (s->keys[0] < k) i++; s->C[i]->insertNonFull(k); root = s; } else root->insertNonFull(k); } } void TreeNode::insertNonFull(int k) { int i = n - 1; if (leaf == true) { while (i >= 0 && keys[i] > k) { keys[i + 1] = keys[i]; i--; } keys[i + 1] = k; n = n + 1; } else { while (i >= 0 && keys[i] > k) i--; if (C[i + 1]->n == 2 * t - 1) { splitChild(i + 1, C[i + 1]); if (keys[i + 1] < k) i++; } C[i + 1]->insertNonFull(k); } } void TreeNode::splitChild(int i, TreeNode *y) { TreeNode *z = new TreeNode(y->t, y->leaf); z->n = t - 1; for (int j = 0; j < t - 1; j++) z->keys[j] = y->keys[j + t]; if (y->leaf == false) { for (int j = 0; j < t; j++) z->C[j] = y->C[j + t]; } y->n = t - 1; for (int j = n; j >= i + 1; j--) C[j + 1] = C[j]; C[i + 1] = z; for (int j = n - 1; j >= i; j--) keys[j + 1] = keys[j]; keys[i] = y->keys[t - 1]; n = n + 1; } int main() { BTree t(3); t.insert(8); t.insert(9); t.insert(10); t.insert(11); t.insert(15); t.insert(16); t.insert(17); t.insert(18); t.insert(20); t.insert(23); cout << "The B-tree is: "; t.traverse(); int k = 10; (t.search(k) != NULL) ? cout << endl << k << " is found" : cout << endl << k << " is not Found"; k = 2; (t.search(k) != NULL) ? cout << endl << k << " is found" : cout << endl << k << " is not Found\n"; } ``` * * * ## B 树上的搜索的复杂度 最坏情况下的时间复杂度：`Θ(log n)` 平均情况时间复杂度：`Θ(log n)` 最佳情况时间复杂度：`Θ(log n)` 平均情况空间复杂度：`Θ(n)` 最坏情况的空间复杂度：`Θ(n)` * * * ## B 树应用 * 数据库和文件系统 * 存储数据块（辅助存储介质） * 多级索引