# 合并 k 个排序的数组| 系列 1
> 原文： [https://www.geeksforgeeks.org/merge-k-sorted-arrays/](https://www.geeksforgeeks.org/merge-k-sorted-arrays/)
给定`k`个大小为`n`的排序数组，将它们合并并打印排序后的输出。
**示例**：
> **输入**：
> k = 3, n = 4
> arr [] [] = {{1, 3, 5, 7},
> {2, 4, 6, 8} ,
> {0, 9, 10, 11}};
>
> **输出**： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
> **说明**：输出数组是包含输入矩阵的所有元素的排序数组。
>
> **输入**：
> k = 3, n = 4
> arr [] [] = {{1, 5, 6, 8},
> {2, 4, 10, 12} ,
> {3, 7, 9, 11},
> {13, 14, 15, 16}}；
>
> **输出**： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
> **说明**：输出数组是包含输入矩阵的所有元素的排序数组。
**朴素的方法**：非常朴素的方法是创建大小为`n * k`的输出数组，然后将所有元素复制到输出数组中，然后进行排序。
* **算法**：
1. 创建大小为`n * k`的输出数组。
2. 从头到尾遍历矩阵并将所有元素插入输出数组。
3. 排序并打印输出数组。
* **实现**：
```
// C++ program to merge k sorted arrays of size n each.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define n 4
// A utility function to print array elements
void printArray(int arr[], int size)
{
for (int i=0; i < size; i++)
cout << arr[i] << " ";
}
// This function takes an array of arrays as an argument and
// All arrays are assumed to be sorted. It merges them together
// and prints the final sorted output.
void mergeKArrays(int arr[][n], int a, int output[])
{
int c=0;
//traverse the matrix
for(int i=0; i<a; i++)
{
for(int j=0; j<n ;j++)
output[c++]=arr[i][j];
}
//sort the array
sort(output,output + n*a);
}
// Driver program to test above functions
int main()
{
// Change n at the top to change number of elements
// in an array
int arr[][n] = {{2, 6, 12, 34},
{1, 9, 20, 1000},
{23, 34, 90, 2000}};
int k = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int output[n*k];
mergeKArrays(arr, 3, output);
cout << "Merged array is " << endl;
printArray(output, n*k);
return 0;
}
```
**输出**：
```
Merged array is
1 2 6 9 12 20 23 34 34 90 1000 2000
```
* **复杂度分析**：
* **时间复杂度**： `O(n * k * log(n * k))`。
，因为所得数组的大小为`N * k`。
* **空间复杂度**：` O(n * k)`，输出数组的大小为`n * k`。
**有效方法** 该过程可能始于将数组合并为两个组。 第一次合并后，我们有`k / 2`个数组。 再次合并成组的数组，现在我们有了`k / 4`个数组。 这类似于合并排序。 将`k`个数组分成两个相等的数组，直到数组中有两个数组为止。 随后以自底向上的方式合并数组。
* **算法**：
1. 创建一个递归函数，该函数接受`k`个数组并返回输出数组。
2. 在递归函数中，如果`k`的值为 1，则返回该数组；否则，如果`k`的值为 2，则在线性时间内合并两个数组并返回该数组。
3. 如果`k`的值大于 2，则将`k`个元素的组划分为两个相等的一半，然后递归调用该函数，即在一个递归函数中从 0 到`k / 2`数组，在另一个递归函数中从`k / 2`到`k`数组。
4. 打印输出数组。
* **实现**：
```
// C++ program to merge k sorted arrays of size n each.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define n 4
// Merge arr1[0..n1-1] and arr2[0..n2-1] into
// arr3[0..n1+n2-1]
void mergeArrays(int arr1[], int arr2[], int n1,
int n2, int arr3[])
{
int i = 0, j = 0, k = 0;
// Traverse both array
while (i<n1 && j <n2)
{
// Check if current element of first
// array is smaller than current element
// of second array. If yes, store first
// array element and increment first array
// index. Otherwise do same with second array
if (arr1[i] < arr2[j])
arr3[k++] = arr1[i++];
else
arr3[k++] = arr2[j++];
}
// Store remaining elements of first array
while (i < n1)
arr3[k++] = arr1[i++];
// Store remaining elements of second array
while (j < n2)
arr3[k++] = arr2[j++];
}
// A utility function to print array elements
void printArray(int arr[], int size)
{
for (int i=0; i < size; i++)
cout << arr[i] << " ";
}
// This function takes an array of arrays as an argument and
// All arrays are assumed to be sorted. It merges them together
// and prints the final sorted output.
void mergeKArrays(int arr[][n],int i,int j, int output[])
{
//if one array is in range
if(i==j)
{
for(int p=0; p < n; p++)
output[p]=arr[i][p];
return;
}
//if only two arrays are left them merge them
if(j-i==1)
{
mergeArrays(arr[i],arr[j],n,n,output);
return;
}
//output arrays
int out1[n*(((i+j)/2)-i+1)],out2[n*(j-((i+j)/2))];
//divide the array into halves
mergeKArrays(arr,i,(i+j)/2,out1);
mergeKArrays(arr,(i+j)/2+1,j,out2);
//merge the output array
mergeArrays(out1,out2,n*(((i+j)/2)-i+1),n*(j-((i+j)/2)),output);
}
// Driver program to test above functions
int main()
{
// Change n at the top to change number of elements
// in an array
int arr[][n] = {{2, 6, 12, 34},
{1, 9, 20, 1000},
{23, 34, 90, 2000}};
int k = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int output[n*k];
mergeKArrays(arr,0,2, output);
cout << "Merged array is " << endl;
printArray(output, n*k);
return 0;
}
```
**输出**：
```
Merged array is
1 2 6 9 12 20 23 34 34 90 1000 2000
```
* **复杂度分析**：
* **时间复杂度**： `O(n * k * log k)`。
存在`log k`个级别，因为在每个级别中，将`k`个数组分为两半，并且在每个级别上遍历 k 个数组。 因此，时间复杂度为`O(n * k)`。
* **空间复杂度**： `O(n * k * log k)`。
在每个级别中都需要`O(n * k)`空间，因此空间复杂度为`O(n * k * log k)`。
**替代有效方法：** 这个想法是使用[最小堆](https://www.geeksforgeeks.org/binary-heap/)。 这种基于最小堆的解决方案具有相同的时间复杂度，即`O(NK log K)`。 但是对于[不同大小的数组](https://www.geeksforgeeks.org/merge-k-sorted-arrays-set-2-different-sized-arrays/)，此解决方案效果更好。 该过程必须从创建最小堆并插入所有`k`个数组的第一个元素开始。 删除最小堆的根元素，并将其放在输出数组中，然后从已删除元素的数组中插入下一个元素。 为了获得结果，该步骤必须继续，直到最小堆中没有元素为止。
最小堆：最小堆是完整的二叉树，其中每个内部节点中的值小于或等于该节点的子级中的值。 将堆的元素映射到数组很简单：如果节点存储在索引`k`处，则其左子节点存储在索引`2k + 1`处，其右子节点存储在索引`2k + 2`处。
* **算法**：
1. 创建一个最小堆，并插入所有`k`个数组的第一个元素。
2. 运行循环，直到最小堆的大小大于零。
3. 删除最小堆的顶部元素并打印该元素。
4. 现在，从移除的元素所属的同一数组中插入下一个元素。
5. 如果数组中没有其他元素，则将`root`替换为`infinite`。替换完`root`后，堆放树。
* **实现**：
## C++
```
// C++ program to merge k sorted
// arrays of size n each.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define n 4
// A min-heap node
struct MinHeapNode
{
// The element to be stored
int element;
// index of the array from which the element is taken
int i;
// index of the next element to be picked from the array
int j;
};
// Prototype of a utility function to swap two min-heap nodes
void swap(MinHeapNode *x, MinHeapNode *y);
// A class for Min Heap
class MinHeap
{
// pointer to array of elements in heap
MinHeapNode *harr;
// size of min heap
int heap_size;
public:
// Constructor: creates a min heap of given size
MinHeap(MinHeapNode a[], int size);
// to heapify a subtree with root at given index
void MinHeapify(int );
// to get index of left child of node at index i
int left(int i) { return (2*i + 1); }
// to get index of right child of node at index i
int right(int i) { return (2*i + 2); }
// to get the root
MinHeapNode getMin() { return harr[0]; }
// to replace root with new node x and heapify() new root
void replaceMin(MinHeapNode x) { harr[0] = x; MinHeapify(0); }
};
// This function takes an array of arrays as an argument and
// All arrays are assumed to be sorted. It merges them together
// and prints the final sorted output.
int *mergeKArrays(int arr[][n], int k)
{
// To store output array
int *output = new int[n*k];
// Create a min heap with k heap nodes.
// Every heap node has first element of an array
MinHeapNode *harr = new MinHeapNode[k];
for (int i = 0; i < k; i++)
{
// Store the first element
harr[i].element = arr[i][0];
// index of array
harr[i].i = i;
// Index of next element to be stored from the array
harr[i].j = 1;
}
// Create the heap
MinHeap hp(harr, k);
// Now one by one get the minimum element from min
// heap and replace it with next element of its array
for (int count = 0; count < n*k; count++)
{
// Get the minimum element and store it in output
MinHeapNode root = hp.getMin();
output[count] = root.element;
// Find the next elelement that will replace current
// root of heap. The next element belongs to same
// array as the current root.
if (root.j < n)
{
root.element = arr[root.i][root.j];
root.j += 1;
}
// If root was the last element of its array
// INT_MAX is for infinite
else root.element = INT_MAX;
// Replace root with next element of array
hp.replaceMin(root);
}
return output;
}
// FOLLOWING ARE IMPLEMENTATIONS OF
// STANDARD MIN HEAP METHODS FROM CORMEN BOOK
// Constructor: Builds a heap from a given
// array a[] of given size
MinHeap::MinHeap(MinHeapNode a[], int size)
{
heap_size = size;
harr = a; // store address of array
int i = (heap_size - 1)/2;
while (i >= 0)
{
MinHeapify(i);
i--;
}
}
// A recursive method to heapify a
// subtree with root at given index.
// This method assumes that the subtrees
// are already heapified
void MinHeap::MinHeapify(int i)
{
int l = left(i);
int r = right(i);
int smallest = i;
if (l < heap_size && harr[l].element < harr[i].element)
smallest = l;
if (r < heap_size && harr[r].element < harr[smallest].element)
smallest = r;
if (smallest != i)
{
swap(&harr[i], &harr[smallest]);
MinHeapify(smallest);
}
}
// A utility function to swap two elements
void swap(MinHeapNode *x, MinHeapNode *y)
{
MinHeapNode temp = *x; *x = *y; *y = temp;
}
// A utility function to print array elements
void printArray(int arr[], int size)
{
for (int i=0; i < size; i++)
cout << arr[i] << " ";
}
// Driver program to test above functions
int main()
{
// Change n at the top to change number of elements
// in an array
int arr[][n] = {{2, 6, 12, 34},
{1, 9, 20, 1000},
{23, 34, 90, 2000}};
int k = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int *output = mergeKArrays(arr, k);
cout << "Merged array is " << endl;
printArray(output, n*k);
return 0;
}
```
## Java
```
// Java program to merge k sorted
// arrays of size n each.
// A min heap node
class MinHeapNode
{
int element; // The element to be stored
// index of the array from
// which the element is taken
int i;
// index of the next element
// to be picked from array
int j;
public MinHeapNode(int element, int i, int j)
{
this.element = element;
this.i = i;
this.j = j;
}
};
// A class for Min Heap
class MinHeap
{
MinHeapNode[] harr; // Array of elements in heap
int heap_size; // Current number of elements in min heap
// Constructor: Builds a heap from
// a given array a[] of given size
public MinHeap(MinHeapNode a[], int size)
{
heap_size = size;
harr = a;
int i = (heap_size - 1)/2;
while (i >= 0)
{
MinHeapify(i);
i--;
}
}
// A recursive method to heapify a subtree
// with the root at given index This method
// assumes that the subtrees are already heapified
void MinHeapify(int i)
{
int l = left(i);
int r = right(i);
int smallest = i;
if (l < heap_size && harr[l].element < harr[i].element)
smallest = l;
if (r < heap_size && harr[r].element < harr[smallest].element)
smallest = r;
if (smallest != i)
{
swap(harr, i, smallest);
MinHeapify(smallest);
}
}
// to get index of left child of node at index i
int left(int i) { return (2*i + 1); }
// to get index of right child of node at index i
int right(int i) { return (2*i + 2); }
// to get the root
MinHeapNode getMin()
{
if(heap_size <= 0)
{
System.out.println("Heap underflow");
return null;
}
return harr[0];
}
// to replace root with new node
// "root" and heapify() new root
void replaceMin(MinHeapNode root) {
harr[0] = root;
MinHeapify(0);
}
// A utility function to swap two min heap nodes
void swap(MinHeapNode[] arr, int i, int j) {
MinHeapNode temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
// A utility function to print array elements
static void printArray(int[] arr) {
for(int i : arr)
System.out.print(i + " ");
System.out.println();
}
// This function takes an array of
// arrays as an argument and All
// arrays are assumed to be sorted.
// It merges them together and
// prints the final sorted output.
static void mergeKSortedArrays(int[][] arr, int k)
{
MinHeapNode[] hArr = new MinHeapNode[k];
int resultSize = 0;
for(int i = 0; i < arr.length; i++)
{
MinHeapNode node = new MinHeapNode(arr[i][0],i,1);
hArr[i] = node;
resultSize += arr[i].length;
}
// Create a min heap with k heap nodes. Every heap node
// has first element of an array
MinHeap mh = new MinHeap(hArr, k);
int[] result = new int[resultSize]; // To store output array
// Now one by one get the minimum element from min
// heap and replace it with next element of its array
for(int i = 0; i < resultSize; i++)
{
// Get the minimum element and store it in result
MinHeapNode root = mh.getMin();
result[i] = root.element;
// Find the next element that will replace current
// root of heap. The next element belongs to same
// array as the current root.
if(root.j < arr[root.i].length)
root.element = arr[root.i][root.j++];
// If root was the last element of its array
else
root.element = Integer.MAX_VALUE;
// Replace root with next element of array
mh.replaceMin(root);
}
printArray(result);
}
// Driver code
public static void main(String args[]){
int[][] arr= {{2, 6, 12, 34},
{1, 9, 20, 1000},
{23, 34, 90, 2000}};
System.out.println("Merged array is :");
mergeKSortedArrays(arr,arr.length);
}
};
// This code is contributed by shubham96301
```
## Python3
```
"""
Python3 program to merge k sorted arrays of size n each
"""
import sys
from typing import List, Optional
Matrix = List[List[int]]
class MinHeapNode:
def __init__(self, el, i, j):
self.element = el # the element to be sorted
self.i = i # index of array from which element is taken
self.j = j # index of next element to be picked from array
class MinHeap:
def __init__(self, ar: List[MinHeapNode], size: int):
self.heap_size = size
self.heap_arr = ar
i = (self.heap_size - 1) // 2
while i >= 0:
self.min_heapify(i)
i -= 1
"""
A recursive method to heapify a subtree
with the root at given index. This method
assumes that the subtree are already heapified
"""
def min_heapify(self, i):
l = left(i)
r = right(i)
smallest = i
if l < self.heap_size and self.heap_arr[l].element < self.heap_arr[i].element:
smallest = l
if r < self.heap_size and self.heap_arr[r].element < self.heap_arr[smallest].element:
smallest = r
if smallest != i:
swap(self.heap_arr, i, smallest)
self.min_heapify(smallest)
def get_min(self) -> Optional:
if self.heap_size <= 0:
print('Heap underflow')
return None
return self.heap_arr[0]
# Replace root with new root
def replace_min(self, root):
self.heap_arr[0] = root
self.min_heapify(0)
def left(i):
return 2 * i + 1
def right(i):
return 2 * i + 2
def swap(arr: List[MinHeapNode], i, j):
temp = arr[i]
arr[i] = arr[j]
arr[j] = temp
def merge_k_sorted_arrays(arr: Matrix, k: int):
h_arr = []
result_size = 0
for i in range(len(arr)):
node = MinHeapNode(arr[i][0], i, 1)
h_arr.append(node)
result_size += len(arr[i])
min_heap = MinHeap(h_arr, k)
result = [0]*result_size
for i in range(result_size):
root = min_heap.get_min()
result[i] = root.element
if root.j < len(arr[root.i]):
root.element = arr[root.i][root.j]
root.j += 1
else:
root.element = sys.maxsize
min_heap.replace_min(root)
for x in result:
print(x, end=' ')
print()
if __name__ == '__main__':
arr = [
[2, 6, 12, 34],
[1, 9, 20, 1000],
[23, 34, 90, 2000]
]
print('Merged Array is:')
merge_k_sorted_arrays(arr, len(arr))
# The code is contributed by Rajat Srivastava
```
## C#
```
// C# program to merge k sorted
// arrays of size n each.
using System;
// A min heap node
public class MinHeapNode
{
public int element; // The element to be stored
// index of the array from
// which the element is taken
public int i;
// index of the next element
// to be picked from array
public int j;
public MinHeapNode(int element, int i, int j)
{
this.element = element;
this.i = i;
this.j = j;
}
};
// A class for Min Heap
public class MinHeap
{
MinHeapNode[] harr; // Array of elements in heap
int heap_size; // Current number of elements in min heap
// Constructor: Builds a heap from
// a given array a[] of given size
public MinHeap(MinHeapNode []a, int size)
{
heap_size = size;
harr = a;
int i = (heap_size - 1) / 2;
while (i >= 0)
{
MinHeapify(i);
i--;
}
}
// A recursive method to heapify a subtree
// with the root at given index This method
// assumes that the subtrees are already heapified
void MinHeapify(int i)
{
int l = left(i);
int r = right(i);
int smallest = i;
if (l < heap_size &&
harr[l].element < harr[i].element)
smallest = l;
if (r < heap_size &&
harr[r].element < harr[smallest].element)
smallest = r;
if (smallest != i)
{
swap(harr, i, smallest);
MinHeapify(smallest);
}
}
// to get index of left child of node at index i
int left(int i) { return (2 * i + 1); }
// to get index of right child of node at index i
int right(int i) { return (2 * i + 2); }
// to get the root
MinHeapNode getMin()
{
if(heap_size <= 0)
{
Console.WriteLine("Heap underflow");
return null;
}
return harr[0];
}
// to replace root with new node
// "root" and heapify() new root
void replaceMin(MinHeapNode root)
{
harr[0] = root;
MinHeapify(0);
}
// A utility function to swap two min heap nodes
void swap(MinHeapNode[] arr, int i, int j)
{
MinHeapNode temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
// A utility function to print array elements
static void printArray(int[] arr)
{
foreach(int i in arr)
Console.Write(i + " ");
Console.WriteLine();
}
// This function takes an array of
// arrays as an argument and All
// arrays are assumed to be sorted.
// It merges them together and
// prints the final sorted output.
static void mergeKSortedArrays(int[,] arr, int k)
{
MinHeapNode[] hArr = new MinHeapNode[k];
int resultSize = 0;
for(int i = 0; i < arr.GetLength(0); i++)
{
MinHeapNode node = new MinHeapNode(arr[i, 0], i, 1);
hArr[i] = node;
resultSize += arr.GetLength(1);
}
// Create a min heap with k heap nodes.
// Every heap node has first element of an array
MinHeap mh = new MinHeap(hArr, k);
int[] result = new int[resultSize]; // To store output array
// Now one by one get the minimum element
// from min heap and replace it with
// next element of its array
for(int i = 0; i < resultSize; i++)
{
// Get the minimum element and
// store it in result
MinHeapNode root = mh.getMin();
result[i] = root.element;
// Find the next element that will
// replace current root of heap.
// The next element belongs to same
// array as the current root.
if(root.j < arr.GetLength(1))
root.element = arr[root.i,root.j++];
// If root was the last element of its array
else
root.element = int.MaxValue;
// Replace root with next element of array
mh.replaceMin(root);
}
printArray(result);
}
// Driver code
public static void Main(String []args)
{
int[,] arr = {{2, 6, 12, 34},
{1, 9, 20, 1000},
{23, 34, 90, 2000}};
Console.WriteLine("Merged array is :");
mergeKSortedArrays(arr, arr.GetLength(0));
}
};
// This code is contributed by 29AjayKumar
```
**输出**：
```
Merged array is
1 2 6 9 12 20 23 34 34 90 1000 2000
```
* **复杂度分析**：
* **时间复杂度**： `O(n * k * log k)`，在最小堆中插入和删除需要`log k`时间。 因此，总时间复杂度为`O(n * k * log k)`
* **空间复杂度**： `O(k)`，如果未存储输出，则唯一需要的空间是`k`个元素的最小堆。 因此，空间复杂度为`O(k)`。
[**合并`k`个排序的数组| 第 2 组（不同大小的数组）**](https://www.geeksforgeeks.org/merge-k-sorted-arrays-set-2-different-sized-arrays/)
感谢 [vignesh](http://www.linkedin.com/in/vignesh4430) 提出了这个问题和初步的解决方案。 如果发现任何不正确的地方，或者想分享有关上述主题的更多信息，请发表评论
- GeeksForGeeks 数组教程
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- 数组旋转的块交换算法
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- 数组右旋转的逆向算法
- 查找具有最大汉明距离的旋转
- 数组左右循环查询
- 在O(n)时间和O(1)空间中打印数组的左旋转
- 旋转几次后，在给定索引处查找元素
- 拆分数组并将第一部分添加到末尾
- 重排
- 重新排列数组，使arr[i] = i
- 编写程序以反转数组或字符串
- 重新排列数组，如果i为偶数则arr[i] >= arr[j]，如果i为奇数且j < i则 arr[i] <= arr[j]
- 在O(n)时间和O(1)额外空间中重新排列正数和负数
- 重新排列数组，交替出现&个正数的负数项，多余的空间为O(1) | 系列 1
- 将所有零移动到数组末尾
- 将所有零移动到数组的末尾| 系列 2（使用单遍历）
- 将所有小于或等于 k 的元素组合在一起所需的最小交换
- 使用内置排序功能重新排列正数和负数
- 重新排列数组，使偶数位置大于奇数
- 按顺序重新排列数组-最小，最大，第二个最小，第二个最大..
- 将第一个元素加倍，然后将零移动到结尾
- 根据给定的索引对数组重新排序
- 用恒定的额外空间重新排列正数和负数
- 排列给定数字以形成最大数| 系列 1
- 重新排列数组，如果arr[i]为j，则arr[j]变为i | 系列 1
- 以最大最小形式重新排列数组| 系列 1
- 以最大最小形式重新排列数组| 系列 2（O(1)额外空间）
- 将所有负元素移动到最后，并留出足够的空间
- 重新排列数组，使偶数索引元素较小而奇数索引元素较大
- 正数元素位于偶数位置，负数元素位于奇数位置（不保持相对顺序）
- 用上一个和下一个的乘法替换每个数组元素
- 使用 Fisher-Yates 随机播放算法随机播放给定数组
- 分离偶数和奇数| 系列 3
- 将数组中的 0 和 1 分开
- 最长的双子序列| DP-15
- 在线性时间内找到大小为 3 的排序子序列
- 最大数目等于 0 和 1 的子数组
- 最大产品子数组
- 用右侧的最大元素替换每个元素
- 最大循环子数组总和
- 最长递增子序列的构造（N log N）
- 按频率对元素排序| 系列 2
- 最大化圆形数组中的连续差之和
- 根据另一个数组定义的顺序对数组进行排序
- 查找索引 0 替换为 1，以获得二进制数组中最长的连续序列 1s
- 在给定范围内对数组进行三向分区
- 从两个给定排序数组的备用元素生成所有可能的排序数组
- 安排彼此相邻的线对所需的最小交换次数
- 将数组转换为 Zig-Zag 风格
- 从给定序列中形成最小数
- 将两个连续的相等值替换为一个更大的值
- 重新排列二进制字符串作为 x 和 y 的交替出现
- 数组中不同的相邻元素
- 不使用多余空间将 2n 个整数随机排列为 a1-b1-a2-b2-a3-b3-.bn
- 合并 k 个排序的数组| 系列 1
- 订单统计
- 未排序数组中第 K 个最小/最大元素| 系列 1
- 未排序数组中第 K 个最小/最大元素| 系列 2（预期线性时间）
- 未排序数组中第 K 个最小/最大元素| 组合 3（最坏情况的线性时间）
- 使用 STL 的第 K 个最小/最大元素
- 数组中的 k 个最大（或最小）元素| 添加了最小堆方法
- 按行和按列排序的 2D 数组中的 Kth 个最小元素| 系列 1
- 程序以查找数组中的最大元素
- 查找数组中最大的三个元素
- 查找数组中至少有两个大元素的所有元素
- 未排序数组的均值和中位数的程序
- 使用 STL 的运行整数流的中位数
- 正整数数组中 k 个整数的最小积
- 第 K 个最大和的连续子数组
- 来自两个数组的 K 个最大和组合
- 重叠的连续子数组的 K 个最大和
- 非重叠的连续子数组的 K 个最大和
- 使用O(1)额外空间按相同顺序排列 k 个最小元素
- 在两个数组中找到具有最小和的 k 对
- 数组中两个元素的第 k 个最小绝对差
- 在数组中查找第二大元素
- 查找给定数组中出现次数最多的 k 个数字
- 查找数组中的最小和第二个最小元素
- 寻找最小的遗失号码
- 使得两个元素都不相邻的最大和
- 使用最少数量的比较的数组的最大值和最小值
- 两个元素之间的最大差异，使得较大的元素出现在较小的数字之后
- 给定数组 arr []，找到最大 j – i，使得 arr [j] > arr [i]
- 最大滑动窗口（大小为 k 的所有子数组的最大值）
- 找到两个数字之间的最小距离
- 在先增加然后减少的数组中找到最大元素
- 计算右侧较小的元素
- 最长递增子序列大小（N log N）
- 查找未排序数组中缺失的最小正数| 系列 1
- 在O(n)时间和O(1)多余空间中找到最大重复数
- 给定大小为 n 且数字为 k 的数组，找到出现次数超过 n / k 次的所有元素
- 找出长度为 3 且具有最大乘积的递增子序列
- 两个数组中的最大求和路径
- 从两个排序的数组中找到最接近的对
- 在未排序的数组中找到最大的对和
- 整个数组中最小的较大元素
- 删除小于 next 或变得更小的数组元素
- 在线检查回文的在线算法
- 删除小于 next 或变得更小的数组元素
- 找到要翻转的零，以使连续的 1 的数目最大化
- 计算严格增加的子数组
- 流中的第 K 个最大元素
- 在两个数组中找到具有最小和的 k 对
- k 元素组与数组其余部分之间的最大差值。
- 要使中位数等于 x 的最小元素数量
- 下一个更大的元素
- 范围查询
- MO 的算法（查询平方根分解）| 系列 1（简介）
- Sqrt（或平方根）分解技术 系列 1（简介）
- 稀疏表
- 使用稀疏表进行范围总和查询
- 范围最小查询（平方根分解和稀疏表）
- 数组元素的频率范围查询
- 数组上的恒定时间范围添加操作
- 范围 LCM 查询
- 数组中给定索引范围的 GCD
- 查询给定数组中所有数字的 GCD（给定范围内的元素除外）
- 给定子数组中小于或等于给定数目的元素数
- 给定子数组中小于或等于给定数字的元素数| 第 2 组（包括更新）
- 查询值在给定范围内的数组元素的计数
- 查询二进制数组的子数组的十进制值
- 计算将 L-R 范围内的所有数字相除的元素
- 给定数组范围的 XOR 之和最大的数字
- 在给定范围内出现偶数次的数字的 XOR
- 范围查询中的数组范围查询
- 数组范围查询以搜索元素
- 数组范围查询频率与值相同的元素
- 给定范围内的最大出现次数
- 给定范围内具有相等元素的索引数
- 合并排序树以获取范围顺序统计信息
- 范围内没有重复数字的总数
- 差异数组|O(1)中的范围更新查询
- 对数组的范围查询，其每个元素都是索引值与前一个元素的 XOR
- 查找子数组是否为山脉形式
- 范围总和查询，无更新
- 子数组中的素数（带有更新）
- 在二进制数组中检查子数组表示的数字是奇数还是偶数
- 用于乘法，替换和乘积的数组查询
- 数组范围的平均值
- 执行加减命令后打印修改后的数组
- 在给定范围内对偶数或奇数概率的查询
- 数组中范围的乘积
- 计算范围内的素数
- M 个范围切换操作后的二进制数组
- 合并重叠间隔
- 检查给定间隔中是否有两个间隔重叠
- 间隔之和与除数的更新
- 多次数组范围递增操作后打印修改后的数组
- 范围最大奇数的 XOR 查询
- 查询子数组中不同元素的数量
- 计数和切换二进制数组上的查询
- 数组中的最小-最大范围查询
- 优化问题
- 最大总和连续子数组
- 通过最多买卖两次股份获得最大利润
- 查找平均数最少的子数组
- 找到两个数字之间的最小距离
- 最小化高度之间的最大差异
- 到达终点的最小跳数
- 最大总和增加子序列| DP-14
- 总和大于给定值的最小子数组
- 查找 k 个长度的最大平均子数组
- 计算最小步数以获得给定的所需数组
- 乘积小于 k 的子集数
- 查找使数组回文的最小合并操作数
- 查找不能表示为给定数组的任何子集之和的最小正整数值
- 具有最大总和的子数组的大小
- 找出任何两个元素之间的最小差异
- 使用位操作进行空间优化
- 两个二进制数组中具有相同总和的最长跨度
- 排序
- 替代排序
- 对几乎排序（或 K 排序）的数组进行排序
- 根据给定值的绝对差对数组进行排序
- 以波形形式对数组进行排序
- 将大小为 n 的数组合并为大小为 m + n 的另一个数组
- 对包含 1 到 n 个值的数组进行排序
- 通过交换相邻元素将 1 排序为 N
- 对包含两种类型元素的数组进行排序
- 按频率对元素排序| 系列 1
- 计算数组中的反转 系列 1（使用合并排序）
- 两个元素的和最接近零
- 最短无序子数组
- 排序数组所需的最小交换次数
- 两个排序数组的并集和交集
- 查找两个未排序数组的并集和交集
- 对 0、1 和 2 的数组进行排序
- 找到最小长度未排序子数组，进行排序，使整个数组排序
- 中位数为整数流（运行整数）
- 计算可能的三角形数量
- 查找数组中的对数（x，y），使得 x ^ y > y ^ x
- 计算所有等于 k 的不同对
- 打印给定整数数组的所有不同元素
- 从其对和数组构造一个数组
- 合并两个有O(1)额外空间的排序数组
- 第一个数组中的最大值与第二个数组中的最小值的乘积
- 对数（a [j] > = a [i]）的对数，其中 k 个范围在（a [i]，a [j]）中，可被 x 整除
- 随机对为最大加权对的概率
- AP 数组中存在的最小解排列（算术级数）
- 对两个数组的最小乘积之和进行重新排列
- 将数组划分为 k 个片段，以最大化片段最小值的最大值
- 最小乘积对为正整数数组
- 计算形成最小产品三胞胎的方法
- 检查是否反转子数组使数组排序
- 使用另一个数组最大化元素
- 使两个数组的元素相同，最小增减
- 检查是否有任何间隔完全重叠
- 除子数组中的元素外，对数组进行排序
- 对除一个以外的所有数组元素进行排序
- 排序二进制数组所需的最小相邻交换
- 按数组中出现的元素顺序对链接列表进行排序
- 打印数组中排序的不同元素
- 可以单独排序以进行排序的最大分区数
- 使用 STL 根据因素数量进行排序
- 每次取下最小的钢丝绳后剩下的钢丝绳
- 数组中所有元素的排名
- 合并 3 个排序的数组
- 使数组递减的最小减法运算数
- 最大化 arr [i] * i 的总和
- 差异小于 K 的对
- 按排序顺序合并两个未排序的数组
- 从两个数组最大化唯一对
- 应用给定方程后对数组排序
- 每个数组元素的最小绝对差之和
- 查找是否可以使用一个外部数字使数组元素相同
- 两个未排序数组之间的最小差值对
- 程序检查数组是否排序（迭代和递归）
- 查找大于数组中一半元素的元素
- 使两个数组相同的最小交换
- 要添加的元素，以便数组中存在某个范围的所有元素
- 正在搜寻
- 搜索，插入和删除未排序的数组
- 在排序的数组中搜索，插入和删除
- 给定数组 A []和数字 x，请检查 A []中的对，总和为 x
- 在相邻项最多相差 k 的数组中搜索
- 在三个排序的数组中查找共同的元素
- 在无数排序数组中查找元素的位置
- 查找 1 到 n-1 之间的唯一重复元素
- 查找在数组中一次出现的元素，其中每个其他元素出现两次
- 排除某些元素的最大子数组总和
- 数组中的最大平衡和
- 数组的平衡指数
- 领导者数组
- 天花板排列
- 多数元素
- 检查排序数组中的多数元素
- 检查数组是否具有多数元素
- 两指针技术
- 查找峰元素
- 找到给定数组中的两个重复元素
- 在给定的数组中找到一个固定点（等于索引的值）
- 查找给定总和的子数组| 系列 1（负数）
- 数组中的最大三元组和
- 来自三个数组的最小差异三元组
- 查找一个三元组，将其总和成给定值
- 找到所有零和的三元组
- 所有合计给定值的唯一三元组
- 计算总数小于给定值的三元组
- 打印形成 AP 的排序数组中的所有三元组
- XOR 为零的唯一三元组数
- 找到一个三元组，使得两个和等于第三元素
- 查找出现次数的奇数
- 查找丢失的号码
- 计算排序数组中的出现次数（或频率）
- 给定一个已排序的数组和一个数字 x，在数组中找到总和最接近 x 的对
- 在排序的二进制数组中计数 1
- 在整数数组中找到第一个重复元素
- 从重复的数组中查找丢失的元素
- 找到重复的和丢失的| 添加了 3 种新方法
- 在未排序的数组中找到出现奇数的两个数字
- 找到具有给定差异的一对
- 找到四个总和为给定值的元素| 集合 1（n ^ 3 解）
- 找到四个总和为给定值的元素| 系列 2
- 查找是否有一个总和为 0 的子数组
- 在相邻元素之间的差为 1 的数组中搜索元素
- 一系列不同元素中的第三大元素
- 检查数组中是否存在两个元素的总和等于数组其余部分的总和
- 检查给定数组是否包含彼此之间 k 距离内的重复元素
- 使用最少的比较次数搜索未排序数组中的元素
- 连续元素排序数组中仅重复元素的计数
- 在频率大于或等于 n / 2 的排序数组中查找元素。
- 圆形数组中相邻元素的最小绝对差
- 在数组中找到第一个，第二个和第三个最小元素
- 程序来查找数组的最小（或最大）元素
- 每个数组元素中另一个数组中最接近的较大元素
- 计算O(1)额外空间和O(n)时间中数组中所有元素的频率
- 与给定的总和和距末端的最大最短距离配对
- 从数组中删除一个元素（使用两次遍历和一次遍历）
- 计算给定数组中大小为 3 的反转
- 计算给定总和的对
- 对排序向量中的二分搜索
- 困雨水
- 替换元素会使数组元素连续
- 排序数组中的第 k 个缺失元素
- O（log（min（n（n，m）））中具有不同大小的两个排序数组的中位数
- 从两个排序的数组中打印不常见的元素
- 非重复元素
- 数组中最频繁的元素
- 数组中最少的元素
- m 个元素的两个子集之间的最大差
- n 个数组中升序元素的最大和
- 配对使得一个是其他的幂倍
- 查找数组中对的数量，以使它们的 XOR 为 0
- 两次最大出现之间的最小距离
- 如果我们在数组中每次成功搜索后加倍，则找到最终值
- 排序数组中的最后一个重复元素
- 找到一个数组元素，使所有元素都可被它整除
- 以原始顺序查找数组的 k 个最大元素
- 数组中的最大值，至少是其他元素的两倍
- 连续步骤到屋顶
- 两个大小的组之间的最大差异
- 两个大小的组之间的最小差异
- 未排序整数列表中最接近的数字
- 值和索引和的最大绝对差
- 数组中局部极值的数量
- 检查数组是否具有多数元素
- 查找数组中最接近的数字
- 最大和的对数
- 按原始顺序打印给定数组中的 n 个最小元素
- 查找给定数组中缺少的前 k 个自然数
- 数组中的高尚整数（大于等于的元素数等于 value）
- 两个数组对的绝对差的最小和
- 查找数组中非重复（不同）元素的总和
- 检查是否可以从给定数组形成算术级数
- 数组的最小乘积子集
- 计算选择差异最大的对的方法
- 每次成功搜索后通过将元素加倍来重复搜索
- 允许负数的数组中成对乘积的最大和
- 矩阵
- 旋转矩阵元素
- 将方形矩阵旋转 90 度| 系列 1
- 将矩阵旋转 90 度，而无需使用任何额外空间| 系列 2
- 将矩阵旋转 180 度
- 用 K 元素逆时针旋转矩阵的每个环
- 将图像旋转 90 度
- 检查矩阵的所有行是否都是彼此旋转
- 排序给定矩阵
- 查找最大数量为 1 的行
- 在按行排序的矩阵中找到中位数
- 矩阵乘法| 递归的
- 程序将两个矩阵相乘
- 矩阵的标量乘法程序
- 程序打印数组的下三角和上三角矩阵
- 查找矩阵所有行共有的不同元素
- 以螺旋形式打印给定的矩阵
- 查找矩阵中每一行的最大元素
- 在矩阵中查找唯一元素
- 将矩阵元素逐行移动 k
- 矩阵的不同运算
- 以逆时针螺旋形式打印给定矩阵
- 交换方矩阵的主要和次要对角线
- 矩阵中的最大路径总和
- 矩阵对角元素的正方形
- 沿给定方向移动矩阵元素并添加具有相同值的元素
- 按升序对矩阵行进行排序，然后按降序对列进行排序
- 矩阵中间行和列的总和
- 矩阵的按行遍历与按列遍历
- 向右旋转矩阵 K 次
- 检查幂等矩阵的程序
- 程序检查对合矩阵
- 矩阵中第一行和最后一行的交换元素
- zag-zag 方式打印矩阵
- 二维数组中的按行排序
- 马尔可夫矩阵程序
- 检查对角矩阵和标量矩阵的程序
- 按行和列对矩阵进行排序
- 查找岛屿数| 系列 1（使用 DFS）
- 魔术广场| 偶数订单
- 魔术广场
- 检查给定矩阵是否为幻方
- 检查给定矩阵是否为幻方
- 两种矩阵的 Kronecker 积
- 计数总和可分为“ k”的子矩阵
- 对角占优矩阵
- 使矩阵的每一行和每一列相等所需的最少操作
- 计算大小为 n 的矩阵中 k 的频率，其中 matrix（i，j）= i + j
- 给定 1、2、3……k 以之字形打印它们。
- 皇后可以在棋盘上移动的障碍物数量
- 矩阵中 4 个相邻元素的最大积
- 使二进制矩阵对称所需的最小翻转
- 程序检查矩阵是否为下三角
- 程序检查矩阵是否为上三角
- 矩阵中偶数和奇数的频率
- 矩阵的中心元素等于对角线的一半
- 身份矩阵程序
- 程序用矩阵的下对角元素交换上对角元素。
- 稀疏矩阵表示| 系列 3（CSR）
- 填充矩阵以使所有行和所有列的乘积等于 1 的方式
- 矩阵对角线的镜像
- 查找二进制矩阵中是否有一个角为 1 的矩形
- 查找所有填充有 0 的矩形
- 矩阵或网格中两个单元之间的最短距离
- 计算二进制矩阵中 1 和 0 的集合
- 搜索按行和按列排序的矩阵
- 创建具有 O 和 X 的交替矩形的矩阵
- 矩阵的锯齿形（或对角线）遍历
- 原位（固定空间）M x N 大小的矩阵转置| 更新
- 排序从 0 到 n ^ 2 – 1 的数字矩阵的最低成本
- 二进制矩阵中的唯一像元
- 计算特殊矩阵中等于 x 的条目
- 检查给定矩阵是否稀疏
- 方矩阵的两个对角线中的行式公共元素
- 检查矩阵中第 i 行和第 i 列的总和是否相同
- 查找最大数为 1 的二进制矩阵的行号
- 程序检查矩阵是否对称
- 通过遵循单元格值来查找二维数组是否被完全遍历
- 程序以 Z 格式打印矩阵
- 在矩阵中从左上到右下打印所有回文路径
- 骑士的可能举动
- 有效地计算矩阵的对角线总和
- 矩阵的边界元素
- 从点开始以螺旋形式打印矩阵
- 以蛇形图案打印矩阵
- 矩阵对角线互换程序
- 找出两个对角线之和之间的差
- 从给定的二叉树构造祖先矩阵
- 从祖先矩阵构造树
- 圆形矩阵（以螺旋方式构造数字 1 到 m * n 的矩阵）
- Sudoku Generator 程序
- 康威人生游戏计划
- 矩阵中沙漏的最大和
- 方阵中的最大值和最小值。
- 以防螺旋形式打印矩阵
- 查找矩阵的法线和迹线的程序
- 以各种方式对矩阵进行排序
- 设置二进制矩阵的所有元素所需的最少操作
- 以反向螺旋形式打印给定的矩阵
- C 程序检查矩阵是否倾斜对称
- 矩阵元素的总和，其中每个元素是行和列的整数除法
- 稀疏矩阵及其表示| 系列 2（使用列表和键字典）
- 查找使两个矩阵相等的变换数
- 形成矩阵线圈
- 每个元素是其行号和列号的绝对差的矩阵总和
- 检查二进制矩阵中的水平和垂直对称性
- 每个值为 0 或 n 的矩阵的最大行列式
- 螺旋奇数阶方阵的两个对角线之和
- 在二进制矩阵中找到具有最大位差的行对
- 查找矩阵中给定行的所有置换行
- 在二进制矩阵中查找以 1s 形成的形状的周长
- 在矩阵中打印具有相同矩形和的单元格
- 以对角线图案打印矩阵
- 矩阵中两行元素之和的最大差
- 查找具有给定总和的对，以便该对的元素位于不同的行中
- 二进制矩阵中所有零的总覆盖率
- 用行或列的最大 GCD 替换每个矩阵元素
- 计算矩阵中所有排序的行
- 矩阵查询
- 矩阵中的最大 XOR 值
- 可以从下到右传输光线的最大反射镜
- 最后一个方块的方向
- 以矩阵的螺旋形式打印第 K 个元素
- 查找给定的矩阵是否为 Toeplitz
- 在按行和按列排序的矩阵中计数零
- 在列明智和行明智排序矩阵中计算负数
- 在二进制矩阵中查找所有位形成的最大“ +”的大小
- 返回扩展矩阵中的前一个元素
- 使用O(1)额外空间打印 n x n 螺旋矩阵
- 二进制迷宫中的最短路径
- 查找矩阵中图案的方向
- 在矩阵中查找特定对
- 打印给定大小的最大和平方子矩阵
- 给定矩阵的所有行中的公共元素
- 按特定顺序就地转换矩阵
- 布尔矩阵问题
- 给定布尔矩阵，找到 k，使第 k 行中的所有元素均为 0，第 k 列为 1。
- 在给定的布尔矩阵中打印唯一行
- 找到 1 的最大矩形，并允许交换列
- 给定井字棋盘配置的有效性
- 子矩阵总和查询
- 矩阵排名程序
- 全为 1 的最大尺寸矩形二进制子矩阵
- 全为 1 的最大尺寸正方形子矩阵
- 查找矩阵中除给定单元格的行和/或列中的元素以外的所有元素的总和？
- 计算每个岛按行和列分隔的岛数
- 在给定的按行排序的矩阵的所有行中找到一个公共元素
- 给定矩阵“ O”和“ X”，如果被“ X”包围，则将“ O”替换为“ X”
- 给定矩阵“ O”和“ X”，找到被“ X”包围的最大子正方形
- 洪水填充算法–如何在 paint 中实现 fill（）？
- 从行和列的排序矩阵中按排序顺序打印所有元素
- 给定一个 n x n 方阵，求出大小为 k x k 的所有子方和
- 查找矩阵转置的程序
- 用于添加两个矩阵的程序
- 矩阵减法程序
- 使用两次遍历收集网格中的最大点
- 在死胡同之前收集最多硬币
- 正好有 k 个硬币的路径数
- 查找从给定起始字符开始的最长连续路径的长度
- 在给定约束条件下找到矩阵中的最长路径
- 到达目的地的最低初始点
- 分而治之| 第 5 组（Strassen 的矩阵乘法）
- 2D 矩阵中的最大和矩形| DP-27
- 杂项
- 子数组/子字符串与子序列以及生成它们的程序
- 产品数组难题
- 具有给定乘积的子数组数
- 链表与数组
- 检查数组元素是否连续 新增方法 3
- 查找一个数组是否是另一个数组的子集 新增方法 3
- 在一个数组中实现两个堆栈
- 查找两个排序数组的相对补码
- 通过 k 次运算的最小增量以使所有元素相等
- 最小化三个不同排序数组的（max（A [i]，B [j]，C [k]）– min（A [i]，B [j]，C [k]））