# 最长递增子序列大小（`N log N`）
> 原文： [https://www.geeksforgeeks.org/longest-monotonically-increasing-subsequence-size-n-log-n/](https://www.geeksforgeeks.org/longest-monotonically-increasing-subsequence-size-n-log-n/)
给定一个随机数数组。 在数组中找到最长的[递增子序列](http://en.wikipedia.org/wiki/Substring)（LIS）。 我知道你们中许多人可能已经阅读[递归和动态编程](https://www.geeksforgeeks.org/longest-increasing-subsequence-dp-3/)（DP）解决方案。 论坛帖子中很少有人要求[`O(N log N)`](http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence#Efficient_algorithms)算法。
暂时，无需考虑递归和 DP 解决方案。 让我们抽取少量样本并将解决方案扩展到大型实例。 尽管乍一看可能很复杂，但是一旦我们理解了逻辑，编码就很简单。
考虑输入数组`A = {2, 5, 3}`。 我将在解释过程中扩展数组。
通过观察，我们知道 LIS 是`{2, 3}`或`{2, 5}`。 **请注意，我仅考虑严格增加的序列**。
让我们再添加两个元素，例如 7、11。 这些元素将扩展现有序列。 现在，输入数组`{2, 5, 3, 7, 11}`的递增序列为`{2, 3, 7, 11}`和`{2, 5, 7, 11}`。
此外，我们在数组中再添加一个元素，例如 8，即输入数组变为`{2, 5, 3, 7, 11, 11}`。 请注意，最新元素 8 大于任何活动序列的最小元素（*将简短讨论活动序列*）。 如何将现有序列扩展为 8？ 首先，8 可以成为 LIS 的一部分吗？ 如果是，怎么办？ 如果我们要添加 8，它应该在 7 之后（通过替换 11）。
由于此方法是*脱机（我们的意思是[脱机](https://www.geeksforgeeks.org/median-of-stream-of-integers-running-integers/)吗？）*，因此我们不确定是否添加 8 将扩展该系列。 假设输入数组中有 9 个，例如`{2, 5, 3, 7, 11, 11, 8, 7, 9, …}`。 我们可以将 8 替换为 11，因为可能存在*最佳*候选（9），可以扩展新系列`{2, 3, 7, 8}`或`{2, 5, 7, 8}`。
我们的观察结果是，假设最大序列的结尾元素为`E`。如果存在元素`A[j] (j > i)`，我们可以向现有序列中添加（替换）当前元素`E < A[i] < A[j]`或（`E > A[i] < A[j]` – 用于替换）。 在上面的示例中，`E = 11`，`A[i] = 8`，`A[j] = 9`。
对于原始数组`{2, 5, 3}`，请注意，当我们将 3 添加到递增序列`{2, 5}`时，我们会遇到相同的情况。 我只是创建了两个递增的序列，以使说明变得简单。 3 可以代替序列`{2, 5}`中的 5，而不是两个序列。
我知道这会令人困惑，我会尽快清除它！
*问题是，什么时候可以安全地添加或替换现有序列中的元素？*
让我们考虑另一个样本`A = {2, 5, 3}`。 假设下一个元素是 1。如何扩展当前序列`{2, 3}`或`{2, 5}`。 显然，它也不能扩展。 但是，新的最小元素有可能成为 LIS 的开始。 为了清楚起见，请考虑数组为`{2, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 6}`。 将 1 设为新序列将创建最大的新序列。
*观察结果是，当我们遇到数组中的新最小元素时，它可能是开始新序列的潜在候选者。*
从观察中，我们需要维护递增序列的列表。
总的来说，我们有一组**活动列表**不同长度。 我们将元素`A[i]`添加到这些列表中。 我们以长度减少的顺序扫描列表（用于结束元素）。 我们将验证所有列表的末端元素，以找到一个末端元素小于`A[i]`（*下限*值）的列表。
我们的策略由以下条件决定，
```
1\. If A[i] is smallest among all *end*
candidates of active lists, we will *start*
new active list of length 1.
```
```
2\. If A[i] is largest among all *end* candidates of
active lists, we will clone the *largest* active
list, and extend it by A[i].
```
```
3\. If A[i] is in between, we will find a list with
*largest end element that is smaller than* A[i].
Clone and extend this list by A[i]. We will discard all
other lists of same length as that of this modified list.
```
请注意，在构造活动列表的任何时候，都将保持以下条件。
*“较小列表的末尾元素小于较大列表的末尾元素”* 。
举一个很明显的例子，使用 [Wiki](http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence) `{0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 1, 9, 5, 13, 13, 3, 11, 7 , 15}`。
```
A[0] = 0\. Case 1\. There are no active lists, create one.
0.
-----------------------------------------------------------------------------
A[1] = 8\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 8.
-----------------------------------------------------------------------------
A[2] = 4\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 4.
0, 8. Discarded
-----------------------------------------------------------------------------
A[3] = 12\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 4.
0, 4, 12.
-----------------------------------------------------------------------------
A[4] = 2\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 4. Discarded.
0, 4, 12.
-----------------------------------------------------------------------------
A[5] = 10\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 2, 10.
0, 4, 12. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[6] = 6\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 2, 6.
0, 2, 10. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[7] = 14\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 2.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 14.
-----------------------------------------------------------------------------
A[8] = 1\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 2. Discarded.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 14.
-----------------------------------------------------------------------------
A[9] = 9\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 14. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[10] = 5\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 5.
0, 2, 6. Discarded.
0, 2, 6, 9.
-----------------------------------------------------------------------------
A[11] = 13\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 1.
0, 1, 5.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 13.
-----------------------------------------------------------------------------
A[12] = 3\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 5. Discarded.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 13.
-----------------------------------------------------------------------------
A[13] = 11\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 11.
0, 2, 6, 9, 13. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[14] = 7\. Case 3\. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 3, 7.
0, 2, 6, 9. Discarded.
0, 2, 6, 9, 11.
----------------------------------------------------------------------------
A[15] = 15\. Case 2\. Clone and extend.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 3, 7.
0, 2, 6, 9, 11.
0, 2, 6, 9, 11, 15\. <-- LIS List
----------------------------------------------------------------------------
```
设计算法需要了解以上策略。 另外，确保我们保持以下条件：“较小列表的*结束元素小于较大列表*的结束元素”。 在进一步阅读之前，请尝试其他一些示例。 重要的是要了解结束元素发生了什么。
**算法**：
查询最长的长度相当容易。 请注意，我们仅处理末端元素。 我们不需要维护所有列表。 我们可以将结束元素存储在数组中。 丢弃操作可以通过替换进行模拟，并且扩展列表类似于向数组添加更多元素。
我们将使用辅助数组来保留结束元素。 该数组的最大长度是输入的长度。 在最坏的情况下，数组会分成`N`个大小为 1 的列表（*注意，这不会导致最坏情况下的复杂性*）。 要丢弃一个元素，我们将在辅助数组中跟踪`A[i]`的`ceil`值（再次观察您的粗略工作中的末端元素），并将`ceil`值替换为`A[i]`。 我们通过将元素添加到辅助数组来扩展列表。 我们还维护一个计数器来跟踪辅助数组的长度。
**Bonus:** You have learnt [Patience Sorting](http://en.wikipedia.org/wiki/Patience_sorting) technique partially 🙂
Here is a proverb, “*Tell me and I will forget. Show me and I will remember. Involve me and I will understand*.” So, pick a suit from deck of cards. Find the longest increasing sub-sequence of cards from the shuffled suit. You will never forget the approach. 🙂
**更新 – 2016 年 7 月 17 日**：读者们的回响颇为深刻，很少有网站引用此帖子，感到很高兴，因为我为别人提供帮助而感到辛苦。 看来读者在发表评论之前没有做任何功课。 阅读本文后要求阅读一些示例，并请在纸上做您的工作（请勿使用编辑器/编译器）。 要求是帮助自己。 对``知道''的专业不同于真正的理解（不尊重）。 以下是我的个人经历。
*最初的内容准备工作大约花了我 6 个小时。 但是，这是一个很好的教训。 我在一个小时内完成了初始代码。 当我开始写内容向读者解释时，我意识到我不理解这些案例。 拿了我的笔记本（我习惯于装订绑定的笔记本以跟踪我的粗略工作），几个小时后，我填写了将近 15 页的粗略工作。 无论您在灰色示例中看到的内容是来自这些页面的。 我强烈建议您实践《Udi Manber 算法入门》一书中的注释触发解决方案的所有思考过程。*
我怀疑，许多读者可能无法理解`CeilIndex`（二分搜索）背后的逻辑。 我把它作为练习让读者理解它是如何工作的。 在纸上浏览几个示例。 我意识到我已经在[另一篇文章](https://www.geeksforgeeks.org/the-ubiquitous-binary-search-set-1/)中介绍了该算法。
**更新 – 2016 年 8 月 5 日**：
完成工作后，以下链接值得参考。 我通过最近创建的 **Disqus** 个人资料认识了该链接。 该链接具有 Wiki 中提到的方法的说明。
[http://stackoverflow.com/questions/2631726/how-to-determine-the-longest-increasing-subsequence-using-dynamic-programming](http://stackoverflow.com/questions/2631726/how-to-determine-the-longest-increasing-subsequence-using-dynamic-programming)
下面给出的是查找 LIS 长度的代码（*更新为 C++ 11 代码，没有 C 样式的数组*），
## C++
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
// Binary search (note boundaries in the caller)
int CeilIndex(std::vector<int>& v, int l, int r, int key)
{
while (r - l > 1) {
int m = l + (r - l) / 2;
if (v[m] >= key)
r = m;
else
l = m;
}
return r;
}
int LongestIncreasingSubsequenceLength(std::vector<int>& v)
{
if (v.size() == 0)
return 0;
std::vector<int> tail(v.size(), 0);
int length = 1; // always points empty slot in tail
tail[0] = v[0];
for (size_t i = 1; i < v.size(); i++) {
// new smallest value
if (v[i] < tail[0])
tail[0] = v[i];
// v[i] extends largest subsequence
else if (v[i] > tail[length - 1])
tail[length++] = v[i];
// v[i] will become end candidate of an existing
// subsequence or Throw away larger elements in all
// LIS, to make room for upcoming grater elements
// than v[i] (and also, v[i] would have already
// appeared in one of LIS, identify the location
// and replace it)
else
tail[CeilIndex(tail, -1, length - 1, v[i])] = v[i];
}
return length;
}
int main()
{
std::vector<int> v{ 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
std::cout << "Length of Longest Increasing Subsequence is "
<< LongestIncreasingSubsequenceLength(v) << '\n';
return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to find length of longest increasing subsequence
// in O(n Log n) time
import java.io.*;
import java.util.*;
import java.lang.Math;
class LIS {
// Binary search (note boundaries in the caller)
// A[] is ceilIndex in the caller
static int CeilIndex(int A[], int l, int r, int key)
{
while (r - l > 1) {
int m = l + (r - l) / 2;
if (A[m] >= key)
r = m;
else
l = m;
}
return r;
}
static int LongestIncreasingSubsequenceLength(int A[], int size)
{
// Add boundary case, when array size is one
int[] tailTable = new int[size];
int len; // always points empty slot
tailTable[0] = A[0];
len = 1;
for (int i = 1; i < size; i++) {
if (A[i] < tailTable[0])
// new smallest value
tailTable[0] = A[i];
else if (A[i] > tailTable[len - 1])
// A[i] wants to extend largest subsequence
tailTable[len++] = A[i];
else
// A[i] wants to be current end candidate of an existing
// subsequence. It will replace ceil value in tailTable
tailTable[CeilIndex(tailTable, -1, len - 1, A[i])] = A[i];
}
return len;
}
// Driver program to test above function
public static void main(String[] args)
{
int A[] = { 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
int n = A.length;
System.out.println("Length of Longest Increasing Subsequence is " + LongestIncreasingSubsequenceLength(A, n));
}
}
/* This code is contributed by Devesh Agrawal*/
```
## Python3
```py
# Python program to find
# length of longest
# increasing subsequence
# in O(n Log n) time
# Binary search (note
# boundaries in the caller)
# A[] is ceilIndex
# in the caller
def CeilIndex(A, l, r, key):
while (r - l > 1):
m = l + (r - l)//2
if (A[m] >= key):
r = m
else:
l = m
return r
def LongestIncreasingSubsequenceLength(A, size):
# Add boundary case,
# when array size is one
tailTable = [0 for i in range(size + 1)]
len = 0 # always points empty slot
tailTable[0] = A[0]
len = 1
for i in range(1, size):
if (A[i] < tailTable[0]):
# new smallest value
tailTable[0] = A[i]
elif (A[i] > tailTable[len-1]):
# A[i] wants to extend
# largest subsequence
tailTable[len] = A[i]
len+= 1
else:
# A[i] wants to be current
# end candidate of an existing
# subsequence. It will replace
# ceil value in tailTable
tailTable[CeilIndex(tailTable, -1, len-1, A[i])] = A[i]
return len
# Driver program to
# test above function
A = [ 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 ]
n = len(A)
print("Length of Longest Increasing Subsequence is ",
LongestIncreasingSubsequenceLength(A, n))
# This code is contributed
# by Anant Agarwal.
```
## C#
```cs
// C# program to find length of longest
// increasing subsequence in O(n Log n)
// time
using System;
class GFG {
// Binary search (note boundaries
// in the caller) A[] is ceilIndex
// in the caller
static int CeilIndex(int[] A, int l,
int r, int key)
{
while (r - l > 1) {
int m = l + (r - l) / 2;
if (A[m] >= key)
r = m;
else
l = m;
}
return r;
}
static int LongestIncreasingSubsequenceLength(
int[] A, int size)
{
// Add boundary case, when array size
// is one
int[] tailTable = new int[size];
int len; // always points empty slot
tailTable[0] = A[0];
len = 1;
for (int i = 1; i < size; i++) {
if (A[i] < tailTable[0])
// new smallest value
tailTable[0] = A[i];
else if (A[i] > tailTable[len - 1])
// A[i] wants to extend largest
// subsequence
tailTable[len++] = A[i];
else
// A[i] wants to be current end
// candidate of an existing
// subsequence. It will replace
// ceil value in tailTable
tailTable[CeilIndex(tailTable, -1,
len - 1, A[i])]
= A[i];
}
return len;
}
// Driver program to test above function
public static void Main()
{
int[] A = { 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
int n = A.Length;
Console.Write("Length of Longest "
+ "Increasing Subsequence is " + LongestIncreasingSubsequenceLength(A, n));
}
}
// This code is contributed by nitin mittal.
```
## PHP
```php
<?php
// PHP program to find
// length of longest
// increasing subsequence
// in O(n Log n) time
// Binary search (note
// boundaries in the caller)
// A[] is ceilIndex
// in the caller
function CeilIndex($A, $l, $r, $key)
{
while ($r - $l > 1)
{
$m = (int)($l + ($r - $l)/2);
if ($A[$m] >= $key)
$r = $m;
else
$l = $m;
}
return $r;
}
function LongestIncreasingSubsequenceLength($A, $size)
{
// Add boundary case,
// when array size is one
$tailTable = array_fill(0, ($size + 1), 0);
$len = 0; // always points empty slot
$tailTable[0] = $A[0];
$len = 1;
for($i = 1; $i < $size; $i++)
{
if ($A[$i] < $tailTable[0])
// new smallest value
$tailTable[0] = $A[$i];
else if ($A[$i] > $tailTable[$len-1])
{
// A[i] wants to extend
// largest subsequence
$tailTable[$len] = $A[$i];
$len++;
}
else
// A[i] wants to be current
// end candidate of an existing
// subsequence. It will replace
// ceil value in tailTable
$tailTable[CeilIndex($tailTable, -1, $len-1, $A[$i])] = $A[$i];
}
return $len;
}
// Driver program to
// test above function
$A = array( 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 );
$n = count($A);
print("Length of Longest Increasing Subsequence is ".
LongestIncreasingSubsequenceLength($A, $n));
// This code is contributed by chandan_jnu
?>
```
**输出**：
```
Length of Longest Increasing Subsequence is 6
```
**复杂度**：
循环运行`N`个元素。 在最坏的情况下（什么是最坏情况的输入？），我们最终可能会使用二分搜索（`log i`）来查询许多`A[i]`的`ceil`值。
因此，`T(n) < O(log N!)= O(N log N)`。 分析以确保上限和下限也是`O(N log N)`。 复杂度为`THETA(N log N)`。
**练习**：
1. [设计一种算法，以构造最长的递增列表](https://www.geeksforgeeks.org/construction-of-longest-monotonically-increasing-subsequence-n-log-n/)。 另外，使用 DAG 对解决方案进行建模。
2. 设计一种算法，以构造**所有**的列表，这些列表具有相同的最长大小。
3. 上述算法是*在线*算法吗？
4. 设计一种算法来构造最长的*递减*列表。
[**在 C++ 中使用`lower_bound()`的替代实现**](https://www.geeksforgeeks.org/lower_bound-in-cpp/)
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int LongestIncreasingSubsequenceLength(std::vector<int>& v)
{
if (v.size() == 0)
return 0;
std::vector<int> tail(v.size(), 0);
int length = 1; // always points empty slot in tail
tail[0] = v[0];
for (int i = 1; i < v.size(); i++) {
// Do binary search for the element in
// the range from begin to begin + length
auto b = tail.begin(), e = tail.begin() + length;
auto it = lower_bound(b, e, v[i]);
// If not present change the tail element to v[i]
if (it == tail.begin() + length)
tail[length++] = v[i];
else
*it = v[i];
}
return length;
}
int main()
{
std::vector<int> v{ 2, 5, 3, 7, 11, 8, 10, 13, 6 };
std::cout << "Length of Longest Increasing Subsequence is "
<< LongestIncreasingSubsequenceLength(v);
return 0;
}
```
输出：
```
Length of Longest Increasing Subsequence is 6
```
— [Venki](http://www.linkedin.com/in/ramanawithu) 。 如果发现任何不正确的地方，或者想分享有关上述主题的更多信息，请写评论。
- GeeksForGeeks 数组教程
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- 数组介绍
- C/C++ 中的数组
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- Python 中的数组| 系列 1（简介和功能）
- C# | 数组
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- 旋转几次后，在给定索引处查找元素
- 拆分数组并将第一部分添加到末尾
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- 编写程序以反转数组或字符串
- 重新排列数组，如果i为偶数则arr[i] >= arr[j]，如果i为奇数且j < i则 arr[i] <= arr[j]
- 在O(n)时间和O(1)额外空间中重新排列正数和负数
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- 用恒定的额外空间重新排列正数和负数
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- 重新排列数组，如果arr[i]为j，则arr[j]变为i | 系列 1
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- 以最大最小形式重新排列数组| 系列 2（O(1)额外空间）
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- 根据另一个数组定义的顺序对数组进行排序
- 查找索引 0 替换为 1，以获得二进制数组中最长的连续序列 1s
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- 安排彼此相邻的线对所需的最小交换次数
- 将数组转换为 Zig-Zag 风格
- 从给定序列中形成最小数
- 将两个连续的相等值替换为一个更大的值
- 重新排列二进制字符串作为 x 和 y 的交替出现
- 数组中不同的相邻元素
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- 未排序数组中第 K 个最小/最大元素| 系列 2（预期线性时间）
- 未排序数组中第 K 个最小/最大元素| 组合 3（最坏情况的线性时间）
- 使用 STL 的第 K 个最小/最大元素
- 数组中的 k 个最大（或最小）元素| 添加了最小堆方法
- 按行和按列排序的 2D 数组中的 Kth 个最小元素| 系列 1
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- 查找数组中最大的三个元素
- 查找数组中至少有两个大元素的所有元素
- 未排序数组的均值和中位数的程序
- 使用 STL 的运行整数流的中位数
- 正整数数组中 k 个整数的最小积
- 第 K 个最大和的连续子数组
- 来自两个数组的 K 个最大和组合
- 重叠的连续子数组的 K 个最大和
- 非重叠的连续子数组的 K 个最大和
- 使用O(1)额外空间按相同顺序排列 k 个最小元素
- 在两个数组中找到具有最小和的 k 对
- 数组中两个元素的第 k 个最小绝对差
- 在数组中查找第二大元素
- 查找给定数组中出现次数最多的 k 个数字
- 查找数组中的最小和第二个最小元素
- 寻找最小的遗失号码
- 使得两个元素都不相邻的最大和
- 使用最少数量的比较的数组的最大值和最小值
- 两个元素之间的最大差异，使得较大的元素出现在较小的数字之后
- 给定数组 arr []，找到最大 j – i，使得 arr [j] > arr [i]
- 最大滑动窗口（大小为 k 的所有子数组的最大值）
- 找到两个数字之间的最小距离
- 在先增加然后减少的数组中找到最大元素
- 计算右侧较小的元素
- 最长递增子序列大小（N log N）
- 查找未排序数组中缺失的最小正数| 系列 1
- 在O(n)时间和O(1)多余空间中找到最大重复数
- 给定大小为 n 且数字为 k 的数组，找到出现次数超过 n / k 次的所有元素
- 找出长度为 3 且具有最大乘积的递增子序列
- 两个数组中的最大求和路径
- 从两个排序的数组中找到最接近的对
- 在未排序的数组中找到最大的对和
- 整个数组中最小的较大元素
- 删除小于 next 或变得更小的数组元素
- 在线检查回文的在线算法
- 删除小于 next 或变得更小的数组元素
- 找到要翻转的零，以使连续的 1 的数目最大化
- 计算严格增加的子数组
- 流中的第 K 个最大元素
- 在两个数组中找到具有最小和的 k 对
- k 元素组与数组其余部分之间的最大差值。
- 要使中位数等于 x 的最小元素数量
- 下一个更大的元素
- 范围查询
- MO 的算法（查询平方根分解）| 系列 1（简介）
- Sqrt（或平方根）分解技术 系列 1（简介）
- 稀疏表
- 使用稀疏表进行范围总和查询
- 范围最小查询（平方根分解和稀疏表）
- 数组元素的频率范围查询
- 数组上的恒定时间范围添加操作
- 范围 LCM 查询
- 数组中给定索引范围的 GCD
- 查询给定数组中所有数字的 GCD（给定范围内的元素除外）
- 给定子数组中小于或等于给定数目的元素数
- 给定子数组中小于或等于给定数字的元素数| 第 2 组（包括更新）
- 查询值在给定范围内的数组元素的计数
- 查询二进制数组的子数组的十进制值
- 计算将 L-R 范围内的所有数字相除的元素
- 给定数组范围的 XOR 之和最大的数字
- 在给定范围内出现偶数次的数字的 XOR
- 范围查询中的数组范围查询
- 数组范围查询以搜索元素
- 数组范围查询频率与值相同的元素
- 给定范围内的最大出现次数
- 给定范围内具有相等元素的索引数
- 合并排序树以获取范围顺序统计信息
- 范围内没有重复数字的总数
- 差异数组|O(1)中的范围更新查询
- 对数组的范围查询，其每个元素都是索引值与前一个元素的 XOR
- 查找子数组是否为山脉形式
- 范围总和查询，无更新
- 子数组中的素数（带有更新）
- 在二进制数组中检查子数组表示的数字是奇数还是偶数
- 用于乘法，替换和乘积的数组查询
- 数组范围的平均值
- 执行加减命令后打印修改后的数组
- 在给定范围内对偶数或奇数概率的查询
- 数组中范围的乘积
- 计算范围内的素数
- M 个范围切换操作后的二进制数组
- 合并重叠间隔
- 检查给定间隔中是否有两个间隔重叠
- 间隔之和与除数的更新
- 多次数组范围递增操作后打印修改后的数组
- 范围最大奇数的 XOR 查询
- 查询子数组中不同元素的数量
- 计数和切换二进制数组上的查询
- 数组中的最小-最大范围查询
- 优化问题
- 最大总和连续子数组
- 通过最多买卖两次股份获得最大利润
- 查找平均数最少的子数组
- 找到两个数字之间的最小距离
- 最小化高度之间的最大差异
- 到达终点的最小跳数
- 最大总和增加子序列| DP-14
- 总和大于给定值的最小子数组
- 查找 k 个长度的最大平均子数组
- 计算最小步数以获得给定的所需数组
- 乘积小于 k 的子集数
- 查找使数组回文的最小合并操作数
- 查找不能表示为给定数组的任何子集之和的最小正整数值
- 具有最大总和的子数组的大小
- 找出任何两个元素之间的最小差异
- 使用位操作进行空间优化
- 两个二进制数组中具有相同总和的最长跨度
- 排序
- 替代排序
- 对几乎排序（或 K 排序）的数组进行排序
- 根据给定值的绝对差对数组进行排序
- 以波形形式对数组进行排序
- 将大小为 n 的数组合并为大小为 m + n 的另一个数组
- 对包含 1 到 n 个值的数组进行排序
- 通过交换相邻元素将 1 排序为 N
- 对包含两种类型元素的数组进行排序
- 按频率对元素排序| 系列 1
- 计算数组中的反转 系列 1（使用合并排序）
- 两个元素的和最接近零
- 最短无序子数组
- 排序数组所需的最小交换次数
- 两个排序数组的并集和交集
- 查找两个未排序数组的并集和交集
- 对 0、1 和 2 的数组进行排序
- 找到最小长度未排序子数组，进行排序，使整个数组排序
- 中位数为整数流（运行整数）
- 计算可能的三角形数量
- 查找数组中的对数（x，y），使得 x ^ y > y ^ x
- 计算所有等于 k 的不同对
- 打印给定整数数组的所有不同元素
- 从其对和数组构造一个数组
- 合并两个有O(1)额外空间的排序数组
- 第一个数组中的最大值与第二个数组中的最小值的乘积
- 对数（a [j] > = a [i]）的对数，其中 k 个范围在（a [i]，a [j]）中，可被 x 整除
- 随机对为最大加权对的概率
- AP 数组中存在的最小解排列（算术级数）
- 对两个数组的最小乘积之和进行重新排列
- 将数组划分为 k 个片段，以最大化片段最小值的最大值
- 最小乘积对为正整数数组
- 计算形成最小产品三胞胎的方法
- 检查是否反转子数组使数组排序
- 使用另一个数组最大化元素
- 使两个数组的元素相同，最小增减
- 检查是否有任何间隔完全重叠
- 除子数组中的元素外，对数组进行排序
- 对除一个以外的所有数组元素进行排序
- 排序二进制数组所需的最小相邻交换
- 按数组中出现的元素顺序对链接列表进行排序
- 打印数组中排序的不同元素
- 可以单独排序以进行排序的最大分区数
- 使用 STL 根据因素数量进行排序
- 每次取下最小的钢丝绳后剩下的钢丝绳
- 数组中所有元素的排名
- 合并 3 个排序的数组
- 使数组递减的最小减法运算数
- 最大化 arr [i] * i 的总和
- 差异小于 K 的对
- 按排序顺序合并两个未排序的数组
- 从两个数组最大化唯一对
- 应用给定方程后对数组排序
- 每个数组元素的最小绝对差之和
- 查找是否可以使用一个外部数字使数组元素相同
- 两个未排序数组之间的最小差值对
- 程序检查数组是否排序（迭代和递归）
- 查找大于数组中一半元素的元素
- 使两个数组相同的最小交换
- 要添加的元素，以便数组中存在某个范围的所有元素
- 正在搜寻
- 搜索，插入和删除未排序的数组
- 在排序的数组中搜索，插入和删除
- 给定数组 A []和数字 x，请检查 A []中的对，总和为 x
- 在相邻项最多相差 k 的数组中搜索
- 在三个排序的数组中查找共同的元素
- 在无数排序数组中查找元素的位置
- 查找 1 到 n-1 之间的唯一重复元素
- 查找在数组中一次出现的元素，其中每个其他元素出现两次
- 排除某些元素的最大子数组总和
- 数组中的最大平衡和
- 数组的平衡指数
- 领导者数组
- 天花板排列
- 多数元素
- 检查排序数组中的多数元素
- 检查数组是否具有多数元素
- 两指针技术
- 查找峰元素
- 找到给定数组中的两个重复元素
- 在给定的数组中找到一个固定点（等于索引的值）
- 查找给定总和的子数组| 系列 1（负数）
- 数组中的最大三元组和
- 来自三个数组的最小差异三元组
- 查找一个三元组，将其总和成给定值
- 找到所有零和的三元组
- 所有合计给定值的唯一三元组
- 计算总数小于给定值的三元组
- 打印形成 AP 的排序数组中的所有三元组
- XOR 为零的唯一三元组数
- 找到一个三元组，使得两个和等于第三元素
- 查找出现次数的奇数
- 查找丢失的号码
- 计算排序数组中的出现次数（或频率）
- 给定一个已排序的数组和一个数字 x，在数组中找到总和最接近 x 的对
- 在排序的二进制数组中计数 1
- 在整数数组中找到第一个重复元素
- 从重复的数组中查找丢失的元素
- 找到重复的和丢失的| 添加了 3 种新方法
- 在未排序的数组中找到出现奇数的两个数字
- 找到具有给定差异的一对
- 找到四个总和为给定值的元素| 集合 1（n ^ 3 解）
- 找到四个总和为给定值的元素| 系列 2
- 查找是否有一个总和为 0 的子数组
- 在相邻元素之间的差为 1 的数组中搜索元素
- 一系列不同元素中的第三大元素
- 检查数组中是否存在两个元素的总和等于数组其余部分的总和
- 检查给定数组是否包含彼此之间 k 距离内的重复元素
- 使用最少的比较次数搜索未排序数组中的元素
- 连续元素排序数组中仅重复元素的计数
- 在频率大于或等于 n / 2 的排序数组中查找元素。
- 圆形数组中相邻元素的最小绝对差
- 在数组中找到第一个，第二个和第三个最小元素
- 程序来查找数组的最小（或最大）元素
- 每个数组元素中另一个数组中最接近的较大元素
- 计算O(1)额外空间和O(n)时间中数组中所有元素的频率
- 与给定的总和和距末端的最大最短距离配对
- 从数组中删除一个元素（使用两次遍历和一次遍历）
- 计算给定数组中大小为 3 的反转
- 计算给定总和的对
- 对排序向量中的二分搜索
- 困雨水
- 替换元素会使数组元素连续
- 排序数组中的第 k 个缺失元素
- O（log（min（n（n，m）））中具有不同大小的两个排序数组的中位数
- 从两个排序的数组中打印不常见的元素
- 非重复元素
- 数组中最频繁的元素
- 数组中最少的元素
- m 个元素的两个子集之间的最大差
- n 个数组中升序元素的最大和
- 配对使得一个是其他的幂倍
- 查找数组中对的数量，以使它们的 XOR 为 0
- 两次最大出现之间的最小距离
- 如果我们在数组中每次成功搜索后加倍，则找到最终值
- 排序数组中的最后一个重复元素
- 找到一个数组元素，使所有元素都可被它整除
- 以原始顺序查找数组的 k 个最大元素
- 数组中的最大值，至少是其他元素的两倍
- 连续步骤到屋顶
- 两个大小的组之间的最大差异
- 两个大小的组之间的最小差异
- 未排序整数列表中最接近的数字
- 值和索引和的最大绝对差
- 数组中局部极值的数量
- 检查数组是否具有多数元素
- 查找数组中最接近的数字
- 最大和的对数
- 按原始顺序打印给定数组中的 n 个最小元素
- 查找给定数组中缺少的前 k 个自然数
- 数组中的高尚整数（大于等于的元素数等于 value）
- 两个数组对的绝对差的最小和
- 查找数组中非重复（不同）元素的总和
- 检查是否可以从给定数组形成算术级数
- 数组的最小乘积子集
- 计算选择差异最大的对的方法
- 每次成功搜索后通过将元素加倍来重复搜索
- 允许负数的数组中成对乘积的最大和
- 矩阵
- 旋转矩阵元素
- 将方形矩阵旋转 90 度| 系列 1
- 将矩阵旋转 90 度，而无需使用任何额外空间| 系列 2
- 将矩阵旋转 180 度
- 用 K 元素逆时针旋转矩阵的每个环
- 将图像旋转 90 度
- 检查矩阵的所有行是否都是彼此旋转
- 排序给定矩阵
- 查找最大数量为 1 的行
- 在按行排序的矩阵中找到中位数
- 矩阵乘法| 递归的
- 程序将两个矩阵相乘
- 矩阵的标量乘法程序
- 程序打印数组的下三角和上三角矩阵
- 查找矩阵所有行共有的不同元素
- 以螺旋形式打印给定的矩阵
- 查找矩阵中每一行的最大元素
- 在矩阵中查找唯一元素
- 将矩阵元素逐行移动 k
- 矩阵的不同运算
- 以逆时针螺旋形式打印给定矩阵
- 交换方矩阵的主要和次要对角线
- 矩阵中的最大路径总和
- 矩阵对角元素的正方形
- 沿给定方向移动矩阵元素并添加具有相同值的元素
- 按升序对矩阵行进行排序，然后按降序对列进行排序
- 矩阵中间行和列的总和
- 矩阵的按行遍历与按列遍历
- 向右旋转矩阵 K 次
- 检查幂等矩阵的程序
- 程序检查对合矩阵
- 矩阵中第一行和最后一行的交换元素
- zag-zag 方式打印矩阵
- 二维数组中的按行排序
- 马尔可夫矩阵程序
- 检查对角矩阵和标量矩阵的程序
- 按行和列对矩阵进行排序
- 查找岛屿数| 系列 1（使用 DFS）
- 魔术广场| 偶数订单
- 魔术广场
- 检查给定矩阵是否为幻方
- 检查给定矩阵是否为幻方
- 两种矩阵的 Kronecker 积
- 计数总和可分为“ k”的子矩阵
- 对角占优矩阵
- 使矩阵的每一行和每一列相等所需的最少操作
- 计算大小为 n 的矩阵中 k 的频率，其中 matrix（i，j）= i + j
- 给定 1、2、3……k 以之字形打印它们。
- 皇后可以在棋盘上移动的障碍物数量
- 矩阵中 4 个相邻元素的最大积
- 使二进制矩阵对称所需的最小翻转
- 程序检查矩阵是否为下三角
- 程序检查矩阵是否为上三角
- 矩阵中偶数和奇数的频率
- 矩阵的中心元素等于对角线的一半
- 身份矩阵程序
- 程序用矩阵的下对角元素交换上对角元素。
- 稀疏矩阵表示| 系列 3（CSR）
- 填充矩阵以使所有行和所有列的乘积等于 1 的方式
- 矩阵对角线的镜像
- 查找二进制矩阵中是否有一个角为 1 的矩形
- 查找所有填充有 0 的矩形
- 矩阵或网格中两个单元之间的最短距离
- 计算二进制矩阵中 1 和 0 的集合
- 搜索按行和按列排序的矩阵
- 创建具有 O 和 X 的交替矩形的矩阵
- 矩阵的锯齿形（或对角线）遍历
- 原位（固定空间）M x N 大小的矩阵转置| 更新
- 排序从 0 到 n ^ 2 – 1 的数字矩阵的最低成本
- 二进制矩阵中的唯一像元
- 计算特殊矩阵中等于 x 的条目
- 检查给定矩阵是否稀疏
- 方矩阵的两个对角线中的行式公共元素
- 检查矩阵中第 i 行和第 i 列的总和是否相同
- 查找最大数为 1 的二进制矩阵的行号
- 程序检查矩阵是否对称
- 通过遵循单元格值来查找二维数组是否被完全遍历
- 程序以 Z 格式打印矩阵
- 在矩阵中从左上到右下打印所有回文路径
- 骑士的可能举动
- 有效地计算矩阵的对角线总和
- 矩阵的边界元素
- 从点开始以螺旋形式打印矩阵
- 以蛇形图案打印矩阵
- 矩阵对角线互换程序
- 找出两个对角线之和之间的差
- 从给定的二叉树构造祖先矩阵
- 从祖先矩阵构造树
- 圆形矩阵（以螺旋方式构造数字 1 到 m * n 的矩阵）
- Sudoku Generator 程序
- 康威人生游戏计划
- 矩阵中沙漏的最大和
- 方阵中的最大值和最小值。
- 以防螺旋形式打印矩阵
- 查找矩阵的法线和迹线的程序
- 以各种方式对矩阵进行排序
- 设置二进制矩阵的所有元素所需的最少操作
- 以反向螺旋形式打印给定的矩阵
- C 程序检查矩阵是否倾斜对称
- 矩阵元素的总和，其中每个元素是行和列的整数除法
- 稀疏矩阵及其表示| 系列 2（使用列表和键字典）
- 查找使两个矩阵相等的变换数
- 形成矩阵线圈
- 每个元素是其行号和列号的绝对差的矩阵总和
- 检查二进制矩阵中的水平和垂直对称性
- 每个值为 0 或 n 的矩阵的最大行列式
- 螺旋奇数阶方阵的两个对角线之和
- 在二进制矩阵中找到具有最大位差的行对
- 查找矩阵中给定行的所有置换行
- 在二进制矩阵中查找以 1s 形成的形状的周长
- 在矩阵中打印具有相同矩形和的单元格
- 以对角线图案打印矩阵
- 矩阵中两行元素之和的最大差
- 查找具有给定总和的对，以便该对的元素位于不同的行中
- 二进制矩阵中所有零的总覆盖率
- 用行或列的最大 GCD 替换每个矩阵元素
- 计算矩阵中所有排序的行
- 矩阵查询
- 矩阵中的最大 XOR 值
- 可以从下到右传输光线的最大反射镜
- 最后一个方块的方向
- 以矩阵的螺旋形式打印第 K 个元素
- 查找给定的矩阵是否为 Toeplitz
- 在按行和按列排序的矩阵中计数零
- 在列明智和行明智排序矩阵中计算负数
- 在二进制矩阵中查找所有位形成的最大“ +”的大小
- 返回扩展矩阵中的前一个元素
- 使用O(1)额外空间打印 n x n 螺旋矩阵
- 二进制迷宫中的最短路径
- 查找矩阵中图案的方向
- 在矩阵中查找特定对
- 打印给定大小的最大和平方子矩阵
- 给定矩阵的所有行中的公共元素
- 按特定顺序就地转换矩阵
- 布尔矩阵问题
- 给定布尔矩阵，找到 k，使第 k 行中的所有元素均为 0，第 k 列为 1。
- 在给定的布尔矩阵中打印唯一行
- 找到 1 的最大矩形，并允许交换列
- 给定井字棋盘配置的有效性
- 子矩阵总和查询
- 矩阵排名程序
- 全为 1 的最大尺寸矩形二进制子矩阵
- 全为 1 的最大尺寸正方形子矩阵
- 查找矩阵中除给定单元格的行和/或列中的元素以外的所有元素的总和？
- 计算每个岛按行和列分隔的岛数
- 在给定的按行排序的矩阵的所有行中找到一个公共元素
- 给定矩阵“ O”和“ X”，如果被“ X”包围，则将“ O”替换为“ X”
- 给定矩阵“ O”和“ X”，找到被“ X”包围的最大子正方形
- 洪水填充算法–如何在 paint 中实现 fill（）？
- 从行和列的排序矩阵中按排序顺序打印所有元素
- 给定一个 n x n 方阵，求出大小为 k x k 的所有子方和
- 查找矩阵转置的程序
- 用于添加两个矩阵的程序
- 矩阵减法程序
- 使用两次遍历收集网格中的最大点
- 在死胡同之前收集最多硬币
- 正好有 k 个硬币的路径数
- 查找从给定起始字符开始的最长连续路径的长度
- 在给定约束条件下找到矩阵中的最长路径
- 到达目的地的最低初始点
- 分而治之| 第 5 组（Strassen 的矩阵乘法）
- 2D 矩阵中的最大和矩形| DP-27
- 杂项
- 子数组/子字符串与子序列以及生成它们的程序
- 产品数组难题
- 具有给定乘积的子数组数
- 链表与数组
- 检查数组元素是否连续 新增方法 3
- 查找一个数组是否是另一个数组的子集 新增方法 3
- 在一个数组中实现两个堆栈
- 查找两个排序数组的相对补码
- 通过 k 次运算的最小增量以使所有元素相等
- 最小化三个不同排序数组的（max（A [i]，B [j]，C [k]）– min（A [i]，B [j]，C [k]））