# 稀疏表
> 原文： [https://www.geeksforgeeks.org/sparse-table/](https://www.geeksforgeeks.org/sparse-table/)
我们已经在[范围最小查询（平方根分解和稀疏表）](https://www.geeksforgeeks.org/range-minimum-query-for-static-array/)中简要讨论了稀疏表。
稀疏表概念用于对一组静态数据进行快速查询（元素不变）。 它进行预处理，以便可以有效地回答查询。
示例问题 1：范围最小查询
我们有一个数组`arr[0 ... n-1]`。 我们需要有效地找到从索引`L`（查询开始）到`R`（查询结束）的最小值，其中`0 <= L <= R <= n-1`。 考虑存在许多范围查询的情况。
**示例**：
```
Input: arr[] = {7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18};
query[] = [0, 4], [4, 7], [7, 8]
Output: Minimum of [0, 4] is 0
Minimum of [4, 7] is 3
Minimum of [7, 8] is 12
```
这个想法是预先计算所有大小为`2^j`的子数组的最小值，其中`j`从 0 到`log n`变化。 我们进行表`lookup[i][j]`的查找，使`lookup[i][j]`包含从`i`开始且范围为`2^j`的最小值。 例如，`lookup[0][3]`包含范围为`[0, 7]`的最小值（从 0 开始且大小为`2^3`）
**如何填充此查找表或稀疏表？**
这个想法很简单，使用以前计算的值以自下而上的方式填充。 我们使用 2 的较低乘方的值计算 2 的当前乘方的范围。 例如，要找到范围`[0, 7]`的最小值（范围大小是 3 的幂），我们可以使用以下两个最小值。
a）范围`[0, 3]`的最小值（范围大小是 2 的幂）
b）范围`[4, 7]`的最小值（范围大小是 2 的幂）
根据上面的示例，下面是公式，
```
// Minimum of single element subarrays is same
// as the only element.
lookup[i][0] = arr[i]
// If lookup[0][2] <= lookup[4][2],
// then lookup[0][3] = lookup[0][2]
If lookup[i][j-1] <= lookup[i+2j-1-1][j-1]
lookup[i][j] = lookup[i][j-1]
// If lookup[0][2] > lookup[4][2],
// then lookup[0][3] = lookup[4][2]
Else
lookup[i][j] = lookup[i+2j-1-1][j-1]
```
对于任意范围`[L, R]`，我们需要使用 2 的幂的范围。想法是使用 2 的最接近的幂。我们总是需要最多进行一次比较（比较两个是 2 的幂的范围的最小值。 一个范围以`L`开头，以“`L +`最近的 2 的幂”结尾。 另一个范围以`R`结束，并以“`R – `最接近的 2 的幂`+ 1`”开头。 例如，如果给定范围是`(2, 10)`，我们比较两个范围`(2, 9)`和`(3, 10)`中的最小值。
Based on above example, below is formula,
```
// For (2, 10), j = floor(Log<sub>2</sub>(10-2+1)) = 3
j = floor(Log(R-L+1))
// If lookup[0][3] <= lookup[3][3],
// then min(2, 10) = lookup[0][3]
If lookup[L][j] <= lookup[R-(int)pow(2, j)+1][j]
min(L, R) = lookup[L][j]
// If lookup[0][3] > arr[lookup[3][3],
// then min(2, 10) = lookup[3][3]
Else
min(L, R) = lookup[i+2j-1-1][j-1]
```
由于我们只进行一次比较，因此查询的时间复杂度为`O(1)`。
以下是上述想法的实现。
## C++
```cpp
// C++ program to do range minimum query
// using sparse table
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 500
// lookup[i][j] is going to store minimum
// value in arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
int lookup[MAX][MAX];
// Fills lookup array lookup[][] in bottom up manner.
void buildSparseTable(int arr[], int n)
{
// Initialize M for the intervals with length 1
for (int i = 0; i < n; i++)
lookup[i][0] = arr[i];
// Compute values from smaller to bigger intervals
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
// Compute minimum value for all intervals with
// size 2^j
for (int i = 0; (i + (1 << j) - 1) < n; i++) {
// For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]
// and arr[lookup[3][10]]
if (lookup[i][j - 1] <
lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1])
lookup[i][j] = lookup[i][j - 1];
else
lookup[i][j] =
lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
}
}
// Returns minimum of arr[L..R]
int query(int L, int R)
{
// Find highest power of 2 that is smaller
// than or equal to count of elements in given
// range. For [2, 10], j = 3
int j = (int)log2(R - L + 1);
// Compute minimum of last 2^j elements with first
// 2^j elements in range.
// For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]] and
// arr[lookup[3][3]],
if (lookup[L][j] <= lookup[R - (1 << j) + 1][j])
return lookup[L][j];
else
return lookup[R - (1 << j) + 1][j];
}
// Driver program
int main()
{
int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
buildSparseTable(a, n);
cout << query(0, 4) << endl;
cout << query(4, 7) << endl;
cout << query(7, 8) << endl;
return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to do range minimum query
// using sparse table
import java.io.*;
class GFG {
static int MAX =500;
// lookup[i][j] is going to store minimum
// value in arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
static int [][]lookup = new int[MAX][MAX];
// Fills lookup array lookup[][] in bottom up manner.
static void buildSparseTable(int arr[], int n)
{
// Initialize M for the intervals with length 1
for (int i = 0; i < n; i++)
lookup[i][0] = arr[i];
// Compute values from smaller to bigger intervals
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
// Compute minimum value for all intervals with
// size 2^j
for (int i = 0; (i + (1 << j) - 1) < n; i++) {
// For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]
// and arr[lookup[3][10]]
if (lookup[i][j - 1] <
lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1])
lookup[i][j] = lookup[i][j - 1];
else
lookup[i][j] =
lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
}
}
}
// Returns minimum of arr[L..R]
static int query(int L, int R)
{
// Find highest power of 2 that is smaller
// than or equal to count of elements in given
// range. For [2, 10], j = 3
int j = (int)Math.log(R - L + 1);
// Compute minimum of last 2^j elements with first
// 2^j elements in range.
// For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]] and
// arr[lookup[3][3]],
if (lookup[L][j] <= lookup[R - (1 << j) + 1][j])
return lookup[L][j];
else
return lookup[R - (1 << j) + 1][j];
}
// Driver program
public static void main (String[] args)
{
int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
int n = a.length;
buildSparseTable(a, n);
System.out.println(query(0, 4));
System.out.println(query(4, 7));
System.out.println(query(7, 8));
}
}
// This code is contributed by vt_m.
```
## Python3
```py
# Python3 program to do range minimum
# query using sparse table
import math
# Fills lookup array lookup[][] in
# bottom up manner.
def buildSparseTable(arr, n):
# Initialize M for the intervals
# with length 1
for i in range(0, n):
lookup[i][0] = arr[i]
j = 1
# Compute values from smaller to
# bigger intervals
while (1 << j) <= n:
# Compute minimum value for all
# intervals with size 2^j
i = 0
while (i + (1 << j) - 1) < n:
# For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]
# and arr[lookup[3][10]]
if (lookup[i][j - 1] <
lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1]):
lookup[i][j] = lookup[i][j - 1]
else:
lookup[i][j] = \
lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1]
i += 1
j += 1
# Returns minimum of arr[L..R]
def query(L, R):
# Find highest power of 2 that is smaller
# than or equal to count of elements in
# given range. For [2, 10], j = 3
j = int(math.log2(R - L + 1))
# Compute minimum of last 2^j elements
# with first 2^j elements in range.
# For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]]
# and arr[lookup[3][3]],
if lookup[L][j] <= lookup[R - (1 << j) + 1][j]:
return lookup[L][j]
else:
return lookup[R - (1 << j) + 1][j]
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
a = [7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18]
n = len(a)
MAX = 500
# lookup[i][j] is going to store minimum
# value in arr[i..j]. Ideally lookup table
# size should not be fixed and should be
# determined using n Log n. It is kept
# constant to keep code simple.
lookup = [[0 for i in range(MAX)]
for j in range(MAX)]
buildSparseTable(a, n)
print(query(0, 4))
print(query(4, 7))
print(query(7, 8))
# This code is contributed by Rituraj Jain
```
## C#
```cs
// C# program to do range minimum query
// using sparse table
using System;
public class GFG {
static int MAX= 500;
// lookup[i][j] is going to store minimum
// value in arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
static int [,]lookup = new int[MAX, MAX];
// Fills lookup array lookup[][] in bottom up manner.
static void buildSparseTable(int []arr, int n)
{
// Initialize M for the intervals with length 1
for (int i = 0; i < n; i++)
lookup[i, 0] = arr[i];
// Compute values from smaller to bigger intervals
for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
// Compute minimum value for all intervals with
// size 2^j
for (int i = 0; (i + (1 << j) - 1) < n; i++) {
// For arr[2][10], we compare arr[lookup[0][7]]
// and arr[lookup[3][10]]
if (lookup[i, j - 1] <
lookup[i + (1 << (j - 1)), j - 1])
lookup[i, j] = lookup[i, j - 1];
else
lookup[i, j] =
lookup[i + (1 << (j - 1)), j - 1];
}
}
}
// Returns minimum of arr[L..R]
static int query(int L, int R)
{
// Find highest power of 2 that is smaller
// than or equal to count of elements in given
// range. For [2, 10], j = 3
int j = (int)Math.Log(R - L + 1);
// Compute minimum of last 2^j elements with first
// 2^j elements in range.
// For [2, 10], we compare arr[lookup[0][3]] and
// arr[lookup[3][3]],
if (lookup[L, j] <= lookup[R - (1 << j) + 1, j])
return lookup[L, j];
else
return lookup[R - (1 << j) + 1, j];
}
// Driver program
static public void Main ()
{
int []a = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
int n = a.Length;
buildSparseTable(a, n);
Console.WriteLine(query(0, 4));
Console.WriteLine(query(4, 7));
Console.WriteLine(query(7, 8));
}
}
// This code is contributed by vt_m.
```
Output:
```
Minimum of [0, 4] is 0
Minimum of [4, 7] is 3
Minimum of [7, 8] is 12
```
因此，稀疏表方法支持`O(1)`时间，`O(N log N)`预处理时间和`O(N log N)`空间的查询操作。
示例问题 2：范围 GCD 查询
我们有一个数组`arr[0 ... n-1]`。 我们需要找到`L`和`R`范围内的[最大公约数](https://www.geeksforgeeks.org/c-program-find-gcd-hcf-two-numbers/)，其中 `0 <= L <= R <= n-1`。 考虑存在许多范围查询的情况，例如：
```
Input : arr[] = {2, 3, 5, 4, 6, 8}
queries[] = {(0, 2), (3, 5), (2, 3)}
Output : 1
2
1
```
**我们使用 GCD 的以下属性**：
* GCD 函数是关联的，`GCD(a, b, c)= GCD(GCD(a, b), c)= GCD(a, GCD(b, c))`，我们可以使用子范围的 GCD 计算范围的 GCD 。
* 如果我们多次采用重叠范围的 GCD，那么它不会改变答案。 例如，`GCD(a, b, c)= GCD(GCD(a, b), GCD(b, c))`。 因此，像最小范围查询问题一样，我们只需进行一次比较即可找到给定范围的 GCD。
我们使用与上述相同的逻辑构建一个稀疏表。 建立稀疏表后，我们可以通过以 2 的幂打破给定范围来找到所有 GCD，并将每张 GCD 加到当前答案中。
## C++
```
// C++ program to do range minimum query
// using sparse table
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 500
// lookup[i][j] is going to store GCD of
// arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
int table[MAX][MAX];
// it builds sparse table.
void buildSparseTable(int arr[], int n)
{
// GCD of single element is element itself
for (int i = 0; i < n; i++)
table[i][0] = arr[i];
// Build sparse table
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int i = 0; i <= n - (1 << j); i++)
table[i][j] = __gcd(table[i][j - 1],
table[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
// Returns GCD of arr[L..R]
int query(int L, int R)
{
// Find highest power of 2 that is smaller
// than or equal to count of elements in given
// range.For [2, 10], j = 3
int j = (int)log2(R - L + 1);
// Compute GCD of last 2^j elements with first
// 2^j elements in range.
// For [2, 10], we find GCD of arr[lookup[0][3]] and
// arr[lookup[3][3]],
return __gcd(table[L][j], table[R - (1 << j) + 1][j]);
}
// Driver program
int main()
{
int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
buildSparseTable(a, n);
cout << query(0, 2) << endl;
cout << query(1, 3) << endl;
cout << query(4, 5) << endl;
return 0;
}
```
## Java
```java
// Java program to do range minimum query
// using sparse table
import java.util.*;
class GFG
{
static final int MAX = 500;
// lookup[i][j] is going to store GCD of
// arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
static int [][]table = new int[MAX][MAX];
// it builds sparse table.
static void buildSparseTable(int arr[],
int n)
{
// GCD of single element is
// element itself
for (int i = 0; i < n; i++)
table[i][0] = arr[i];
// Build sparse table
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int i = 0; i <= n - (1 << j); i++)
table[i][j] = __gcd(table[i][j - 1],
table[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
// Returns GCD of arr[L..R]
static int query(int L, int R)
{
// Find highest power of 2 that is
// smaller than or equal to count of
// elements in given range.For [2, 10], j = 3
int j = (int)Math.log(R - L + 1);
// Compute GCD of last 2^j elements
// with first 2^j elements in range.
// For [2, 10], we find GCD of
// arr[lookup[0][3]] and arr[lookup[3][3]],
return __gcd(table[L][j],
table[R - (1 << j) + 1][j]);
}
static int __gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : __gcd(b, a % b);
}
// Driver Code
public static void main(String[] args)
{
int a[] = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
int n = a.length;
buildSparseTable(a, n);
System.out.print(query(0, 2) + "\n");
System.out.print(query(1, 3) + "\n");
System.out.print(query(4, 5) + "\n");
}
}
// This code is contributed by PrinciRaj1992
```
## Python3
```py
# Python3 program to do range minimum
# query using sparse table
import math
# Fills lookup array lookup[][] in
# bottom up manner.
def buildSparseTable(arr, n):
# GCD of single element is element itself
for i in range(0, n):
table[i][0] = arr[i]
# Build sparse table
j = 1
while (1 << j) <= n:
i = 0
while i <= n - (1 << j):
table[i][j] = math.gcd(table[i][j - 1],
table[i + (1 << (j - 1))][j - 1])
i += 1
j += 1
# Returns minimum of arr[L..R]
def query(L, R):
# Find highest power of 2 that is smaller
# than or equal to count of elements in
# given range. For [2, 10], j = 3
j = int(math.log2(R - L + 1))
# Compute GCD of last 2^j elements with
# first 2^j elements in range.
# For [2, 10], we find GCD of arr[lookup[0][3]]
# and arr[lookup[3][3]],
return math.gcd(table[L][j],
table[R - (1 << j) + 1][j])
# Driver Code
if __name__ == "__main__":
a = [7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18]
n = len(a)
MAX = 500
# lookup[i][j] is going to store minimum
# value in arr[i..j]. Ideally lookup table
# size should not be fixed and should be
# determined using n Log n. It is kept
# constant to keep code simple.
table = [[0 for i in range(MAX)]
for j in range(MAX)]
buildSparseTable(a, n)
print(query(0, 2))
print(query(1, 3))
print(query(4, 5))
# This code is contributed by Rituraj Jain
```
## C#
```
// C# program to do range minimum query
// using sparse table
using System;
class GFG
{
static readonly int MAX = 500;
// lookup[i,j] is going to store GCD of
// arr[i..j]. Ideally lookup table
// size should not be fixed and should be
// determined using n Log n. It is kept
// constant to keep code simple.
static int [,]table = new int[MAX, MAX];
// it builds sparse table.
static void buildSparseTable(int []arr,
int n)
{
// GCD of single element is
// element itself
for (int i = 0; i < n; i++)
table[i, 0] = arr[i];
// Build sparse table
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int i = 0; i <= n - (1 << j); i++)
table[i, j] = __gcd(table[i, j - 1],
table[i + (1 << (j - 1)),
j - 1]);
}
// Returns GCD of arr[L..R]
static int query(int L, int R)
{
// Find highest power of 2 that is
// smaller than or equal to count of
// elements in given range.
// For [2, 10], j = 3
int j = (int)Math.Log(R - L + 1);
// Compute GCD of last 2^j elements
// with first 2^j elements in range.
// For [2, 10], we find GCD of
// arr[lookup[0,3]] and arr[lookup[3,3]],
return __gcd(table[L, j],
table[R - (1 << j) + 1, j]);
}
static int __gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : __gcd(b, a % b);
}
// Driver Code
public static void Main(String[] args)
{
int []a = { 7, 2, 3, 0, 5, 10, 3, 12, 18 };
int n = a.Length;
buildSparseTable(a, n);
Console.Write(query(0, 2) + "\n");
Console.Write(query(1, 3) + "\n");
Console.Write(query(4, 5) + "\n");
}
}
// This code is contributed by Rajput-Ji
```
**输出**：
```
1
1
5
```
* * *
* * *
- GeeksForGeeks 数组教程
- 介绍
- 数组介绍
- C/C++ 中的数组
- Java 中的数组
- Python 中的数组| 系列 1（简介和功能）
- C# | 数组
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- 数组旋转的块交换算法
- 程序循环旋转一个数组
- 在经过排序和旋转的数组中搜索元素
- 给定一个经过排序和旋转的数组，查找是否存在一对具有给定总和的数组
- 在只允许旋转给定数组的情况下找到Sum(i * arr[i])的最大值
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- 在旋转排序数组中找到旋转计数
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- 将所有零移动到数组的末尾| 系列 2（使用单遍历）
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- 重新排列数组，使偶数索引元素较小而奇数索引元素较大
- 正数元素位于偶数位置，负数元素位于奇数位置（不保持相对顺序）
- 用上一个和下一个的乘法替换每个数组元素
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- 最长的双子序列| DP-15
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- 最大产品子数组
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- 安排彼此相邻的线对所需的最小交换次数
- 将数组转换为 Zig-Zag 风格
- 从给定序列中形成最小数
- 将两个连续的相等值替换为一个更大的值
- 重新排列二进制字符串作为 x 和 y 的交替出现
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- 使用 STL 的第 K 个最小/最大元素
- 数组中的 k 个最大（或最小）元素| 添加了最小堆方法
- 按行和按列排序的 2D 数组中的 Kth 个最小元素| 系列 1
- 程序以查找数组中的最大元素
- 查找数组中最大的三个元素
- 查找数组中至少有两个大元素的所有元素
- 未排序数组的均值和中位数的程序
- 使用 STL 的运行整数流的中位数
- 正整数数组中 k 个整数的最小积
- 第 K 个最大和的连续子数组
- 来自两个数组的 K 个最大和组合
- 重叠的连续子数组的 K 个最大和
- 非重叠的连续子数组的 K 个最大和
- 使用O(1)额外空间按相同顺序排列 k 个最小元素
- 在两个数组中找到具有最小和的 k 对
- 数组中两个元素的第 k 个最小绝对差
- 在数组中查找第二大元素
- 查找给定数组中出现次数最多的 k 个数字
- 查找数组中的最小和第二个最小元素
- 寻找最小的遗失号码
- 使得两个元素都不相邻的最大和
- 使用最少数量的比较的数组的最大值和最小值
- 两个元素之间的最大差异，使得较大的元素出现在较小的数字之后
- 给定数组 arr []，找到最大 j – i，使得 arr [j] > arr [i]
- 最大滑动窗口（大小为 k 的所有子数组的最大值）
- 找到两个数字之间的最小距离
- 在先增加然后减少的数组中找到最大元素
- 计算右侧较小的元素
- 最长递增子序列大小（N log N）
- 查找未排序数组中缺失的最小正数| 系列 1
- 在O(n)时间和O(1)多余空间中找到最大重复数
- 给定大小为 n 且数字为 k 的数组，找到出现次数超过 n / k 次的所有元素
- 找出长度为 3 且具有最大乘积的递增子序列
- 两个数组中的最大求和路径
- 从两个排序的数组中找到最接近的对
- 在未排序的数组中找到最大的对和
- 整个数组中最小的较大元素
- 删除小于 next 或变得更小的数组元素
- 在线检查回文的在线算法
- 删除小于 next 或变得更小的数组元素
- 找到要翻转的零，以使连续的 1 的数目最大化
- 计算严格增加的子数组
- 流中的第 K 个最大元素
- 在两个数组中找到具有最小和的 k 对
- k 元素组与数组其余部分之间的最大差值。
- 要使中位数等于 x 的最小元素数量
- 下一个更大的元素
- 范围查询
- MO 的算法（查询平方根分解）| 系列 1（简介）
- Sqrt（或平方根）分解技术 系列 1（简介）
- 稀疏表
- 使用稀疏表进行范围总和查询
- 范围最小查询（平方根分解和稀疏表）
- 数组元素的频率范围查询
- 数组上的恒定时间范围添加操作
- 范围 LCM 查询
- 数组中给定索引范围的 GCD
- 查询给定数组中所有数字的 GCD（给定范围内的元素除外）
- 给定子数组中小于或等于给定数目的元素数
- 给定子数组中小于或等于给定数字的元素数| 第 2 组（包括更新）
- 查询值在给定范围内的数组元素的计数
- 查询二进制数组的子数组的十进制值
- 计算将 L-R 范围内的所有数字相除的元素
- 给定数组范围的 XOR 之和最大的数字
- 在给定范围内出现偶数次的数字的 XOR
- 范围查询中的数组范围查询
- 数组范围查询以搜索元素
- 数组范围查询频率与值相同的元素
- 给定范围内的最大出现次数
- 给定范围内具有相等元素的索引数
- 合并排序树以获取范围顺序统计信息
- 范围内没有重复数字的总数
- 差异数组|O(1)中的范围更新查询
- 对数组的范围查询，其每个元素都是索引值与前一个元素的 XOR
- 查找子数组是否为山脉形式
- 范围总和查询，无更新
- 子数组中的素数（带有更新）
- 在二进制数组中检查子数组表示的数字是奇数还是偶数
- 用于乘法，替换和乘积的数组查询
- 数组范围的平均值
- 执行加减命令后打印修改后的数组
- 在给定范围内对偶数或奇数概率的查询
- 数组中范围的乘积
- 计算范围内的素数
- M 个范围切换操作后的二进制数组
- 合并重叠间隔
- 检查给定间隔中是否有两个间隔重叠
- 间隔之和与除数的更新
- 多次数组范围递增操作后打印修改后的数组
- 范围最大奇数的 XOR 查询
- 查询子数组中不同元素的数量
- 计数和切换二进制数组上的查询
- 数组中的最小-最大范围查询
- 优化问题
- 最大总和连续子数组
- 通过最多买卖两次股份获得最大利润
- 查找平均数最少的子数组
- 找到两个数字之间的最小距离
- 最小化高度之间的最大差异
- 到达终点的最小跳数
- 最大总和增加子序列| DP-14
- 总和大于给定值的最小子数组
- 查找 k 个长度的最大平均子数组
- 计算最小步数以获得给定的所需数组
- 乘积小于 k 的子集数
- 查找使数组回文的最小合并操作数
- 查找不能表示为给定数组的任何子集之和的最小正整数值
- 具有最大总和的子数组的大小
- 找出任何两个元素之间的最小差异
- 使用位操作进行空间优化
- 两个二进制数组中具有相同总和的最长跨度
- 排序
- 替代排序
- 对几乎排序（或 K 排序）的数组进行排序
- 根据给定值的绝对差对数组进行排序
- 以波形形式对数组进行排序
- 将大小为 n 的数组合并为大小为 m + n 的另一个数组
- 对包含 1 到 n 个值的数组进行排序
- 通过交换相邻元素将 1 排序为 N
- 对包含两种类型元素的数组进行排序
- 按频率对元素排序| 系列 1
- 计算数组中的反转 系列 1（使用合并排序）
- 两个元素的和最接近零
- 最短无序子数组
- 排序数组所需的最小交换次数
- 两个排序数组的并集和交集
- 查找两个未排序数组的并集和交集
- 对 0、1 和 2 的数组进行排序
- 找到最小长度未排序子数组，进行排序，使整个数组排序
- 中位数为整数流（运行整数）
- 计算可能的三角形数量
- 查找数组中的对数（x，y），使得 x ^ y > y ^ x
- 计算所有等于 k 的不同对
- 打印给定整数数组的所有不同元素
- 从其对和数组构造一个数组
- 合并两个有O(1)额外空间的排序数组
- 第一个数组中的最大值与第二个数组中的最小值的乘积
- 对数（a [j] > = a [i]）的对数，其中 k 个范围在（a [i]，a [j]）中，可被 x 整除
- 随机对为最大加权对的概率
- AP 数组中存在的最小解排列（算术级数）
- 对两个数组的最小乘积之和进行重新排列
- 将数组划分为 k 个片段，以最大化片段最小值的最大值
- 最小乘积对为正整数数组
- 计算形成最小产品三胞胎的方法
- 检查是否反转子数组使数组排序
- 使用另一个数组最大化元素
- 使两个数组的元素相同，最小增减
- 检查是否有任何间隔完全重叠
- 除子数组中的元素外，对数组进行排序
- 对除一个以外的所有数组元素进行排序
- 排序二进制数组所需的最小相邻交换
- 按数组中出现的元素顺序对链接列表进行排序
- 打印数组中排序的不同元素
- 可以单独排序以进行排序的最大分区数
- 使用 STL 根据因素数量进行排序
- 每次取下最小的钢丝绳后剩下的钢丝绳
- 数组中所有元素的排名
- 合并 3 个排序的数组
- 使数组递减的最小减法运算数
- 最大化 arr [i] * i 的总和
- 差异小于 K 的对
- 按排序顺序合并两个未排序的数组
- 从两个数组最大化唯一对
- 应用给定方程后对数组排序
- 每个数组元素的最小绝对差之和
- 查找是否可以使用一个外部数字使数组元素相同
- 两个未排序数组之间的最小差值对
- 程序检查数组是否排序（迭代和递归）
- 查找大于数组中一半元素的元素
- 使两个数组相同的最小交换
- 要添加的元素，以便数组中存在某个范围的所有元素
- 正在搜寻
- 搜索，插入和删除未排序的数组
- 在排序的数组中搜索，插入和删除
- 给定数组 A []和数字 x，请检查 A []中的对，总和为 x
- 在相邻项最多相差 k 的数组中搜索
- 在三个排序的数组中查找共同的元素
- 在无数排序数组中查找元素的位置
- 查找 1 到 n-1 之间的唯一重复元素
- 查找在数组中一次出现的元素，其中每个其他元素出现两次
- 排除某些元素的最大子数组总和
- 数组中的最大平衡和
- 数组的平衡指数
- 领导者数组
- 天花板排列
- 多数元素
- 检查排序数组中的多数元素
- 检查数组是否具有多数元素
- 两指针技术
- 查找峰元素
- 找到给定数组中的两个重复元素
- 在给定的数组中找到一个固定点（等于索引的值）
- 查找给定总和的子数组| 系列 1（负数）
- 数组中的最大三元组和
- 来自三个数组的最小差异三元组
- 查找一个三元组，将其总和成给定值
- 找到所有零和的三元组
- 所有合计给定值的唯一三元组
- 计算总数小于给定值的三元组
- 打印形成 AP 的排序数组中的所有三元组
- XOR 为零的唯一三元组数
- 找到一个三元组，使得两个和等于第三元素
- 查找出现次数的奇数
- 查找丢失的号码
- 计算排序数组中的出现次数（或频率）
- 给定一个已排序的数组和一个数字 x，在数组中找到总和最接近 x 的对
- 在排序的二进制数组中计数 1
- 在整数数组中找到第一个重复元素
- 从重复的数组中查找丢失的元素
- 找到重复的和丢失的| 添加了 3 种新方法
- 在未排序的数组中找到出现奇数的两个数字
- 找到具有给定差异的一对
- 找到四个总和为给定值的元素| 集合 1（n ^ 3 解）
- 找到四个总和为给定值的元素| 系列 2
- 查找是否有一个总和为 0 的子数组
- 在相邻元素之间的差为 1 的数组中搜索元素
- 一系列不同元素中的第三大元素
- 检查数组中是否存在两个元素的总和等于数组其余部分的总和
- 检查给定数组是否包含彼此之间 k 距离内的重复元素
- 使用最少的比较次数搜索未排序数组中的元素
- 连续元素排序数组中仅重复元素的计数
- 在频率大于或等于 n / 2 的排序数组中查找元素。
- 圆形数组中相邻元素的最小绝对差
- 在数组中找到第一个，第二个和第三个最小元素
- 程序来查找数组的最小（或最大）元素
- 每个数组元素中另一个数组中最接近的较大元素
- 计算O(1)额外空间和O(n)时间中数组中所有元素的频率
- 与给定的总和和距末端的最大最短距离配对
- 从数组中删除一个元素（使用两次遍历和一次遍历）
- 计算给定数组中大小为 3 的反转
- 计算给定总和的对
- 对排序向量中的二分搜索
- 困雨水
- 替换元素会使数组元素连续
- 排序数组中的第 k 个缺失元素
- O（log（min（n（n，m）））中具有不同大小的两个排序数组的中位数
- 从两个排序的数组中打印不常见的元素
- 非重复元素
- 数组中最频繁的元素
- 数组中最少的元素
- m 个元素的两个子集之间的最大差
- n 个数组中升序元素的最大和
- 配对使得一个是其他的幂倍
- 查找数组中对的数量，以使它们的 XOR 为 0
- 两次最大出现之间的最小距离
- 如果我们在数组中每次成功搜索后加倍，则找到最终值
- 排序数组中的最后一个重复元素
- 找到一个数组元素，使所有元素都可被它整除
- 以原始顺序查找数组的 k 个最大元素
- 数组中的最大值，至少是其他元素的两倍
- 连续步骤到屋顶
- 两个大小的组之间的最大差异
- 两个大小的组之间的最小差异
- 未排序整数列表中最接近的数字
- 值和索引和的最大绝对差
- 数组中局部极值的数量
- 检查数组是否具有多数元素
- 查找数组中最接近的数字
- 最大和的对数
- 按原始顺序打印给定数组中的 n 个最小元素
- 查找给定数组中缺少的前 k 个自然数
- 数组中的高尚整数（大于等于的元素数等于 value）
- 两个数组对的绝对差的最小和
- 查找数组中非重复（不同）元素的总和
- 检查是否可以从给定数组形成算术级数
- 数组的最小乘积子集
- 计算选择差异最大的对的方法
- 每次成功搜索后通过将元素加倍来重复搜索
- 允许负数的数组中成对乘积的最大和
- 矩阵
- 旋转矩阵元素
- 将方形矩阵旋转 90 度| 系列 1
- 将矩阵旋转 90 度，而无需使用任何额外空间| 系列 2
- 将矩阵旋转 180 度
- 用 K 元素逆时针旋转矩阵的每个环
- 将图像旋转 90 度
- 检查矩阵的所有行是否都是彼此旋转
- 排序给定矩阵
- 查找最大数量为 1 的行
- 在按行排序的矩阵中找到中位数
- 矩阵乘法| 递归的
- 程序将两个矩阵相乘
- 矩阵的标量乘法程序
- 程序打印数组的下三角和上三角矩阵
- 查找矩阵所有行共有的不同元素
- 以螺旋形式打印给定的矩阵
- 查找矩阵中每一行的最大元素
- 在矩阵中查找唯一元素
- 将矩阵元素逐行移动 k
- 矩阵的不同运算
- 以逆时针螺旋形式打印给定矩阵
- 交换方矩阵的主要和次要对角线
- 矩阵中的最大路径总和
- 矩阵对角元素的正方形
- 沿给定方向移动矩阵元素并添加具有相同值的元素
- 按升序对矩阵行进行排序，然后按降序对列进行排序
- 矩阵中间行和列的总和
- 矩阵的按行遍历与按列遍历
- 向右旋转矩阵 K 次
- 检查幂等矩阵的程序
- 程序检查对合矩阵
- 矩阵中第一行和最后一行的交换元素
- zag-zag 方式打印矩阵
- 二维数组中的按行排序
- 马尔可夫矩阵程序
- 检查对角矩阵和标量矩阵的程序
- 按行和列对矩阵进行排序
- 查找岛屿数| 系列 1（使用 DFS）
- 魔术广场| 偶数订单
- 魔术广场
- 检查给定矩阵是否为幻方
- 检查给定矩阵是否为幻方
- 两种矩阵的 Kronecker 积
- 计数总和可分为“ k”的子矩阵
- 对角占优矩阵
- 使矩阵的每一行和每一列相等所需的最少操作
- 计算大小为 n 的矩阵中 k 的频率，其中 matrix（i，j）= i + j
- 给定 1、2、3……k 以之字形打印它们。
- 皇后可以在棋盘上移动的障碍物数量
- 矩阵中 4 个相邻元素的最大积
- 使二进制矩阵对称所需的最小翻转
- 程序检查矩阵是否为下三角
- 程序检查矩阵是否为上三角
- 矩阵中偶数和奇数的频率
- 矩阵的中心元素等于对角线的一半
- 身份矩阵程序
- 程序用矩阵的下对角元素交换上对角元素。
- 稀疏矩阵表示| 系列 3（CSR）
- 填充矩阵以使所有行和所有列的乘积等于 1 的方式
- 矩阵对角线的镜像
- 查找二进制矩阵中是否有一个角为 1 的矩形
- 查找所有填充有 0 的矩形
- 矩阵或网格中两个单元之间的最短距离
- 计算二进制矩阵中 1 和 0 的集合
- 搜索按行和按列排序的矩阵
- 创建具有 O 和 X 的交替矩形的矩阵
- 矩阵的锯齿形（或对角线）遍历
- 原位（固定空间）M x N 大小的矩阵转置| 更新
- 排序从 0 到 n ^ 2 – 1 的数字矩阵的最低成本
- 二进制矩阵中的唯一像元
- 计算特殊矩阵中等于 x 的条目
- 检查给定矩阵是否稀疏
- 方矩阵的两个对角线中的行式公共元素
- 检查矩阵中第 i 行和第 i 列的总和是否相同
- 查找最大数为 1 的二进制矩阵的行号
- 程序检查矩阵是否对称
- 通过遵循单元格值来查找二维数组是否被完全遍历
- 程序以 Z 格式打印矩阵
- 在矩阵中从左上到右下打印所有回文路径
- 骑士的可能举动
- 有效地计算矩阵的对角线总和
- 矩阵的边界元素
- 从点开始以螺旋形式打印矩阵
- 以蛇形图案打印矩阵
- 矩阵对角线互换程序
- 找出两个对角线之和之间的差
- 从给定的二叉树构造祖先矩阵
- 从祖先矩阵构造树
- 圆形矩阵（以螺旋方式构造数字 1 到 m * n 的矩阵）
- Sudoku Generator 程序
- 康威人生游戏计划
- 矩阵中沙漏的最大和
- 方阵中的最大值和最小值。
- 以防螺旋形式打印矩阵
- 查找矩阵的法线和迹线的程序
- 以各种方式对矩阵进行排序
- 设置二进制矩阵的所有元素所需的最少操作
- 以反向螺旋形式打印给定的矩阵
- C 程序检查矩阵是否倾斜对称
- 矩阵元素的总和，其中每个元素是行和列的整数除法
- 稀疏矩阵及其表示| 系列 2（使用列表和键字典）
- 查找使两个矩阵相等的变换数
- 形成矩阵线圈
- 每个元素是其行号和列号的绝对差的矩阵总和
- 检查二进制矩阵中的水平和垂直对称性
- 每个值为 0 或 n 的矩阵的最大行列式
- 螺旋奇数阶方阵的两个对角线之和
- 在二进制矩阵中找到具有最大位差的行对
- 查找矩阵中给定行的所有置换行
- 在二进制矩阵中查找以 1s 形成的形状的周长
- 在矩阵中打印具有相同矩形和的单元格
- 以对角线图案打印矩阵
- 矩阵中两行元素之和的最大差
- 查找具有给定总和的对，以便该对的元素位于不同的行中
- 二进制矩阵中所有零的总覆盖率
- 用行或列的最大 GCD 替换每个矩阵元素
- 计算矩阵中所有排序的行
- 矩阵查询
- 矩阵中的最大 XOR 值
- 可以从下到右传输光线的最大反射镜
- 最后一个方块的方向
- 以矩阵的螺旋形式打印第 K 个元素
- 查找给定的矩阵是否为 Toeplitz
- 在按行和按列排序的矩阵中计数零
- 在列明智和行明智排序矩阵中计算负数
- 在二进制矩阵中查找所有位形成的最大“ +”的大小
- 返回扩展矩阵中的前一个元素
- 使用O(1)额外空间打印 n x n 螺旋矩阵
- 二进制迷宫中的最短路径
- 查找矩阵中图案的方向
- 在矩阵中查找特定对
- 打印给定大小的最大和平方子矩阵
- 给定矩阵的所有行中的公共元素
- 按特定顺序就地转换矩阵
- 布尔矩阵问题
- 给定布尔矩阵，找到 k，使第 k 行中的所有元素均为 0，第 k 列为 1。
- 在给定的布尔矩阵中打印唯一行
- 找到 1 的最大矩形，并允许交换列
- 给定井字棋盘配置的有效性
- 子矩阵总和查询
- 矩阵排名程序
- 全为 1 的最大尺寸矩形二进制子矩阵
- 全为 1 的最大尺寸正方形子矩阵
- 查找矩阵中除给定单元格的行和/或列中的元素以外的所有元素的总和？
- 计算每个岛按行和列分隔的岛数
- 在给定的按行排序的矩阵的所有行中找到一个公共元素
- 给定矩阵“ O”和“ X”，如果被“ X”包围，则将“ O”替换为“ X”
- 给定矩阵“ O”和“ X”，找到被“ X”包围的最大子正方形
- 洪水填充算法–如何在 paint 中实现 fill（）？
- 从行和列的排序矩阵中按排序顺序打印所有元素
- 给定一个 n x n 方阵，求出大小为 k x k 的所有子方和
- 查找矩阵转置的程序
- 用于添加两个矩阵的程序
- 矩阵减法程序
- 使用两次遍历收集网格中的最大点
- 在死胡同之前收集最多硬币
- 正好有 k 个硬币的路径数
- 查找从给定起始字符开始的最长连续路径的长度
- 在给定约束条件下找到矩阵中的最长路径
- 到达目的地的最低初始点
- 分而治之| 第 5 组（Strassen 的矩阵乘法）
- 2D 矩阵中的最大和矩形| DP-27
- 杂项
- 子数组/子字符串与子序列以及生成它们的程序
- 产品数组难题
- 具有给定乘积的子数组数
- 链表与数组
- 检查数组元素是否连续 新增方法 3
- 查找一个数组是否是另一个数组的子集 新增方法 3
- 在一个数组中实现两个堆栈
- 查找两个排序数组的相对补码
- 通过 k 次运算的最小增量以使所有元素相等
- 最小化三个不同排序数组的（max（A [i]，B [j]，C [k]）– min（A [i]，B [j]，C [k]））