## 5.3 什么使模型“良好”？ 从我们的统计模型中，我们通常需要两种不同的东西。首先，我们希望它能够很好地描述我们的数据；也就是说，我们希望它在建模数据时具有尽可能低的错误。第二，我们希望它能够很好地概括为新的数据集；也就是说，当我们将其应用于新的数据集时，我们希望它的错误尽可能低。事实证明，这两个特性经常会发生冲突。 为了理解这一点，让我们考虑一下错误的来源。首先，如果我们的模型是错误的，就可能发生这种情况；例如，如果我们不准确地说身高随年龄而下降而不是上升，那么我们的错误将高于正确模型的错误。同样，如果我们的模型中缺少一个重要因素，这也会增加我们的误差（就像我们把年龄从模型中排除在身高之外时那样）。然而，即使模型是正确的，误差也可能发生，因为数据的随机变化，我们通常称之为“测量误差”或“噪声”。有时，这实际上是由于我们的测量误差造成的——例如，当测量值依赖于人时，例如使用秒表测量竞走中经过的时间。在其他情况下，我们的测量设备是高度精确的（像测量体重的数字秤），但被测量的东西受到许多不同因素的影响，这些因素导致它是可变的。如果我们知道所有这些因素，那么我们就可以建立一个更精确的模型，但事实上，这几乎不可能。 让我们用一个例子来说明这一点。我们不使用实际数据，而是为示例生成一些数据；我们将在本课程后面更详细地讨论模拟数据的生成。假设我们想了解一个人的血液酒精含量（BAC）和他们在模拟驾驶考试中的反应时间之间的关系。我们可以生成一些模拟数据并绘制关系图（参见图[5.5](#fig:BACrt)的面板 A）。  图 5.5 驾驶试验中血液酒精含量与反应时间的模拟关系，最佳拟合线性模型。A：线性关系，测量误差小。B：线性关系，测量误差较大。C：具有低测量误差和（不正确）线性模型的非线性关系 在这个例子中，反应时间随血液中的酒精含量而有系统地增加——蓝线表示最合适的模型，我们可以看到误差很小，这很明显，所有的点都非常接近这条线。 我们也可以想象数据显示相同的线性关系，但有更多的误差，如图[5.5](#fig:BACrt)的面板 B 所示。在这里，我们看到仍然有一个系统的反应时间增加与细菌，但它是更多的个人变量。 这两个例子都是 _ 线性模型 _ 似乎合适的，并且误差反映了我们测量中的噪声。线性模型规定两个变量之间的关系遵循直线。例如，在线性模型中，无论 BAC 的级别如何，BAC 的变化总是与反应时间的特定变化相关。 另一方面，还有其他情况下线性模型是不正确的，并且由于没有正确地指定模型，误差会增加。假设我们对咖啡因摄入量和测试表现之间的关系感兴趣。咖啡因等兴奋剂与测试成绩之间的关系往往是非线性的，也就是说，它不遵循直线。这是因为随着咖啡因含量的减少（当这个人变得更加警觉时），工作表现也会随之上升，但随着咖啡因含量的增加（当这个人变得紧张和紧张时），工作表现也会开始下降。我们可以模拟这种形式的数据，然后将线性模型拟合到数据中（参见图[5.5](#fig:BACrt)的面板 C）。蓝线表示最符合这些数据的直线；显然，存在高度错误。虽然在测试表现和咖啡因摄入量之间有着非常合法的关系，但它是一条曲线而不是一条直线。线性模型误差很大，因为它是这些数据的错误模型。