## 14.3 变量之间的相互作用 在前面的模型中，我们假设两组的学习时间对成绩的影响（即回归斜率）是相同的。但是，在某些情况下，我们可以想象一个变量的效果可能会因另一个变量的值而不同，我们称之为变量之间的 _ 交互 _。  图 14.6 咖啡因与公共演讲的关系 让我们用一个新的例子来问这个问题：咖啡因对公众演讲的影响是什么？首先，让我们生成一些数据并绘制它们。从图[14.6](#fig:CaffeineSpeaking)来看，似乎没有关系，我们可以通过对数据进行线性回归来确认： ```r # perform linear regression with caffeine as independent variable lmResultCaffeine <- lm(speaking ~ caffeine, data = df) summary(lmResultCaffeine) ``` ```r ## ## Call: ## lm(formula = speaking ~ caffeine, data = df) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -33.10 -16.02 5.01 16.45 26.98 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) -7.413 9.165 -0.81 0.43 ## caffeine 0.168 0.151 1.11 0.28 ## ## Residual standard error: 19 on 18 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.0642, Adjusted R-squared: 0.0122 ## F-statistic: 1.23 on 1 and 18 DF, p-value: 0.281 ``` 但现在让我们假设，我们发现研究表明焦虑和非焦虑的人对咖啡因的反应不同。首先，让我们分别为焦虑和非焦虑的人绘制数据。  图 14.7 咖啡因与公共演讲的关系，数据点颜色代表焦虑 从图[14.7](#fig:CaffeineSpeakingAnxiety)可以看出，两组人的言语和咖啡因之间的关系是不同的，咖啡因改善了无焦虑人群的表现，降低了焦虑人群的表现。我们想创建一个解决这个问题的统计模型。首先，让我们看看如果在模型中包含焦虑会发生什么。 ```r # compute linear regression adding anxiety to model lmResultCafAnx <- lm(speaking ~ caffeine + anxiety, data = df) summary(lmResultCafAnx) ``` ```r ## ## Call: ## lm(formula = speaking ~ caffeine + anxiety, data = df) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -32.97 -9.74 1.35 10.53 25.36 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) -12.581 9.197 -1.37 0.19 ## caffeine 0.131 0.145 0.91 0.38 ## anxietynotAnxious 14.233 8.232 1.73 0.10 ## ## Residual standard error: 18 on 17 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.204, Adjusted R-squared: 0.11 ## F-statistic: 2.18 on 2 and 17 DF, p-value: 0.144 ``` 在这里，我们看到咖啡因和焦虑都没有明显的效果，这看起来有点令人困惑。问题是，这一模型试图符合两组人对咖啡因说话的同一条线。如果我们想使用单独的行来拟合它们，我们需要在模型中包含一个 _ 交互 _，这相当于为两个组中的每个组拟合不同的行；在 r 中，这由符号表示。 ```r # compute linear regression including caffeine X anxiety interaction lmResultInteraction <- lm( speaking ~ caffeine + anxiety + caffeine * anxiety, data = df ) summary(lmResultInteraction) ``` ```r ## ## Call: ## lm(formula = speaking ~ caffeine + anxiety + caffeine * anxiety, ## data = df) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -11.385 -7.103 -0.444 6.171 13.458 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 17.4308 5.4301 3.21 0.00546 ** ## caffeine -0.4742 0.0966 -4.91 0.00016 *** ## anxietynotAnxious -43.4487 7.7914 -5.58 4.2e-05 *** ## caffeine:anxietynotAnxious 1.0839 0.1293 8.38 3.0e-07 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 8.1 on 16 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.852, Adjusted R-squared: 0.825 ## F-statistic: 30.8 on 3 and 16 DF, p-value: 7.01e-07 ``` 从这些结果中，我们发现咖啡因和焦虑都有显著的影响（我们称之为 _ 主要影响 _），以及咖啡因和焦虑之间的相互作用。图[14.8](#fig:CaffeineAnxietyInteraction)显示了每组的独立回归线。  图 14.8 公众演讲和咖啡因之间的关系，包括与焦虑的互动。这将生成两条线，分别为每个组建模坡度。 有时我们想比较两个不同模型的相对拟合，以确定哪个模型更好；我们将其称为 _ 模型比较 _。对于上面的模型，我们可以使用 r 中的`anova()`命令比较模型的拟合优度（有无交互作用）： ```r anova(lmResultCafAnx, lmResultInteraction) ``` ```r ## Analysis of Variance Table ## ## Model 1: speaking ~ caffeine + anxiety ## Model 2: speaking ~ caffeine + anxiety + caffeine * anxiety ## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) ## 1 17 5639 ## 2 16 1046 1 4593 70.3 3e-07 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` 这告诉我们，有很好的证据表明，比起没有交互作用的模型，更倾向于有交互作用的模型。在这种情况下，模型比较相对简单，因为这两个模型是 _ 嵌套的 _——其中一个模型是另一个模型的简化版本。与非嵌套模型的模型比较可能会变得更加复杂。