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## 11.3 计算物理学 计算物理学(computational physics)研究利用计算机来解决物理问题,是计算机科学、 计算数学和物理学相结合而形成的交叉学科。如今,计算物理已经与理论物理、实验物理一 起构成了物理学的三大支柱。 物理学旨在发现、解释和预测宇宙运行规律,而为了更准确地做到这一点,今天的物理 学越来越依赖于计算。首先,很多物理问题涉及海量的实验数据,依靠手工处理根本无力解决。例如在高能物理实验中,由于实验技术的发展和测量精度的提高,实验规模越来越大, 实验数据也大幅增加,只能利用计算机来处理实验数据。其次,很多物理问题涉及复杂的计 算,解析方法或手工数值计算无法解决这样的计算问题。例如电子反常磁矩修正的计算,对 四阶修正的手工解析技术已经相当繁杂,而对六阶修正的计算已经包含了 72 个费曼图,手 工解析运算已不可能完成。同样只能利用计算机来解决问题。 在物理学中运用计算思维,使我们可以利用数值计算、符号计算和模拟等方法来发现和 预测物理系统的特性和规律。 解决物理问题时,通常在获得描述物理过程的数学公式后,需要进行数值分析以便与实 验结果进行对照。对于复杂的计算,手工数值分析是不可能的,只能采用数值方法利用计算 机来计算。 有些物理问题不是数值计算问题,需要利用计算机的符号处理能力来解决。例如,理论 物理中的公式推导,就是纯粹的符号变换。有时即使是数值计算问题,由于精度要求很高, 导致计算耗时很长甚至无法达到所需精度,这时可以利用符号计算来推导出解析形式的问题 解。又如,有时数值方法是病态的,如果能将数值计算改成解析计算,则可以得到有意义的 结果。 统计物理中有个自回避随机迁移问题,它是在随机漫步中加上了一个限制,即以后的步 子不能穿过以前各步所走过的路径。这样的问题不像一般的迁移问题那样可以用微分方程来 描写系统的统计行为,计算机模拟几乎是唯一的研究方法。计算机模拟不受实验条件、时间 和空间的限制,只要建立了模型,就能进行模拟实验,因而具有极大的灵活性。下面通过一 个实例来介绍模拟方法在计算物理学中的应用。 热平衡系统的模拟 为了研究一个包含 N 个粒子的热系统,原则上只要了解每个粒子的运动,就能弄清楚 粒子和粒子之间的每一次相互作用。但由于粒子数目太大,要想计算 N 个粒子的轨迹以及 N(N-1)对相互作用,是非常困难的。 然而,对于处于平衡态的热系统,虽然系统的微观特性总是在变动,但其宏观特性则是 恒定不变的,体现为具有恒定的温度。系统的微观状态由每个粒子的速度等物理量来刻划, 粒子间的相互作用会导致微观状态改变;而系统的宏观状态是微观状态的集体特性,表现为 系统的总能量(或温度等)。统计物理学认为,虽然微观状态可能没有规则,但宏观状态服 从统计规律。对于处于平衡态的理想气体而言,虽然微观相互作用可导致粒子能量的重新分 配,但系统的总能量保持不变。 考虑一个由三个粒子组成的小系统 S。假设共有 4 份能量在这三个粒子之间交换,则能 量分布可以有以下 15 种状态:(4,0,0)、(0,4,0)、(0,0,4)、(3,1,0)、(3,0,1)、(1,3,0)、(0,3,1)、(1,0,3)、(0,1,3)、(2,2,0)、(2,0,2)、(2,1,1)、(0,2,2)、(1,2,1)、(1,1,2)。这里元组(a,b,c)表示三个粒子各 自获得的能量。每种微观状态都有自己的出现概率,例如从这 15 种微观状态可见,一个粒 子占有全部能量的概率为 3/15 = 0.2。S 的平衡特性由概率较高的微观状态决定,而通过随 机抽样方法(蒙特卡洛方法)可以有效地产生高可能性微观状态,从而可以用来评估 S 的 平衡特性。 我们引入一个“demon”来与系统 S 发生相互作用。作用方式是:令 demon 与 S 中某 个随机选择的粒子进行相互作用,并试着随机改变该粒子的状态(对气体来说就是改变粒子 的速度);如果这个改变导致粒子能量减少,则执行这个改变,并将少掉的能量传递给 demon; 如果这个改变导致粒子能量增加,则仅当 demon 有足够能量传递给粒子时才执行这次改变。 按这种方式,每次产生新的微观状态时,系统 S 的能量加上 demon 的能量保持不变。 具体地,将 demon 加入到 S(包含三个微观粒子)中后,宏观状态仍为 4 份能量。新系统“S+demon”的 demon 为 0 能量的状态共有 15 个,正对应于原始系统 S 的那 15 个状态。 如果尝试改变一个微观状态使得某个粒子减少一份能量,则将那份能量转给 demon,这样就 使原始系统变成了具有 3 份能量的系统,而 demon 具有 1 份能量。与这种情况对应的微观 状态有 10 个,即(3,0,0)、(0,3,0)、(0,0,3)、(2,1,0)、(2,0,1)、(1,2,0)、(0,2,1)、(1,0,2)、(0,1,2)和(1,1,1)。由此可见,如果实施一系列的微观状态随机改变,将发现 demon 具有 1 份能量与 具有 0 份能量的相对概率为 10/15 = 2/3。也就是说,当 demon 扰乱小系统 S 时,S 仍然处于 原来的宏观能量的可能性更大,而不是处于某个较低能量。 同理,如果 demon 具有 2 份能量,则 S+demon 系统具有 6 个微观状态;如果 demon 具 有 3 份能量,则组合系统具有 3 种微观状态;如果 demon 拥有全部 4 份能量,则组合系统 只有一种微观状态。这几种情形对应的相对概率分别为 6/15、3/15 和 1/15。 一般地,对于一个宏观系统,当产生大量的微观状态改变之后,其中 demon 拥有能量 E 的微观状态,与 demon 拥有 0 能量的微观状态数目之比是随 E 的升高而呈指数形式下降的, 具体公式为 ![](https://box.kancloud.cn/2016-02-22_56cafce99e0a3.png) 其中 k 是玻尔兹曼常数,T 是宏观系统的温度。以我们的小系统 S 为例,p(Ed=1) / p(Ed = 0) 约为 2/3。 总之,计算物理学依据理论物理提供的物理原理和数学方程,针对实验物理提供的实验 数据,进行数值计算或符号计算,从而为理论研究提供数据、帮助分析实验数据和模拟物理 系统。