# Zero Sum Subarray ### Source - lintcode: [(138) Subarray Sum](http://www.lintcode.com/en/problem/subarray-sum/) - GeeksforGeeks: [Find if there is a subarray with 0 sum - GeeksforGeeks](http://www.geeksforgeeks.org/find-if-there-is-a-subarray-with-0-sum/) ~~~ Given an integer array, find a subarray where the sum of numbers is zero. Your code should return the index of the first number and the index of the last number. Example Given [-3, 1, 2, -3, 4], return [0, 2] or [1, 3]. Note There is at least one subarray that it's sum equals to zero. ~~~ ### 题解1 - 两重 for 循环 题目中仅要求返回一个子串(连续)中和为0的索引，而不必返回所有可能满足题意的解。最简单的想法是遍历所有子串，判断其和是否为0，使用两重循环即可搞定，最坏情况下时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2), 这种方法显然是极其低效的，极有可能会出现 [TLE](# "Time Limit Exceeded 的简称。你的程序在 OJ 上的运行时间太长了，超过了对应题目的时间限制。"). 下面就不浪费篇幅贴代码了。 ### 题解2 - 比较子串和([TLE](# "Time Limit Exceeded 的简称。你的程序在 OJ 上的运行时间太长了，超过了对应题目的时间限制。")) 两重 for 循环显然是我们不希望看到的解法，那么我们再来分析下题意，题目中的对象是分析子串和，那么我们先从常见的对数组求和出发，f(i)=∑0inums[i]f(i) = \sum _{0} ^{i} nums[i]f(i)=∑0inums[i] 表示从数组下标 0 开始至下标 i 的和。子串和为0，也就意味着存在不同的 i1i_1i1 和 i2i_2i2 使得 f(i1)−f(i2)=0f(i_1) - f(i_2) = 0f(i1)−f(i2)=0, 等价于 f(i1)=f(i2)f(i_1) = f(i_2)f(i1)=f(i2). 思路很快就明晰了，使用一 vector 保存数组中从 0 开始到索引`i`的和，在将值 push 进 vector 之前先检查 vector 中是否已经存在，若存在则将相应索引加入最终结果并返回。 ### C++ ~~~ class Solution { public: /** * @param nums: A list of integers * @return: A list of integers includes the index of the first number * and the index of the last number */ vector<int> subarraySum(vector<int> nums){ vector<int> result; int curr_sum = 0; vector<int> sum_i; for (int i = 0; i != nums.size(); ++i) { curr_sum += nums[i]; if (0 == curr_sum) { result.push_back(0); result.push_back(i); return result; } vector<int>::iterator iter = find(sum_i.begin(), sum_i.end(), curr_sum); if (iter != sum_i.end()) { result.push_back(iter - sum_i.begin() + 1); result.push_back(i); return result; } sum_i.push_back(curr_sum); } return result; } }; ~~~ ### 源码分析 使用`curr_sum`保存到索引`i`处的累加和，`sum_i`保存不同索引处的和。执行`sum_i.push_back`之前先检查`curr_sum`是否为0，再检查`curr_sum`是否已经存在于`sum_i`中。是不是觉得这种方法会比题解1好？错！时间复杂度是一样一样的！根本原因在于`find`操作的时间复杂度为线性。与这种方法类似的有哈希表实现，哈希表的查找在理想情况下可认为是 O(1)O(1)O(1). ### 复杂度分析 最坏情况下 O(n2)O(n^2)O(n2), 实测和题解1中的方法运行时间几乎一致。 ### 题解3 - 哈希表 终于到了祭出万能方法时候了，题解2可以认为是哈希表的雏形，而哈希表利用空间换时间的思路争取到了宝贵的时间资源 :) ### C++ ~~~ class Solution { public: /** * @param nums: A list of integers * @return: A list of integers includes the index of the first number * and the index of the last number */ vector<int> subarraySum(vector<int> nums){ vector<int> result; // curr_sum for the first item, index for the second item map<int, int> hash; hash[0] = 0; int curr_sum = 0; for (int i = 0; i != nums.size(); ++i) { curr_sum += nums[i]; if (hash.find(curr_sum) != hash.end()) { result.push_back(hash[curr_sum]); result.push_back(i); return result; } else { hash[curr_sum] = i + 1; } } return result; } }; ~~~ ### 源码分析 为了将`curr_sum == 0`的情况也考虑在内，初始化哈希表后即赋予 `<0, 0>`. 给 `hash`赋值时使用`i + 1`, `push_back`时则不必再加1. 由于 C++ 中的`map`采用红黑树实现，故其并非真正的「哈希表」，C++ 11中引入的`unordered_map`用作哈希表效率更高，实测可由1300ms 降至1000ms. ### 复杂度分析 遍历求和时间复杂度为 O(n)O(n)O(n), 哈希表检查键值时间复杂度为 O(logL)O(\log L)O(logL), 其中 LLL 为哈希表长度。如果采用`unordered_map`实现，最坏情况下查找的时间复杂度为线性，最好为常数级别。 ### 题解4 - 排序 除了使用哈希表，我们还可使用排序的方法找到两个子串和相等的情况。这种方法的时间复杂度主要集中在排序方法的实现。由于除了记录子串和之外还需记录索引，故引入`pair`记录索引，最后排序时先按照`sum`值来排序，然后再按照索引值排序。如果需要自定义排序规则可参考[sort_pair_second](#). ### C++ ~~~ class Solution { public: /** * @param nums: A list of integers * @return: A list of integers includes the index of the first number * and the index of the last number */ vector<int> subarraySum(vector<int> nums){ vector<int> result; if (nums.empty()) { return result; } const int num_size = nums.size(); vector<pair<int, int> > sum_index(num_size + 1); for (int i = 0; i != num_size; ++i) { sum_index[i + 1].first = sum_index[i].first + nums[i]; sum_index[i + 1].second = i + 1; } sort(sum_index.begin(), sum_index.end()); for (int i = 1; i < num_size + 1; ++i) { if (sum_index[i].first == sum_index[i - 1].first) { result.push_back(sum_index[i - 1].second); result.push_back(sum_index[i].second - 1); return result; } } return result; } }; ~~~ ### 源码分析 没啥好分析的，注意好边界条件即可。这里采用了链表中常用的「dummy」节点方法，`pair`排序后即为我们需要的排序结果。这种排序的方法需要先求得所有子串和然后再排序，最后还需要遍历排序后的数组，效率自然是比不上哈希表。但是在某些情况下这种方法有一定优势。 ### 复杂度分析 遍历求子串和，时间复杂度为 O(n)O(n)O(n), 空间复杂度 O(n)O(n)O(n). 排序时间复杂度近似 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn), 遍历一次最坏情况下时间复杂度为 O(n)O(n)O(n). 总的时间复杂度可近似为 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn). 空间复杂度 O(n)O(n)O(n). ### 扩展 这道题的要求是找到一个即可，但是要找出所有满足要求的解呢？Stackoverflow 上有这道延伸题的讨论[stackoverflow](#). 另一道扩展题来自 Google 的面试题 - [Find subarray with given sum - GeeksforGeeks](http://www.geeksforgeeks.org/find-subarray-with-given-sum/). ### Reference - stackoverflow > . [algorithm - Zero sum SubArray - Stack Overflow](http://stackoverflow.com/questions/5534063/zero-sum-subarray)[ ↩](# "Jump back to footnote [stackoverflow] in the text.") - sort_pair_second > . [c++ - How do I sort a vector of pairs based on the second element of the pair? - Stack Overflow](http://stackoverflow.com/questions/279854/how-do-i-sort-a-vector-of-pairs-based-on-the-second-element-of-the-pair)[ ↩](# "Jump back to footnote [sort_pair_second] in the text.")