一文看懂《最大子序列和问题》 · ttttt

# 一文看懂《最大子序列和问题》 # 一文看懂《最大子序列和问题》最大子序列和是一道经典的算法题， leetcode 也有原题《53.maximum-sum-subarray》，今天我们就来彻底攻克它。 ## 题目描述求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为 A = \[1， 3， -2， 4， -5\]，则最大连续子序列和为 6，即 1 + 3 +（-2）+ 4 = 6。去首先我们来明确一下题意。 - 题目说的子数组是连续的 - 题目只需要求和，不需要返回子数组的具体位置。 - 数组中的元素是整数，但是可能是正数，负数和 0。 - 子序列的最小长度为 1。比如： - 对于数组 \[1, -2, 3, 5, -3, 2\], 应该返回 3 + 5 = 8 - 对于数组 \[0, -2, 3, 5, -1, 2\], 应该返回 3 + 5 + -1 + 2 = 9 - 对于数组 \[-9, -2, -3, -5, -3\], 应该返回 -2 ## 解法一 - 暴力法（超时法）一般情况下，先从暴力解分析，然后再进行一步步的优化。 ### 思路我们来试下最直接的方法，就是计算所有的子序列的和，然后取出最大值。记 Sum\[i,....,j\]为数组 A 中第 i 个元素到第 j 个元素的和，其中 0 <= i <= j < n，遍历所有可能的 Sum\[i,....,j\] 即可。我们去枚举以 0,1,2...n-1 开头的所有子序列即可，对于每一个开头的子序列，我们都去枚举从当前开始到 n-1 的所有情况。这种做法的时间复杂度为 O(N^2), 空间复杂度为 O(1)。 ### 代码 JavaScript: ``` <pre class="calibre18">``` function LSS(list) { const len = list.length; let max = -Number.MAX_VALUE; let sum = 0; for (let i = 0; i < len; i++) { sum = 0; for (let j = i; j < len; j++) { sum += list[j]; if (sum > max) { max = sum; } } } return max; } ``` ``` Java： ``` <pre class="calibre18">``` class MaximumSubarrayPrefixSum { public int maxSubArray(int[] nums) { int len = nums.length; int maxSum = Integer.MIN_VALUE; int sum = 0; for (int i = 0; i < len; i++) { sum = 0; for (int j = i; j < len; j++) { sum += nums[j]; maxSum = Math.max(maxSum, sum); } } return maxSum; } } ``` ``` Python 3: ``` <pre class="calibre18">``` import sys class Solution: def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int: n = len(nums) maxSum = -sys.maxsize sum = 0 for i in range(n): sum = 0 for j in range(i, n): sum += nums[j] maxSum = max(maxSum, sum) return maxSum ``` ``` 空间复杂度非常理想，但是时间复杂度有点高。怎么优化呢？我们来看下下一个解法。 ## 解法二 - 分治法 ### 思路我们来分析一下这个问题，我们先把数组平均分成左右两部分。此时有三种情况： - 最大子序列全部在数组左部分 - 最大子序列全部在数组右部分 - 最大子序列横跨左右数组对于前两种情况，我们相当于将原问题转化为了规模更小的同样问题。对于第三种情况，由于已知循环的起点（即中点），我们只需要进行一次循环，分别找出左边和右边的最大子序列即可。所以一个思路就是我们每次都对数组分成左右两部分，然后分别计算上面三种情况的最大子序列和，取出最大的即可。举例说明，如下图： ![](https://img.kancloud.cn/97/05/970539c0aba68a4596261ba3dbd35d48_1440x1080.jpg)(by [snowan](https://github.com/snowan)) 这种做法的时间复杂度为 O(N\*logN), 空间复杂度为 O(1)。 ### 代码 JavaScript: ``` <pre class="calibre18">``` function helper(list, m, n) { if (m === n) return list[m]; let sum = 0; let lmax = -Number.MAX_VALUE; let rmax = -Number.MAX_VALUE; const mid = ((n - m) >> 1) + m; const l = helper(list, m, mid); const r = helper(list, mid + 1, n); for (let i = mid; i >= m; i--) { sum += list[i]; if (sum > lmax) lmax = sum; } sum = 0; for (let i = mid + 1; i <= n; i++) { sum += list[i]; if (sum > rmax) rmax = sum; } return Math.max(l, r, lmax + rmax); } function LSS(list) { return helper(list, 0, list.length - 1); } ``` ``` Java: ``` <pre class="calibre18">``` class MaximumSubarrayDivideConquer { public int maxSubArrayDividConquer(int[] nums) { if (nums == null || nums.length == 0) return 0; return helper(nums, 0, nums.length - 1); } private int helper(int[] nums, int l, int r) { if (l > r) return Integer.MIN_VALUE; int mid = (l + r) >>> 1; int left = helper(nums, l, mid - 1); int right = helper(nums, mid + 1, r); int leftMaxSum = 0; int sum = 0; // left surfix maxSum start from index mid - 1 to l for (int i = mid - 1; i >= l; i--) { sum += nums[i]; leftMaxSum = Math.max(leftMaxSum, sum); } int rightMaxSum = 0; sum = 0; // right prefix maxSum start from index mid + 1 to r for (int i = mid + 1; i <= r; i++) { sum += nums[i]; rightMaxSum = Math.max(sum, rightMaxSum); } // max(left, right, crossSum) return Math.max(leftMaxSum + rightMaxSum + nums[mid], Math.max(left, right)); } } ``` ``` Python 3 : ``` <pre class="calibre18">``` import sys class Solution: def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int: return self.helper(nums, 0, len(nums) - 1) def helper(self, nums, l, r): if l > r: return -sys.maxsize mid = (l + r) // 2 left = self.helper(nums, l, mid - 1) right = self.helper(nums, mid + 1, r) left_suffix_max_sum = right_prefix_max_sum = 0 sum = 0 for i in reversed(range(l, mid)): sum += nums[i] left_suffix_max_sum = max(left_suffix_max_sum, sum) sum = 0 for i in range(mid + 1, r + 1): sum += nums[i] right_prefix_max_sum = max(right_prefix_max_sum, sum) cross_max_sum = left_suffix_max_sum + right_prefix_max_sum + nums[mid] return max(cross_max_sum, left, right) ``` ``` ## 解法三 - 动态规划 ### 思路我们来思考一下这个问题，看能不能将其拆解为规模更小的同样问题，并且能找出递推关系。我们不妨假设问题 Q(list, i) 表示 list 中以索引 i 结尾的情况下最大子序列和，那么原问题就转化为 Q(list, i), 其中 i = 0,1,2...n-1 中的最大值。我们继续来看下递归关系，即 Q(list, i)和 Q(list, i - 1)的关系，即如何根据 Q(list, i - 1) 推导出 Q(list, i)。如果已知 Q(list, i - 1)，我们可以将问题分为两种情况，即以索引为 i 的元素终止，或者只有一个索引为 i 的元素。 - 如果以索引为 i 的元素终止，那么就是 Q(list, i - 1) + list\[i\] - 如果只有一个索引为 i 的元素，那么就是 list\[i\] 分析到这里，递推关系就很明朗了，即`Q(list, i) = Math.max(0, Q(list, i - 1)) + list[i]` 举例说明，如下图： ![](https://img.kancloud.cn/2b/d2/2bd2628b1833f28de92d544ae5b96598_919x614.jpg)(by [snowan](https://github.com/snowan)) 这种算法的时间复杂度 O(N), 空间复杂度为 O(1) ### 代码 JavaScript: ``` <pre class="calibre18">``` function LSS(list) { const len = list.length; let max = list[0]; for (let i = 1; i < len; i++) { list[i] = Math.max(0, list[i - 1]) + list[i]; if (list[i] > max) max = list[i]; } return max; } ``` ``` Java: ``` <pre class="calibre18">``` class MaximumSubarrayDP { public int maxSubArray(int[] nums) { int currMaxSum = nums[0]; int maxSum = nums[0]; for (int i = 1; i < nums.length; i++) { currMaxSum = Math.max(currMaxSum + nums[i], nums[i]); maxSum = Math.max(maxSum, currMaxSum); } return maxSum; } } ``` ``` Python 3: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int: n = len(nums) max_sum_ending_curr_index = max_sum = nums[0] for i in range(1, n): max_sum_ending_curr_index = max(max_sum_ending_curr_index + nums[i], nums[i]) max_sum = max(max_sum_ending_curr_index, max_sum) return max_sum ``` ``` ## 解法四 - 数学分析 ### 思路我们来通过数学分析来看一下这个题目。我们定义函数 S(i) ，它的功能是计算以 0（包括 0）开始加到 i（包括 i）的值。那么 S(j) - S(i - 1) 就等于从 i 开始（包括 i）加到 j（包括 j）的值。我们进一步分析，实际上我们只需要遍历一次计算出所有的 S(i), 其中 i 等于 0,1,2....,n-1。然后我们再减去之前的 S(k),其中 k 等于 0，1，i - 1，中的最小值即可。因此我们需要用一个变量来维护这个最小值，还需要一个变量维护最大值。这种算法的时间复杂度 O(N), 空间复杂度为 O(1)。其实很多题目，都有这样的思想，比如之前的《每日一题 - 电梯问题》。 ### 代码 JavaScript: ``` <pre class="calibre18">``` function LSS(list) { const len = list.length; let max = list[0]; let min = 0; let sum = 0; for (let i = 0; i < len; i++) { sum += list[i]; if (sum - min > max) max = sum - min; if (sum < min) { min = sum; } } return max; } ``` ``` Java: ``` <pre class="calibre18">``` class MaxSumSubarray { public int maxSubArray3(int[] nums) { int maxSum = nums[0]; int sum = 0; int minSum = 0; for (int num : nums) { // prefix Sum sum += num; // update maxSum maxSum = Math.max(maxSum, sum - minSum); // update minSum minSum = Math.min(minSum, sum); } return maxSum; } } ``` ``` Python 3: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int: n = len(nums) maxSum = nums[0] minSum = sum = 0 for i in range(n): sum += nums[i] maxSum = max(maxSum, sum - minSum) minSum = min(minSum, sum) return maxSum ``` ``` ## 总结我们使用四种方法解决了`《最大子序列和问题》`, 并详细分析了各个解法的思路以及复杂度，相信下次你碰到相同或者类似的问题的时候也能够发散思维，做到`一题多解，多题一解`。实际上，我们只是求出了最大的和，如果题目进一步要求出最大子序列和的子序列呢？如果要题目允许不连续呢？我们又该如何思考和变通？如何将数组改成二维，求解最大矩阵和怎么计算？这些问题留给读者自己来思考。