0416. 分割等和子集 · ttttt

# 0416. 分割等和子集 ## 题目地址(416. 分割等和子集) <https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/> ## 题目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200 示例 1: 输入: [1, 5, 11, 5] 输出: true 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]. 示例 2: 输入: [1, 2, 3, 5] 输出: false 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集. ``` ``` ## 前置知识 - DFS - [动态规划](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md) ## 公司 - 阿里 - 腾讯 - 百度 - 字节 ### 思路抽象能力不管是在工程还是算法中都占据着绝对重要的位置。比如上题我们可以抽象为： **给定一个非空数组，和是 sum，能否找到这样的一个子序列，使其和为 2/sum** 我们做过二数和，三数和，四数和，看到这种类似的题会不会舒适一点，思路更开阔一点。老司机们看到转化后的题，会立马想到背包问题，这里会提供**深度优先搜索**和**背包**两种解法。 ### 深度优先遍历我们再来看下题目描述，sum 有两种情况， 1. 如果 sum % 2 === 1, 则肯定无解，因为 sum/2 为小数，而数组全由整数构成，子数组和不可能为小数。 2. 如果 sum % 2 === 0, 需要找到和为 2/sum 的子序列针对 2，我们要在 nums 里找到满足条件的子序列 subNums。这个过程可以类比为在一个大篮子里面有 N 个球，每个球代表不同的数字，我们用一小篮子去抓取球，使得拿到的球数字和为 2/sum。那么很自然的一个想法就是，对大篮子里面的每一个球，我们考虑取它或者不取它，如果我们足够耐心，最后肯定能穷举所有的情况，判断是否有解。上述思维表述为伪代码如下： ``` <pre class="calibre18">``` 令 target = sum / 2, nums 为输入数组, cur 为当前当前要选择的数字的索引 nums 为输入数组，target为当前求和目标，cur为当前判断的数 function dfs(nums, target, cur) 如果target < 0 或者 cur > nums.length return false 否则如果 target = 0, 说明找到答案了，返回true 否则取当前数或者不取，进入递归 dfs(nums, target - nums[cur], cur + 1) || dfs(nums, target, cur + 1) ``` ``` 因为对每个数都考虑取不取，所以这里时间复杂度是 O(2 ^ n), 其中 n 是 nums 数组长度， #### javascript 实现 ``` <pre class="calibre18">``` var canPartition = function (nums) { let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0); if (sum % 2) { return false; } sum = sum / 2; return dfs(nums, sum, 0); }; function dfs(nums, target, cur) { if (target < 0 || cur > nums.length) { return false; } return ( target === 0 || dfs(nums, target - nums[cur], cur + 1) || dfs(nums, target, cur + 1) ); } ``` ``` 不出所料，这里是超时了，我们看看有没优化空间 1. 如果 nums 中最大值 > 2/sum, 那么肯定无解 2. 在搜索过程中，我们对每个数都是取或者不取，并且数组中所有项都为正数。我们设取的数和为 `pickedSum`，不难得 pickedSum <= 2/sum，同时要求丢弃的数为 `discardSum`，不难得 pickedSum <= 2 / sum。我们同时引入这两个约束条件加强剪枝：优化后的代码如下 ``` <pre class="calibre18">``` var canPartition = function (nums) { let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0); if (sum % 2) { return false; } sum = sum / 2; nums = nums.sort((a, b) => b - a); if (sum < nums[0]) { return false; } return dfs(nums, sum, sum, 0); }; function dfs(nums, pickRemain, discardRemain, cur) { if (pickRemain === 0 || discardRemain === 0) { return true; } if (pickRemain < 0 || discardRemain < 0 || cur > nums.length) { return false; } return ( dfs(nums, pickRemain - nums[cur], discardRemain, cur + 1) || dfs(nums, pickRemain, discardRemain - nums[cur], cur + 1) ); } ``` ``` leetcode 是 AC 了，但是时间复杂度 O(2 ^ n), 算法时间复杂度很差，我们看看有没更好的。 ### DP 解法在用 DFS 是时候，我们是不关心取数的规律的，只要保证接下来要取的数在之前没有被取过即可。那如果我们有规律去安排取数策略的时候会怎么样呢，比如第一次取数安排在第一位，第二位取数安排在第二位，在判断第 i 位是取数的时候，我们是已经知道前 i-1 个数每次是否取的所有子序列组合，记集合 S 为这个子序列的和。再看第 i 位取数的情况, 有两种情况取或者不取 1. 取的情况，如果 target-nums\[i\]在集合 S 内，则返回 true，说明前 i 个数能找到和为 target 的序列 2. 不取的情况，如果 target 在集合 S 内，则返回 true，否则返回 false 也就是说，前 i 个数能否构成和为 target 的子序列取决为前 i-1 数的情况。记 F\[i, target\] 为 nums 数组内前 i 个数能否构成和为 target 的子序列的可能，则状态转移方程为 `F[i, target] = F[i - 1, target] || F[i - 1, target - nums[i]]` 状态转移方程出来了，代码就很好写了，DFS + DP 都可以解，有不清晰的可以参考下 [递归和动态规划](dynamic-programming.html)，这里只提供 DP 解法 #### 伪代码表示 ``` <pre class="calibre18">``` n = nums.length target 为 nums 各数之和如果target不能被2整除, 返回false 令dp为n * target 的二维矩阵, 并初始为false 遍历0:n, dp[i][0] = true 表示前i个数组成和为0的可能遍历 0 到 n 遍历 0 到 target if 当前值j大于nums[i] dp[i + 1][j] = dp[i][j-nums[i]] || dp[i][j] else dp[i+1][j] = dp[i][j] ``` ``` 算法时间复杂度 O(n\*m), 空间复杂度 O(n\*m), m 为 sum(nums) / 2 #### javascript 实现 ``` <pre class="calibre18">``` var canPartition = function (nums) { let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0); if (sum % 2) { return false; } else { sum = sum / 2; } const dp = Array.from(nums).map(() => Array.from({ length: sum + 1 }).fill(false) ); for (let i = 0; i < nums.length; i++) { dp[i][0] = true; } for (let i = 0; i < dp.length - 1; i++) { for (let j = 0; j < dp[0].length; j++) { dp[i + 1][j] = j - nums[i] >= 0 ? dp[i][j] || dp[i][j - nums[i]] : dp[i][j]; } } return dp[nums.length - 1][sum]; }; ``` ``` 再看看有没有优化空间，看状态转移方程 `F[i, target] = F[i - 1, target] || F[i - 1, target - nums[i]]`第 n 行的状态只依赖于第 n-1 行的状态，也就是说我们可以把二维空间压缩成一维伪代码 ``` <pre class="calibre18">``` 遍历 0 到 n 遍历 j 从 target 到 0 if 当前值j大于nums[i] dp[j] = dp[j-nums[i]] || dp[j] else dp[j] = dp[j] ``` ``` 时间复杂度 O(n\*m), 空间复杂度 O(n) javascript 实现 ``` <pre class="calibre18">``` var canPartition = function (nums) { let sum = nums.reduce((acc, num) => acc + num, 0); if (sum % 2) { return false; } sum = sum / 2; const dp = Array.from({ length: sum + 1 }).fill(false); dp[0] = true; for (let i = 0; i < nums.length; i++) { for (let j = sum; j > 0; j--) { dp[j] = dp[j] || (j - nums[i] >= 0 && dp[j - nums[i]]); } } return dp[sum]; }; ``` ``` 其实这道题和 [leetcode 518](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/) 是换皮题，它们都可以归属于背包问题 ## 背包问题 ### 背包问题描述有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 Ci，得到的价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。背包问题的特性是，每种物品，我们都可以选择放或者不放。令 F\[i, v\]表示前 i 件物品放入到容量为 v 的背包的状态。针对上述背包，F\[i, v\]表示能得到最大价值，那么状态转移方程为 ``` <pre class="calibre18">``` F[i, v] = max{F[i-1, v], F[i-1, v-Ci] + Wi} ``` ``` 针对 416. 分割等和子集这题，F\[i, v\]的状态含义就表示前 i 个数能组成和为 v 的可能，状态转移方程为 ``` <pre class="calibre18">``` F[i, v] = F[i-1, v] || F[i-1, v-Ci] ``` ``` 再回过头来看下[leetcode 518](https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/), 原题如下 > 给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。带入背包思想，F\[i,v\] 表示用前 i 种硬币能兑换金额数为 v 的组合数，状态转移方程为 `F[i, v] = F[i-1, v] + F[i-1, v-Ci]` #### javascript 实现 ``` <pre class="calibre18">``` /** * @param {number} amount * @param {number[]} coins * @return {number} */ var change = function (amount, coins) { const dp = Array.from({ length: amount + 1 }).fill(0); dp[0] = 1; for (let i = 0; i < coins.length; i++) { for (let j = 1; j <= amount; j++) { dp[j] = dp[j] + (j - coins[i] >= 0 ? dp[j - coins[i]] : 0); } } return dp[amount]; }; ``` ``` **复杂度分析** - 时间复杂度：O(amount∗len(coins))O(amount \* len(coins))O(amount∗len(coins)) - 空间复杂度：O(amount)O(amount)O(amount) ### 参考 [背包九讲](https://raw.githubusercontent.com/tianyicui/pack/master/V2.pdf) 大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。目前已经 37K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。 ![](https://img.kancloud.cn/cf/0f/cf0fc0dd21e94b443dd8bca6cc15b34b_900x500.jpg)