1227. 飞机座位分配概率 · ttttt

# 1227. 飞机座位分配概率 ## 题目地址（1227. 飞机座位分配概率） <https://leetcode-cn.com/problems/airplane-seat-assignment-probability/> ## 题目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 有 n 位乘客即将登机，飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了，他随便选了一个座位坐下。剩下的乘客将会：如果他们自己的座位还空着，就坐到自己的座位上，当他们自己的座位被占用时，随机选择其他座位第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？示例 1：输入：n = 1 输出：1.00000 解释：第一个人只会坐在自己的位置上。示例 2：输入: n = 2 输出: 0.50000 解释：在第一个人选好座位坐下后，第二个人坐在自己的座位上的概率是 0.5。提示： 1 <= n <= 10^5 ``` ``` ## 前置知识 - 记忆化搜索 - 动态规划 ## 暴力递归这是一道 LeetCode 为数不多的概率题，我们来看下。 ## 公司 - 字节 ### 思路我们定义原问题为 f(n)。对于第一个人来说，他有 n 中选择，就是分别选择 n 个座位中的一个。由于选择每个位置的概率是相同的，那么选择每个位置的概率应该都是 1 / n。我们分三种情况来讨论： - 如果第一个人选择了第一个人的位置（也就是选择了自己的位置），那么剩下的人按照票上的座位做就好了，这种情况第 n 个人一定能做到自己的位置 - 如果第一个人选择了第 n 个人的位置，那么第 n 个人肯定坐不到自己的位置。 - 如果第一个人选择了第 i (1 < i < n)个人的位置，那么第 i 个人就相当于变成了“票丢的人”，此时问题转化为 f(n - i + 1)。此时的问题转化关系如图： ![](https://img.kancloud.cn/8e/2e/8e2eb2ac16efc01131baad9a0f7c4670_1586x664.jpg)（红色表示票丢的人）整个过程分析： ![](https://img.kancloud.cn/ad/8c/ad8c321a36a5538a1034b976d0cc7fbe_1586x404.jpg) ### 代码代码支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 res = 1 / n for i in range(2, n): res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + 1) * 1 / n return res ``` ``` 上述代码会栈溢出。 ## 暴力递归 + hashtable ### 思路我们考虑使用记忆化递归来减少重复计算，虽然这种做法可以减少运行时间，但是对减少递归深度没有帮助。还是会栈溢出。 ### 代码代码支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: seen = {} def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 if n in self.seen: return self.seen[n] res = 1 / n for i in range(2, n): res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + 1) * 1 / n self.seen[n] = res return res ``` ``` ## 动态规划 ### 思路上面做法会栈溢出。其实我们根本不需要运行就应该能判断出栈溢出，题目已经给了数据规模是 1 <= n <= 10 \*\* 5。这个量级不管什么语言，除非使用尾递归，不然一般都会栈溢出，具体栈深度大家可以查阅相关资料。既然是栈溢出，那么我们考虑使用迭代来完成。很容易想到使用动态规划来完成。其实递归都写出来，写一个朴素版的动态规划也难不到哪去，毕竟动态规划就是记录子问题，并建立子问题之间映射而已，这和递归并无本质区别。 ### 代码代码支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 dp = [1, .5] * n for i in range(2, n): dp[i] = 1 / n for j in range(2, i): dp[i] += dp[i - j + 1] * 1 / n return dp[-1] ``` ``` 这种思路的代码超时了，并且仅仅执行了 35/100 testcase 就超时了。 ## 数学分析 ### 思路我们还需要进一步优化时间复杂度，我们需要思考是否可以在线形的时间内完成。我们继续前面的思路进行分析, 不难得出，我们不妨称其为等式 1： ``` <pre class="calibre18">``` f(n) = 1/n + 0 + 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2)) = 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + 1) = 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1)) ``` ``` 似乎更复杂了？没关系，我们继续往下看，我们看下 f(n - 1)，我们不妨称其为等式 2。 ``` <pre class="calibre18">``` f(n-1) = 1/(n-1) * (f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1)) ``` ``` 我们将等式 1 和等式 2 两边分别同时乘以 n 和 n - 1 ``` <pre class="calibre18">``` n * f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) (n-1) * f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) ``` ``` 我们将两者相减： ``` <pre class="calibre18">``` n * f(n) - (n-1)*f(n-1) = f(n-1) ``` ``` 我们继续将 (n-1)\*f(n-1) 移到等式右边，得到： ``` <pre class="calibre18">``` n * f(n) = n * f(n-1) ``` ``` 也就是说: ``` <pre class="calibre18">``` f(n) = f(n - 1) ``` ``` 当然前提是 n 大于 2。既然如此，我们就可以减少一层循环，我们用这个思路来优化一下上面的 dp 解法。这种解法终于可以 AC 了。 ### 代码代码支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 dp = [1, .5] * n for i in range(2, n): dp[i] = 1/n+(n-2)/n * dp[n-1] return dp[-1] ``` ``` **复杂度分析** - 时间复杂度：O(N)O(N)O(N) - 空间复杂度：O(N)O(N)O(N) ## 优化数学分析 ### 思路上面我们通过数学分析，得出了当 n 大于 2 时： ``` <pre class="calibre18">``` f(n) = f(n - 1) ``` ``` 那么是不是意味着我们随便求出一个 n 就好了？比如我们求出 n = 2 的时候的值，是不是就知道 n 为任意数的值了。我们不难想出 n = 2 时候，概率是 0.5，因此只要 n 大于 1 就是 0.5 概率，否则就是 1 概率。 ### 代码代码支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: return 1 if n == 1 else .5 ``` ``` **复杂度分析** - 时间复杂度：O(1)O(1)O(1) - 空间复杂度：O(1)O(1)O(1) ## 关键点 - 概率分析 - 数学推导 - 动态规划 - 递归 + mapper - 栈限制大小 - 尾递归大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。目前已经 37K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。 ![](https://img.kancloud.cn/cf/0f/cf0fc0dd21e94b443dd8bca6cc15b34b_900x500.jpg)