1015. 可被 K 整除的最小整数 · ttttt

# 1015. 可被 K 整除的最小整数 ## 题目地址(1015. 可被 K 整除的最小整数) <https://leetcode-cn.com/problems/smallest-integer-divisible-by-k/> ## 题目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 给定正整数 K，你需要找出可以被 K 整除的、仅包含数字 1 的最小正整数 N。返回 N 的长度。如果不存在这样的 N，就返回 -1。示例 1：输入：1 输出：1 解释：最小的答案是 N = 1，其长度为 1。示例 2：输入：2 输出：-1 解释：不存在可被 2 整除的正整数 N 。示例 3：输入：3 输出：3 解释：最小的答案是 N = 111，其长度为 3。提示： 1 <= K <= 10^5 ``` ``` ## 前置知识 - 循环节 ## 公司 - 暂无 ## 思路这道题是说给定一个 K 值，能否找到一个形如 1，11，111，1111 。。。这样的数字 n 使得 n % K == 0。首先容易想到的是如果 K 是 2，4，5， 6，8 结尾的话，一定是不行的。直观的解法是从 1，11，111，1111 。。。这样一直除下去，直到碰到可以整除的，我们返回即可。但是如果这个数字根本就无法整除怎么办？没错，我们会无限循环下去。我们应该在什么时刻跳出循环，返回 - 1 （表示不能整除）呢？我们拿题目给出的不能整除的 2 来说。 - 1 // 2 等于 1 - 11 // 2 等于 1 - 111 // 2 等于 1 - ... 我们再来一个不能整除的例子 6: - 1 // 6 等于 1 - 11 // 6 等于 5 - 111 // 6 等于 3 - 1111 // 6 等于 1 - 11111 // 6 等于 5 - ... 通过观察我们发现不断整除的过程，会陷入无限循环，对于 2 来说，其循环节就是 1。对于 6 来说，其循环节来说就是 153。而且由于我们的分母是 6，也就是说余数的可能性一共只有六种情况 0,1,2,3,4,5。上面是感性的认识，接下来我们从数学上予以证明。上面的算法用公式来表示就是`mod = (10 \* mod + 1) % K`。假如出现了相同的数，我们可以肯定之后会无限循环。比如 153 之后出现了 1，我们可以肯定之后一定是 35。。。因为我们的 mod 只是和前一个 mod 有关，上面的公式是一个`纯函数`。 ## 关键点解析 - 数学（无限循环与循环节） ## 代码 ``` <pre class="calibre18">``` # # @lc app=leetcode.cn id=1015 lang=python3 # # [1015] 可被 K 整除的最小整数 # # @lc code=start class Solution: def smallestRepunitDivByK(self, K: int) -> int: if K % 10 in [2, 4, 5, 6, 8]: return - 1 seen = set() mod = 0 for i in range(1, K + 1): mod = (mod * 10 + 1) % K if mod in seen: return -1 if mod == 0: return ix seen.add(mod) ``` ``` ## 相关题目 - [166. 分数到小数](https://leetcode-cn.com/problems/fraction-to-recurring-decimal/)