1031. 两个非重叠子数组的最大和 · ttttt

# 1031. 两个非重叠子数组的最大和 ## 题目地址(1031. 两个非重叠子数组的最大和) <https://leetcode-cn.com/problems/maximum-sum-of-two-non-overlapping-subarrays/> ## 题目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 给出非负整数数组 A ，返回两个非重叠（连续）子数组中元素的最大和，子数组的长度分别为 L 和 M。（这里需要澄清的是，长为 L 的子数组可以出现在长为 M 的子数组之前或之后。）从形式上看，返回最大的 V，而 V = (A[i] + A[i+1] + ... + A[i+L-1]) + (A[j] + A[j+1] + ... + A[j+M-1]) 并满足下列条件之一： 0 <= i < i + L - 1 < j < j + M - 1 < A.length, 或 0 <= j < j + M - 1 < i < i + L - 1 < A.length. 示例 1：输入：A = [0,6,5,2,2,5,1,9,4], L = 1, M = 2 输出：20 解释：子数组的一种选择中，[9] 长度为 1，[6,5] 长度为 2。示例 2：输入：A = [3,8,1,3,2,1,8,9,0], L = 3, M = 2 输出：29 解释：子数组的一种选择中，[3,8,1] 长度为 3，[8,9] 长度为 2。示例 3：输入：A = [2,1,5,6,0,9,5,0,3,8], L = 4, M = 3 输出：31 解释：子数组的一种选择中，[5,6,0,9] 长度为 4，[0,3,8] 长度为 3。提示： L >= 1 M >= 1 L + M <= A.length <= 1000 0 <= A[i] <= 1000 ``` ``` ## 前置知识 - 数组 ## 公司 - 字节 ## 思路(动态规划) 题目中要求在前N(数组长度)个数中找出长度分别为L和M的非重叠子数组之和的最大值, 因此, 我们可以定义数组A中前i个数可构成的非重叠子数组L和M的最大值为SUMM\[i\], 并找到SUMM\[i\]和SUMM\[i-1\]的关系, 那么最终解就是SUMM\[N\]. 以下为图解: ![](https://img.kancloud.cn/28/c1/28c13ae9e2ac2c3c2b66e9c9b95fa467_683x801.jpg) ## 关键点解析 1. 注意图中描述的都是A\[i-1\], 而不是A\[i\], 因为base case为空数组, 而不是A\[0\]; 2. 求解图中ASUM数组的时候, 注意定义的是ASUM\[i\] = sum(A\[0:i\]), 因此当i等于0时, A\[0:0\]为空数组, 即: ASUM\[0\]为0, 而ASUM\[1\]才等于A\[0\]; 3. 求解图中MAXL数组时, 注意i < L时, 没有意义, 因为长度不够, 所以从i = L时才开始求解; 4. 求解图中MAXM数组时, 也一样, 要从i = M时才开始求解; 5. 求解图中SUMM数组时, 因为我们需要一个L子数组和一个M子数组, 因此长度要大于等于L+M才有意义, 所以要从i = L + M时开始求解. ## 代码 - 语言支持: Python Python Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def maxSumTwoNoOverlap(self, a: List[int], l: int, m: int) -> int: """ define asum[i] as the sum of subarray, a[0:i] define maxl[i] as the maximum sum of l-length subarray in a[0:i] define maxm[i] as the maximum sum of m-length subarray in a[0:i] define msum[i] as the maximum sum of non-overlap l-length subarray and m-length subarray case 1: a[i] is both not in l-length subarray and m-length subarray, then msum[i] = msum[i - 1] case 2: a[i] is in l-length subarray, then msum[i] = asum[i] - asum[i-l] + maxm[i-l] case 3: a[i] is in m-length subarray, then msum[i] = asum[i] - asum[i-m] + maxl[i-m] so, msum[i] = max(msum[i - 1], asum[i] - asum[i-l] + maxl[i-l], asum[i] - asum[i-m] + maxm[i-m]) """ alen, tlen = len(a), l + m asum = [0] * (alen + 1) maxl = [0] * (alen + 1) maxm = [0] * (alen + 1) msum = [0] * (alen + 1) for i in range(tlen): if i == 1: asum[i] = a[i - 1] elif i > 1: asum[i] = asum[i - 1] + a[i - 1] if i >= l: maxl[i] = max(maxl[i - 1], asum[i] - asum[i - l]) if i >= m: maxm[i] = max(maxm[i - 1], asum[i] - asum[i - m]) for i in range(tlen, alen + 1): asum[i] = asum[i - 1] + a[i - 1] suml = asum[i] - asum[i - l] summ = asum[i] - asum[i - m] maxl[i] = max(maxl[i - 1], suml) maxm[i] = max(maxm[i - 1], summ) msum[i] = max(msum[i - 1], suml + maxm[i - l], summ + maxl[i - m]) return msum[-1] ``` ``` ## 扩展 1. 代码中, 求解了4个动态规划数组来求解最终值, 有没有可能只用两个数组来求解该题, 可以的话, 需要保留的又是哪两个数组? 2. 代码中, 求解的4动态规划数组的顺序能否改变, 哪些能改, 哪些不能改? 如果采用前缀和数组的话，可以只使用O(n)的空间来存储前缀和，O(1)的动态规划状态空间来完成。C++代码如下: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution { public: int maxSumTwoNoOverlap(vector<int>& A, int L, int M) { auto tmp = vector<int>{A[0]}; for (auto i = 1; i < A.size(); ++i) { tmp.push_back(A[i] + tmp[i - 1]); } auto res = tmp[L + M - 1], lMax = tmp[L - 1], mMax = tmp[M - 1]; for (auto i = L + M; i < tmp.size(); ++i) { lMax = max(lMax, tmp[i - M] - tmp[i - M - L]); mMax = max(mMax, tmp[i - L] - tmp[i - L - M]); res = max(res, max(lMax + tmp[i] - tmp[i - M], mMax + tmp[i] - tmp[i - L])); } return res; } }; ``` ```